高中数学北师大版1第二章圆锥曲线与方程双曲线 学业分层测评10

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则它的标准方程是()【导学号：63470045】\f(y2,18)－eq\f(x2,18)＝1 B．eq\f(x2,18)－eq\f(y2,18)＝1\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(y2,8)－eq\f(x2,8)＝1【解析】设等轴双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝1(a＞0)．∴a2＋a2＝62，∴a2＝18.故双曲线方程为eq\f(x2,18)－eq\f(y2,18)＝1.【答案】B2．若双曲线x2＋ky2＝1的离心率是2，则实数k的值是()A．－3 B．eq\f(1,3)C．3 D．－eq\f(1,3)【解析】双曲线x2＋ky2＝1可化为eq\f(x2,1)＋eq\f(y2,\f(1,k))＝1，故离心率e＝eq\f(\r(1－\f(1,k)),1)＝2，解得k＝－eq\f(1,3).【答案】D3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的eq\r(2)倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1 D．eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1【解析】由顶点在y轴上得该双曲线焦点位于y轴，排除A、D，B项，a＝2，b＝2，c＝2eq\r(2)，∴2a＋2b＝eq\r(2)·2c符合题意．【答案】B4．双曲线eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝()【导学号：63470046】\r(3) B．2C．3 D．6【解析】双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式与渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r，且r＝eq\f(|3\r(2)＋0|,\r(2＋4))＝eq\r(3).【答案】A5．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1和椭圆eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，m＞b＞0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形【解析】双曲线的离心率e1＝eq\f(\r(a2＋b2),a)，椭圆的离心率e2＝eq\f(\r(m2－b2),m)，由e1e2＝1得(a2＋b2)(m2－b2)＝a2m2，故a2＋b2＝m2，因此三角形为直角三角形．【答案】B二、填空题6．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.【导学号：63470047】【解析】∵2a＝2,2b＝2eq\r(－\f(1,m))，∴eq\r(－\f(1,m))＝2，∴m＝－eq\f(1,4).【答案】－eq\f(1,4)7．若双曲线中心在原点，焦点在y轴，离心率e＝eq\f(13,5)，则其渐近线方程为________．【解析】由于焦点在y轴，则渐近线方程为y＝±eq\f(a,b)x.而e＝eq\f(c,a)＝eq\f(13,5)，则eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2,a2)－1＝eq\f(144,25)，eq\f(b,a)＝eq\f(12,5)，∴渐近线方程为y＝±eq\f(5,12)x.【答案】y＝±eq\f(5,12)x8．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为边作等边△MF1F2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为________．【解析】如图，点N为MF2的中点，且在双曲线上，利用双曲线的定义即可求解．|F1N|＝eq\r(3)c，|NF2|＝c.又∵|NF1|－|NF2|＝2a，即eq\r(3)c－c＝2a.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\r(3)＋1.【答案】eq\r(3)＋1三、解答题9．求适合下列条件的双曲线标准方程：(1)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±eq\f(3,2)x；(2)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．【解】(1)设以y＝±eq\f(3,2)x为渐近线的双曲线方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2eq\r(4λ)＝6⇒λ＝eq\f(9,4)；当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2eq\r(－9λ)＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,\f(81,4))＝1和eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1.(2)设与双曲线eq\f(x2,2)－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为eq\f(x2,2)－y2＝λ(λ≠0)，将点(2，－2)代入双曲线方程，得λ＝eq\f(22,2)－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1.10．已知椭圆D：eq\f(x2,50)＋eq\f(y2,25)＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．【解】椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，∴渐近线方程为bx±ay＝0，且a2＋b2＝25，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.∴eq\f(|5a|,\r(b2＋a2))＝3，得a＝3，b＝4，∴双曲线G的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.[能力提升]1．设a，b是关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线eq\f(x2,cos2θ)－eq\f(y2,sin2θ)＝1的公共点的个数为()A．0 B．1C．2 D．3【解析】由根与系数的关系，得a＋b＝－tanθ，ab＝0，则a，b中必有一个为0，另一个为－tanθ.不妨设A(0,0)，B(－tanθ，tan2θ)，则直线AB的方程为y＝－xtanθ.根据双曲线的标准方程，得双曲线的渐近线方程为y＝±xtanθ，显然直线AB是双曲线的一条渐近线，所以直线与双曲线没有公共点．【答案】A2．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()\r(2)\r(3)\f(\r(3)＋1,2)\f(\r(5)＋1,2)【解析】设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，而kBF＝－eq\f(b,c)，∴eq\f(b,a)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,c)))＝－1，整理得b2＝ac.∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)，故选D.【答案】D3．设双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB面积为________.【导学号：63470048】【解析】A(3,0)，F(5,0)，取过F平行于渐近线y＝eq\f(4,3)x的直线，则方程为y＝eq\f(4,3)(x－5)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,3)x－5，,\f(x2,9)－\f(y2,16)＝1，))得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,5)，－\f(32,15))).∴△AFB的面积S＝eq\f(1,2)(5－3)×eq\f(32,15)＝eq\f(32,15).【答案】eq\f(32,15)4．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．【解】双曲线方程可化为eq\f(x2,1)－eq\f(y2,3)＝1，c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2.∴F2(2,0)，又l的斜率为1.∴直线l的方程为y＝x－2，代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.设A(x1，y1)、