高中数学人教A版3第一章计数原理单元测试 一等奖

选修2-3第一章1.3一、选择题1．若(3eq\r(x)－eq\f(1,\r(x)))n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是eq\x(导学号03960251)()A．第3项 B．第4项C．第5项 D．第6项[答案]C[解析]令x＝1，得出(3eq\r(x)－eq\f(1,\r(x)))n的展开式中各项系数和为(3－1)n＝256，解得n＝8；∴(3eq\r(x)－eq\f(1,\r(x)))8的展开式通项公式为：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)·(3eq\r(x))8－r·(－eq\f(1,\r(x)))r＝(－1)r·38－r·Ceq\o\al(r,8)·x4－r，令4－r＝0，解得r＝4.∴展开式的常数项是Tr＋1＝T5，即第5项．故选C．2．若9n＋Ceq\o\al(1,n＋1)·9n－1＋…＋Ceq\o\al(n－1,n＋1)·9＋Ceq\o\al(n,n＋1)是11的倍数，则自然数n为eq\x(导学号03960252)()A．奇数 B．偶数C．3的倍数 D．被3除余1的数[答案]A[解析]9n＋Ceq\o\al(1,n＋1)·9n－1＋…＋Ceq\o\al(n－1,n＋1)·9＋Ceq\o\al(n,n＋1)＝eq\f(1,9)(9n＋1＋Ceq\o\al(1,n＋1)9n＋…＋Ceq\o\al(n－1,n＋1)92＋Ceq\o\al(n,n＋1)9＋Ceq\o\al(n＋1,n＋1))－eq\f(1,9)＝eq\f(1,9)(9＋1)n＋1－eq\f(1,9)＝eq\f(1,9)(10n＋1－1)是11的倍数，∴n＋1为偶数，∴n为奇数．3．(2023·潍坊市五校联考)已知(x2－eq\f(1,x))n的展开式中，常数项为15，则n的值可以为eq\x(导学号03960253)()A．3 B．4C．5 D．6[答案]D[解析]通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(x2)n－r(－eq\f(1,x))r＝(－1)rCeq\o\al(r,n)x2n－3r，当r＝eq\f(2,3)n时为常数项，即(－1)eq\s\up7(\f(2,3))nCeq\o\al(eq\f(2n,3),n)＝15，经检验n＝6.4．若a为正实数，且(ax－eq\f(1,x))2023的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2023项为eq\x(导学号03960254)()A．eq\f(1,x2023) B．－eq\f(1,x2023)C．eq\f(4032,x2023) D．－eq\f(4032,x2023)[答案]D[解析]由条件知，(a－1)2023＝1，∴a－1＝±1，∵a为正实数，∴a＝2.∴展开式的第2023项为：T2023＝Ceq\o\al(2023,2023)·(2x)·(－eq\f(1,x))2023＝－2Ceq\o\al(1,2023)·x－2023＝－4032x－2023，故选D．5．(湖北高考)若二项式(2x＋eq\f(a,x))7的展开式中eq\f(1,x3)的系数是84，则实数a＝eq\x(导学号03960255)()A．2 B．eq\r(5,4)C．1 D．eq\f(\r(2),4)[答案]C[解析]二项式(2x＋eq\f(a,x))7的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,7)(2x)7－r(eq\f(a,x))r＝Ceq\o\al(r,7)27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展开式中eq\f(1,x3)的系数是Ceq\o\al(5,7)22a5＝84，解得a＝1.6．(2023·南安高二检测)233除以9的余数是eq\x(导学号03960256)()A．8 B．4C．2 D．1[答案]A[解析]233＝(23)11＝(9－1)11＝911－Ceq\o\al(1,11)910＋Ceq\o\al(2,11)99＋…＋Ceq\o\al(10,11)9－1＝9(910－Ceq\o\al(1,11)99＋…＋Ceq\o\al(10,11)－1)＋8，∴233除以9的余数是8.故选A．二、填空题7．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x3)))n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答).eq\x(导学号03960257)[答案]510[解析]令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)·(x2)5－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x3)))r＝Ceq\o\al(r,5)·x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常数项为T3＝10.8．已知(x－eq\f(a,x))8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是\x(导学号03960258)[答案]1或38[解析]Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)x8－r(－eq\f(a,x))r＝(－a)r·Ceq\o\al(r,8)·x8－2r，令8－2r＝0得r＝4，由条件知，a4Ceq\o\al(4,8)＝1120，∴a＝±2，令x＝1得展开式各项系数的和为1或38.9．在二项式(eq\r(x)＋eq\f(3,x))n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝\x(导学号03960259)[答案]3[解析]由题意可知，B＝2n，A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，∴2n＝8，∴n＝3.三、解答题10．设(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023(x∈R).eq\x(导学号03960260)(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2023的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2023的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2023|的值．[解析](1)令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a2023＝(－1)2023＝－1①(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…－a2023＝32023②①－②得：2(a1＋a3＋…＋a2023＋a2023)＝－1－32023，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝－eq\f(1＋32023,2).(3)∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,2023)·12023－r·(－2x)r＝(－1)r·Ceq\o\al(r,2023)·(2x)r，∴a2k－1<0(k∈N*)，a2k>0(k∈N*)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2023|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2023－a2023＝32023.一、选择题1．若n为正奇数，则7n＋Ceq\o\al(1,n)·7n－1＋Ceq\o\al(2,n)·7n－2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·7被9除所得的余数是eq\x(导学号03960261)()A．0 B．2C．7 D．8[答案]C[解析]原式＝(7＋1)n－Ceq\o\al(n,n)＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－Ceq\o\al(1,n)·9n－1＋Ceq\o\al(2,n)·9n－2－…＋Ceq\o\al(n－1,n)·9(－1)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，则余数为7.2．(2023·上饶市高二检测)设函数f(x)＝(2x＋a)n，其中n＝6eq\i\in(0,eq\f(π,2),)cosxdx，eq\f(f′0,f0)＝－12，则f(x)的展开式中x4的系数为eq\x(导学号03960262)()A．－240 B．240C．－60 D．60[答案]B[解析]∵n＝6eq\i\in(0,eq\f(π,2),)cosxdx＝6sinxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),0))＝6，∴f(x)＝(2x＋a)6，∴f′(x)＝12(2x＋a)5，∵eq\f(f′0,f0)＝－12，∴eq\f(12a5,a6)＝－12，∴a＝－1.∴f(x)＝(2x－1)6.其展开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(2x)6－r(－1)r＝(－1)rCeq\o\al(r,6)·26－rx6－r，令6－r＝4得r＝2，∴f(x)展开式中x4的系数为(－1)2Ceq\o\al(2,6)·24＝240，故选B．二、填空题3．观察下列等式：eq\x(导学号03960263)(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，……由以上等式推测：对于n∈N*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a2＝________.[答案]eq\f(nn＋1,2)[解析]观察给出各展开式中x2的系数：1,3,6,10，据此可猜测a2＝eq\f(nn＋1,2).4．设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0，则eq\x(导学号03960264)(1)a8＋a7＋…＋a1＝________；(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝________.[答案](1)255(2)32896[解析]令x＝0，得a0＝1.(1)令x＝1得(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，①∴a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255.(2)令x＝－1得(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.②①＋②得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，∴a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝eq\f(1,2)(28＋48)＝32896.三、解答题5．在(2x－3y)10的展开式中，求：eq\x(导学号03960265)(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．[解析]设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数和为Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210.(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝eq\f(1－510,2)；x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝eq\f(1＋510,2).6．在二项式(eq\r(x)＋eq\f(1,2\r(x)))n的展开式中，前三项系数成等差数列.eq\x(导学号03960266)(1)求展开式中的常数项；(2)求展开式中系数最大的项．[解析](1)二项式(eq\r(x)＋eq\f(1,2\r(x)))n的展开式中，前三项系数分别为1，eq\f(n,2)，eq\f(nn－1,8)，再根据前三项系数成等差数列，可得n＝1＋eq\f(nn－1,8)，求得n＝8或n＝1(舍去)．故二项式(eq\r(x)＋eq\f(1,2\r(x)))8的展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)·2－r·x4－r.令4－r＝0，求得r＝4，可得展开式的常数项为T5＝