第二章 地图数学基础

第2章地图的数学基础1地图的数学基础，就是为了使地图上各种地理要素与地面事物之间保持一定的对应关系。具体指地图所采用的地图投影（经纬网）、坐标网、大地控制点、比例尺等数学要素。2第一节地图投影基本概念为什么要进行地图投影3地球椭球体表面是个曲面，而地图通常是二维平面，因此在地图制图时首先要考虑把曲面转化成平面。然而，从几何意义上来说，球面是不可展平的曲面。要把它展成平面，势必会产生破裂与褶皱。这种不连续的、破裂的平面是不适合制作地图的，所以必须采用特殊的方法来实现球面到平面的转化。45

地图投影的实质：

是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上。x=f1(j,l)

y=f2(j

,l)一、地图投影的定义和实质

地图投影：

在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影。6地图投影的方法很多，但用不同的投影方法得到的经纬线网形式不同。下图是几种不同投影的经纬线网形状：1.地图投影变形的概念二、地图投影变形7地球仪上的经纬线的长度的特点：第一，纬线长度不等第二，在同一条纬线上，经差相同的纬线弧长相等第三，所有经线长度相等8地球仪上的经纬线网格面积的特点：第一，在同一纬度带内，经差相同的球面网格面积相等第二，在同一经度带内，纬度愈高，网格面积愈小9地球仪上的经纬线角度的特点：在地球仪上经线和纬线处处都呈直角相交。10分析下图中经纬线长度、经纬线网格面积、经纬线交角的特点：地图投影存在变形。11

地图投影变形是球面转化成平面的必然结果，没有变形的投影是不存在的。对某一地图投影来讲，不存在这种变形，就必然存在另一种或两种变形。但制图时可做到：在有些投影图上没有角度或面积变形;在有些投影图上沿某一方向无长度变形。122.长度比和长度变形

投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规定的比例缩小）之比。

m表示长度比，Vm表示长度变形

=0不变>0变大<0变小长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。133.变形椭圆 取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。为经线长度比；为纬线长度比14微小圆→变形椭圆该方程证明:地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆，即：以O'为原点，以相交成q角的两共轭直径为坐标轴的椭圆方程式。代入：X2+Y2=1，得154.主方向：变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向长轴方向（极大值）a短轴方向（极小值）b经线方向m；纬线方向n统称主方向据阿波隆尼定理，有m2+n2=a2+b2m·n·sinq=a·b165.面积比和面积变形：投影平面上微小面积（变形椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF之比。

P表示面积比

Vp

表示面积变形

P=a·b=m

·

n(q=90)

P=m

·

n

·sinq

(q≠90)面积比是变量，随位置的不同而变化。=0不变>0变大<0变小17 6.角度变形：投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以ω表示角度最大变形。 设A点的坐标为（x、y），A

′点的坐标为(x

′、y

′)，则18将上式两边各减和加tana

即：将两式相除，得：19显然当（a+a

′）=90°时，右端取最大值，则最大方向变形：以w表示角度最大变形：若已知

m,n,q，则：207.标准点、标准线和等变形线标准点：地图投影面上没有任何变形的点。标准线：地图投影面上没有任何变形的线。等变形线：投影面上变形值相等的各点的连线。21三、地图投影方法1.

几何投影法地图投影最初建立在透视的几何原理上，它是把椭球面直接透视到平面上，或透视到可展开的曲面上，如圆柱面和圆锥面。222.

数学解析法——以正轴圆锥投影为例经线

投影为放射直线，经差l与投影面上d成X=r

s-

r

cosδr

=f()

Y=r

sind

d

=c·l正比：d=c·l

（c为圆锥系数，0<c<1）。纬线

投影为同心圆弧，其半径r是纬度的函数，r=f（）。圆锥投影的一般公式为：23四、地图投影分类1.按地图投影的构成方法分类

（1）几何投影:

将椭球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面。

方位投影:以平面作投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。

圆柱投影:以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。

圆锥投影:以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。2425（2）非几何投影：

根据某些条件，用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。

伪方位投影：在方位投影的基础上，根据某些条件改变经线形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。

伪圆柱投影：在圆柱投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。

伪圆锥投影：在圆锥投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。

多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。26272.按地图投影的变形性质分类

等角投影:

投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零ω=0（或a=b，m=n）。

等积投影:

投影面与椭球面上相应区域的面积相等，即面积变形为零Vp=0（或P=1，a=1/b）。

任意投影:

投影图上，长度、面积和角度都有变形，它既不等角又不等积。其中，等距投影是在特定方向上没有长度变形的任意投影（m=1）。2829第二节地图投影的应用一、地图投影的选择依据

投影的变形小且分布均匀；选择标准：经纬线网的形状和变形性质要能满足地图内容和用途的要求经纬线网的形状不复杂。等变形线的形状与制图区域的轮廓形状接近；301.地图的内容主题和内容不同，对投影的要求也不同。要求方向正确，应选择等角投影要求面积对比正确，应选择等积投影教学或一般参考图，要求各方面变形都不大，则应选择任意投影4.1地图投影的选择依据312.制图比例尺和制图范围不同比例尺地图对精度要求不同，投影亦不同。大比例尺地形图，对精度要求高，宜采用变形小的投影，如分带投影。但在不大的区域，无论用那种性质的投影，变形都较小而且差别不大。中、小比例尺地图范围大，概括程度高，定位精度低，可有等角、等积、任意投影的多种选择。323.制图区域的形状和地理位置一般将地图投影的标准点或标准线置于制图区域的中心部位，因此从制图区域的形状考虑，选用投影的原则是用等变形线与制图区域的轮廓基本一致的投影，以使广大制图区域处于微小的变形区。334.出版方式单幅图系列图地图集34

二、地形图投影

1.

高斯-克吕格投影（等角横切椭圆柱投影） 以椭圆柱为投影面，使地球椭球体的某一经线与椭圆柱相切，然后按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。

由德国数学家、天文学家高斯（C.F.Gauss，1777—1855）及大地测量家克吕格（J.Krüger，1857—1923）共同创建。35 此投影无角度变形，中央经线无长度变形。为保证精度，采用分带投影方法： 经差6°或3°分带，长度变形<0.14%3637中国国家基本比例尺地形图采用高斯-克吕格分带投影。

3°分带：1∶5千、1∶1万

6°分带：1∶2.5万、1∶5万、1∶10万、1∶25万、1∶50万。38高斯-克吕格直角坐标yA=245863.7myB

=-168474.8myA通=20745863.7myB通=20331525.2m392.1∶100万地形图投影新编国际1∶100万地图采用双标准纬线等角圆锥投影，自赤道起按纬差4°分带，北纬84°以北和南纬80°以南采用等角方位投影。中国《1∶100万地形图编绘规范》规定采用边纬线与中纬线长度变形绝对值相等的双标准纬线等角割圆锥投影,按纬差4°分带长度变形最大值:±0.03%面积变形最大值:±0.06%40三、区域图投影

1.方位投影正轴方位投影正轴等角方位投影正轴等距方位投影横轴和斜轴方位投影41

2.圆锥投影

以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。42①正轴圆锥投影

经线:投影为放射直线，经差l与投影面上d成正比：d=Cl

（C为常数）。

纬线:

投影为同心圆弧，其半径r是纬度

的函数，r

=f（） 圆锥投影的各种变形均是纬度的函数，与经度l无关。适于制作中纬度沿东西方向延伸地区的地图43等角割圆锥投影条件：w=0;

m=n;

n1=n2=1相割纬线：

1=25°

；

2=45°

44等积割圆锥投影条件：P=mn=1;n1=n2=1

多用于要求面积对比正确的图种，如分布图、类型图、区划图如1:800万，1:600万，1:400万《中华人民共和国地图》采用了(1=25°；

2=47°)的该投影。等距割圆锥投影条件：m=1;n1=n2=1

原苏联出版的苏联全图，采用(1=47°；

2=62°)的该投影。45

3.

伪圆锥投影

由法国彭纳（R.Bonne）在圆锥投影的基础上，根据某些条件改变经线形状设计而成，故又称彭纳投影。纬线长度比

n=1，同心圆弧中央经线

m0=1其他经线为对称m0的曲线常用于编制中纬度地区小比例区域图46四、世界地图投影主要类型：多圆锥投影、圆柱投影和伪圆柱投影

具体方案：等差分纬线多圆锥投影正切差分纬线多圆锥投影墨卡托（Mercator）投影摩尔威特（Mollweide）投影古德（Goode）投影47

1.多圆锥投影 设想更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称中央经线的曲线。48

普通多圆锥投影（1820年美国Hasslar所创）m0=1n=1m>1任意投影适于南北方向延伸地区地图49普通多圆锥分带投影图将整个地球按一定经差分为若干带，每带中央经线投影为直线，各带在赤道相接。用于制作地球仪。50等差分纬线多圆锥投影中国地图出版社1963年设计，其经线间隔随距中央经线距离的增大而呈等差递减，属任意投影。51正切差分纬线多圆锥投影中国地图出版社1976年设计，其经线间隔按与中央经线经差的正切函数递减。属任意投影。52世界图53

2.

圆柱投影 设想以圆柱面为投影面，使圆柱面与地球表面相切或相割，将地球表面上的经纬线投影到圆柱面上，再把圆柱面沿一条母线剪开展为平面而成。54

①正轴等角圆柱投影

由荷兰地图学家墨卡托（MercatorGerardus，1512—1594）于1569年所创设，故又名墨卡托投影。特点:

不仅保持了方向和相对位置的正确，而且使等角航线在图上表现为直线。这一特性对航海具有重要的实用价值。4.4世界地图投影55墨卡托投影等角航线：是地球表面上与经线相交成相同角度的曲线。在地球表面上除经线和纬线以外的等角航线，都是以极点为渐近点的螺旋曲线。等角航线在图上表现为直线。这一特性对航海具有很重要的意义。大圆航线：地球面上两点间最短距离是通过两点间的大圆弧，也称为大圆航线。4.4世界地图投影56墨卡托投影等角航线在图上表现为直线。这一特性对航海具有很重要的意义。地球面上两点间最短距离是通过两点间的大圆弧，也称为大圆航线4.4世界地图投影57583.伪圆柱投影 是在圆柱投影的基础上，规定纬线仍然为平行直线，而经线则根据某些特定条件改变经线形状而设计成对称于中央经线的各类曲线的非几何投影，在具体应用中以等积性质居多，而无等角投影。⑴桑逊（Sanson）投影⑵摩尔威特（Mollweide）投影⑶古德（Goode）投影常用的投影方案：4.4世界地图投影59

⑴桑逊（Sanson-Flamsteed）投影 经线为正弦曲线的等积伪圆柱投影，纬线为间隔相等的平行直线，每条纬线上经线间隔相等。由法国桑逊于1650年设计。投影特点：P=1无面积变形n=1纬线长度比为1m0=1中央经线长度比=1m>1经线长度比>14.4世界地图投影60⑵摩尔威特（Mollweide）投影 经线为正弦曲线的等积伪圆柱投影，纬线为间隔相等的平行直线，每条纬线上经线间隔相等。由德国摩尔威特于1805年设计。投影特点：P=1无面积变形S90=Searth/2赤道长度=中央经线×2常用于编制世界地图及东、西半球地图S90=Searth/240°44′11.8″4.4世界地图投影61⑶古德（Goode）投影

美地理学家古德（J.PaulGoode）于1923年提出在整个制图区域主要部分中央都设置一条中央经线，分别进行投影，则全图就分成几瓣，各瓣沿赤道连接在一起。投影特点：分瓣、组合投影，变形减小且均匀大陆完整，大洋割裂大洋完整，大陆割裂常用于编制世界地图4.4世界地图投影62摩尔威特—古德投影4.4世界地图投影63第三节地图方位

地图方位是指地图固有的方向性和地图上标示方向的各要素。测绘或使用地形图时，首先要确定一个南北标准方向线，作为标定地图方向和测定目标方位的依据。

64一、标准方向的种类

1.真子午线方向

通过地球表面某点真子午线的切线方向，称为该点的真子午线方向，真子午线方向是用天文测量方法或用陀螺经纬仪测定的。

2．磁于午线方向

磁子午线方向是磁针在地球磁场的作用下，磁针自由静止时其轴线所指的方向。磁子午线方向可用罗盘仪测定。

653．坐标纵轴方向(中央子午线方向)我国采用高斯平面直角坐标系，每一个6°带或3°带内都以该带的中央子午线为坐标纵轴方向。因此，该带内直线定向，就用该带的坐标纵轴方向作为标准方向。如假定坐标系，则用假定的坐标纵轴(X轴)作为标准方向。

66二、表示直线方向的方法

测量和地图中，常采用方位角来表示直线的方向。由标准方向的北端起，顺时针方向量到某直线的夹角，称为该直线的方位角，其角值从0°~360°。

标准方向OP由不同的标准方向所得到的方位角，分别为：真方位角：A磁方位角：Am坐标方位角：α67三、几种方位角之间的关系

1．真方位角与磁方位角之间的关系

由于地磁南北极与地球的南北极并不重合，因此，过地面上某点的真子午线方向与磁子午线方向常不重合，两者之间的夹角称为磁偏角δ，磁针北端偏于其子午线以东称东偏，偏于其子午线以西称西偏。δ东偏取正值，西偏取负值。我国磁偏角的变化大约在+6°到-10°之间。直线的真方位角与磁方位682．真方位角与坐标方位角之间的关系中央经线在高斯平面上是一条直线，作为该带的坐标纵轴，而其它子午线投影后为收敛于两极的曲线，地面点M、N等点的真子午线方向与中央子午线之间的夹角，称为子午线收敛角γ。在中央子午线以东地区，各点的坐标纵轴偏在真子午线的东边，γ为正值；在中央子午线以西地区，γ为负值。直线的真方位角与磁方位角之间可用下式进行换算693．坐标方位角与磁方位角的关系若已知某点的磁偏角δ与子午线收敛角γ，则坐标方位角与磁方位角之间的换算式为

—为磁坐偏角70当标准方向为坐标纵轴(中央子午线)方向时，直线的方位角称为坐标方位角(，简称方向角)。XYABAB例1：已知CD=782024，JK=3261230，求DC，KJ：各点的坐标纵轴方向都是平行的，所以，一条直线有两个相差180的方位角，互称为正、反方位角。正、反方位角关系BAABBA=AB180解：DC=2582024KJ=1461230四.正、反坐标方位角及其推算71

第四节地图的比例尺

1.地图比例尺的含义地图比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线水平投影长度之比。可表达为（d为图上距离，D为实地距离）

根据地图投影变形情况，地图比例尺分为：主比例尺：

在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。局部比例尺：在投影面上有变形处的比例尺。722.地图比例尺的表示 ①

数字式比例尺

如1:10000 ②文字式比例尺

如百万分之一 ③

图解式比例尺 直线比例尺 斜分比例尺 复式比例尺

73斜分比例尺也称微分比例尺，是依据相似三角形原理制成的图解比例尺。使量测精度达到三位数（10-3）。74等角正切圆柱投影纬线比例尺主比例尺为1：100万，（0°纬线方向。）

30°纬线方向：n=1.155;

45°纬线方向：n=1.3

60°纬线方向：n=2

7576第五节地图的分幅与编号地图分幅有按坐标格网矩形分幅和经纬线梯形分幅两种形式。矩形分幅，即按一定大小的矩形划分图幅，使每幅地图都有一个矩形的图廓，其相邻图幅均以直线划分的分幅方法。梯形分幅，是以具有一定经纬差的梯形划分图幅，有经纬线构成每幅地图图廓的分幅方法。一、地图的分幅77比例尺1：100万1：50万1：25万1：20万1：10万1：5万1：2.5万1：1万1：5千图幅范围经差6˚3˚1˚30'1˚30'15'7'30"3'45"1'52.5"纬差4˚2˚1˚40'20'10'5'2'30"1'15"图幅间数量关/p>