第二章 连续时间系统时域分析

连续时间系统的时域分析在系统的微分方程中包含有表示激励和响应的时间函数以及它门对于时间的线性连续时间系统的分析，归结为建立并且求解线性微分方程各阶导数的线性组合。引言：奇异信号线性非时变系统的分析卷积及其性质系统方程的算子表示法本章要点零输入响应的求法信号的分解FFFFFFFF响应的分解形式零输入响应的求法奇异信号

即本身、其导数或其积分有不连续点的函数。单位阶跃信号符号函数斜变信号单位冲激冲激偶信号§2.1奇异信号单位阶跃信号1t0t01§2.1奇异信号可代替电路中的开关，故又称为开关函数。§2.1奇异信号

给函数的表示带来方便tt§2.1奇异信号用阶跃表示矩形脉冲G1(t)G(t)G1(t)t0§2.1奇异信号信号加窗或取单边f(t)ttt0§2.1奇异信号试用函数与阶跃函数表示图形f(t)=(t/3+2/3)[ε(t+2)-ε(t-1)]-(t/2-1/2)[ε(t-1)-ε(t-3)]

§2.1奇异信号画出函数w1(t)=ε(t-t0)-2ε(t2-t0)+ε(t3-t0)的图形

§2.1奇异信号三、符号函数Sgn(t)

1.定义2.§2.1奇异信号四、单位斜变函数R(t)

1.定义§2.1奇异信号

斜变信号——斜坡信号

01tR(t)0t0

t0+1tR(t-t0)t>=0R(t)=tt<0R(t)=0t>=t0R(t-t0)=t-t0§2.1奇异信号t<t0R(t-t0)=0单位冲激信号连续时间单位冲激信号 持续时间无穷小，瞬间幅度无穷大，涵盖面积恒为1的一种理想信号，记狄拉克定义t=0,§2.1奇异信号0tt≠0,§2.1奇异信号单位冲激平移冲激函数的性质§2.1奇异信号(1)偶函数(2)积分(3)筛选筛选特性t0§2.1奇异信号冲激序列对连续信号抽样§2.1奇异信号tX(t)nX(nT)例：应用冲激信号的性质，求下列表达式的值。

（2）

解：（1）

解：§2.1奇异信号例:求解：§2.1奇异信号1、定义§2.1奇异信号六、求导取极限取极限表示正负极性的一对脉冲§2.1奇异信号2、面积筛选与函数相乘例：求§2.2信号的分解直流分量和交流分量偶分量与奇分量脉冲分量实部分量与虚部分量直流分量：信号的平均值

1.直流分量与交流分量§2.2信号的分解即：注：的积分为零。交流分量：原始信号中除直流分量之外的所得信号2.偶分量与奇分量§2.2信号的分解偶分量定义t0奇分量定义0t3.分解成实部分量和虚部分量§2.2信号的分解4.分解成冲激脉冲分量之和§2.2信号的分解变量置换§2.2信号的分解矩形窄脉冲的极限即为一系列冲激信号的叠加2.3卷积的定义

设f1(t)和f2(t)是定义在(-∞，∞)区间上的两个连续时间信号，将积分定义为f1(t)和f2(t)的卷积，简记为

§

2.3卷积及其性质如图所示，求§2.3卷积及其性质卷积的计算§2.3卷积及其性质0.5§2.3卷积及其性质0.5§2.3卷积及其性质§2.3卷积及其性质§2.3卷积及其性质例给定信号求y(t)=f1(t)*f2(t)。§2.3卷积及其性质

当t<0时，f2(t-τ)波形如图所示，对任一τ，乘积f1(τ)f2(t-τ)恒为零，故y(t)=0。§2.3卷积及其性质当0<t<3时，f2(t-)波形如图所示§2.3卷积及其性质当t>3时，f2(t-τ)波形如图所示，仅在0<τ<3范围内，乘积f1(τ)f2(t-τ)不为零，故有§2.3卷积及其性质卷积的结果§2.3卷积及其性质练习:给定如图信号，求卷积§2.3卷积及其性质§2.3卷积及其性质解：§2.3卷积及其性质§2.3卷积及其性质3.卷积的性质

(2)分配律：

(3)结合律：

(1)交换律：§2.3卷积及其性质4.卷积的微分性质5.卷积的积分性质6.由4.5两性质可得§2.3卷积及其性质7.函数与冲激函数的卷积8.函数延时后的卷积例计算常数K与信号f(t)的卷积积分。解常数K与任意信号f(t)的卷积值等于该信号波形净面积值的K倍。如果应用卷积运算的微积分性质来求解，将导致§2.3卷积及其性质例§2.3卷积及其性质解：§2.3卷积及其性质

一、线性时不变系统的分析方法第一步：建立数学模型§

2.4线性非时变系统的分析第二步：运用数学工具去处理

第三步：对所得的数学解给出物理解释，赋予物理意义。二、系统模型

目的：建立系统模型，便于运用数学工具进行系统研究。

定义：是系统物理特性的数学抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号组合图形来表示系统特性。

系统模型的数学表达式称为系统的数学模型系统模型的图形符号表示i(t)LR+e(t)-例如日光灯电路§2.4线性非时变系统的分析例.对图示电路，写出激励e(t)和响应r(t)间的微分方程。解：由图列方程

KCL:KVL:§2.4线性非时变系统的分析将（2）式两边微分，得将（3）代入（1）得§2.4线性非时变系统的分析结论：1.求得的微分方程阶数与电路的阶数一致。2.对于电流i(t)或电压U(t),齐次方程相同。说明同一系统的特征根相同，即自由频率是唯一的。

二、描述连续时间系统激励与响应关系的数学模型一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系，总可以用下列形式的微分方程来描述：该式为n阶常系数微分方程。§2.4线性非时变系统的分析系统分析：已知x(t)或X(n)，求y（t）或Y(n)已知x(t)、y(t)或X(n)

、Y(n)，求系统的特性给定系统的结构和参数的情况下§2.4线性非时变系统的分析三、n阶常系数微分方程的求解法全响应=齐次方程通解+非齐次方程通解（自由响应）（受迫响应）全响应=零输入响应+零状态响应

（解齐次方程）（叠加积分法）卷积时域分析法（经典法）变换域法（第五章拉普拉斯变换法）微分方程求解§2.4线性非时变系统的分析一、定义为方便求解微分方程，引入以下算子符号:§2.5

系统方程的算子表示法p称为微分算子，1/p称为微分逆算子或积分算子二、性质1、p的正幂多项式在形式上可以像代数多项式展开和因式分解。2设A(p)和B(p)是p的正幂多项式，则§2.5

系统方程的算子表示法3、方程等号两边p的公因式不能随便消去。例如，正确的结果应写为4、§2.5

系统方程的算子表示法三、LTI系统的微分算子方程对于LTIn阶连续系统，其输入输出方程是线性、常系数

n阶微分方程。则可表示为

§2.5

系统方程的算子表示法即

它代表了系统将输入转变为输出的作用，称H(p)为响应y(t)

对激励f(t)的传输算子或系统的传输算子。

§2.5

系统方程的算子表示法将微分算子方程改写为：系统输入输出模型四、电路系统算子方程的建立1.电路元件的算子模型§2.5

系统方程的算子表示法(1)由电路模型转为算子模型(2)建立算子方程(3)求解2.建立步骤求解转移算子§2.5

系统方程的算子表示法例如图(a)所示电路，电路输入为f(t)，输出为i2(t)，试建立该电路的输入输出算子方程。§2.5

系统方程的算子表示法§2.5

系统方程的算子表示法

解

画出算子模型电路如图(b)所示:该方程组对新设变量而言是一个微分方程组，可以用代数方法求解，得引例：已知电容起始电压vc(0-)，求vc(t)(t>0)§2.6零输入响应的求法一、定义由KCL:零输入零状态只与起始状态有关只与输入有关，卷积形式§2.6零输入响应的求法零输入响应：没有外加激励信号作用，完全由起始状态所产生的响应。即零状态响应：起始状态为0，只由激励产生的响应。§2.6零输入响应的求法或用yx(t)表示。或用yf(t)表示。§2.6零输入响应的求法二、若特征根为n个单根，则其零输入响应

式中常数由初始条件确定。不同特征根所对应的齐次解§2.6零输入响应的求法§2.6零输入响应的求法例2某系统输入输出微分算子方程为

已知系统的初始条件y(0-)=3,y′(0-)=-6，y″(0-)=13,求系统的零输入响应yx(t)。解由题意知A(p)=(p+1)(p+2)2所以（1）§2.6零输入响应的求法其一阶和二阶导函数为(2)§2.6零输入响应的求法代入初始条件值并整理得令t=0-,联立求解得c10=1，c20=2，c21=-1。将各系数值代入式(1)，最后求得系统的零输入响应为§2.6零输入响应的求法例电路如图(a)所示，激励为is(t)，响应为iL(t)。已知R1=1Ω，R2=5Ω，C=0.25F，L=2H，电容上初始电压uC(0-)=6V，电感中初始电流iL(0-)=2A。试求t≥0时的零输入响应iLx(t)。§2.6零输入响应的求法解画出给定电路的算子电路模型如图(b)所示，列出电路的回路电流方程为确定式(2.4-19)中的待定常数，除应用电感初始电流iLx(0-)=iL(0-)=2A外，还需计算iLx’(0-)值。为此，画出t=0-时的等效电路如图2.4-1(c)所示，由KVL可得2.7.1基本信号δ(t)激励下的零状态响应冲激响应：一个初始状态为零的LTI连续系统，当输入为单位冲激信号时所产生的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)，§2.7零状态响应求法简单系统1此时，响应y(t)和输入f(t)满足的微分方程为当系统的初始状态为零时，y(t)为零状态响应，上式可表示为根据h(t)的定义，若在上式中令f(t)=δ(t)，则yf(t)=h(t)，所以有§2.7零状态响应求法

2.冲激响应的计算这是关于h(t)的一阶微分方程，容易求得于是式中，符号“→”表示“系统H(p)对应的冲激响应h(t)为…”。§2.7零状态响应求法§2.7零状态响应求法将这一结果推广到特征方程A(p)=0在p=λ处有r重根的情况，有§2.7零状态响应求法简单系统3对于一般的传输算子H(p)，当H(p)为p的真分式时，可将它展开成如下形式的部分分式之和，即综上所述，计算系统冲激响应h(t)的一般步骤是：

§2.7零状态响应求法例描述系统的微分方程为求其冲激响应h(t)。解由系统微分方程得到相应的输入输出算子方程为§2.7零状态响应求法其H(p)可表示为3.一般信号激励下的零状态响应§2.7零状态响应求法4.系统的阶跃响应

一个LTI连续系统，在基本信号ε(t)激励下产生的零状态响应称为系统的阶跃响应，通常记为g(t)。按照g(t)的定义，由式(2.5-16)知

再根据卷积运算的微积分性质和δ(t)的有关性质，有§2.7零状态响应求法所以阶跃响应g(t)与冲激响应h(t)之间的关系为或者§2.7零状态响应求法3.利用g(t)计算零状态响应§2.7零状态响应求法解：问：§2.7零状态响应求法2.7.2一般信号f(t)激励下的零状态响应图2.7-4系统的零状态响应§2.7零状态响应求法例已知某连续系统的微分方程为若系统的初始条件y(0-)=y′(0-)=1，输入f(t)=e-tε(t)，求系统的零输入响应yx(t)，零状态响应yf(t)和完全响应y(t)。§2.7零状态响应求法解§2.7零状态响应求法(2)零状态响应。将H(p)展开为(3)完全响应。§2.7零状态响应求法例描述某LTI系统的微分方程为解令其t=0+时有§2.7零状态响应求法写出系统传输算子，并进行部分分式展开，有

§2.7零状态响应求法本例中，A(p)=p2+3p+2。根据式(2.4-15)可得系统的零输入响应为§2.7零状态响应求法例已知某LTI连续系统的冲激响应h(t)=ε(t)-ε(t-1)，输入f(t)=ε(t+2)-ε(t-2)。若以t=0为初始观察时刻，试求系统的零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)，并画出波形。解以初始观察时刻t=0为时间分界点，将输入区分为历史输入f1(t)和当前输入f2(t)，即§2.7零状态响应求法所谓零输入响应，是指历史输入f１(t)作用于系统，在t≥0区间上产生的响应，即§2.7零状态响应求法画出g(t)波形如图2.5-7(a)所示。再画出［g(t+2)-g(t)］波形如图2.5-7(b)所示，其中t≥0部分代表yx(t)。于是§2.7零状态响应求法图2.5-7例2.5-6图§2.7零状态响应求法当输入f2(t)作用于系统，在t≥0区间上产生的响应为零状态响应，即§2.7零状态响应求法

描述LTI连续系统激励与响应关系的数学模型是n阶线性常系数微分方程。上式缩写为：§2.8响应的分解形式令§2.8响应的分解形式自由响应强迫响应零输入响应零状态响应零状态响应的齐次解自由响应式中零输入响应§2.8响应的分解形式

也叫固有响应，由系统本身特性决定的，和外加激励形式无关。对应于齐次解。

形式取决于外加激励。对应于特解。(1)自由响应：强迫响应：

没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。

不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。

(2)零输入响应：零状态响应：两种分解方式的区别：1自由响应与零