第3章剪切与扭转

第3章剪切和扭转一.剪切及剪切的实用计算§3-1剪切及剪切的实用计算铆钉连接剪床剪钢板FF受剪面（剪切面）：发生错动的截面销轴连接§3-1剪切和剪切的实用计算剪切受力特点：作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线很近。变形特点：位于两力之间的截面发生相对错动。FF§3-1剪切和剪切的实用计算FnnFFsnFnFsnnF｛｛｝｝FsFsnnFmm剪力：FS§3-1剪切和剪切的实用计算m-m截面上剪力FS对应的平均切应力τ：(3-1)τ——计算切应力（名义切应力）强度校核:(3-2)二.挤压的强度计算假设应力在挤压面上是均匀分布的得计算（名义）挤压应力公式*注意挤压面面积的计算FF§3-2拉（压）连接部分的强度计算挤压力

Fb=F（1）接触面为平面Ab—实际接触面面积（2）接触面为圆柱面Ab—直径投影面面积塑性材料：脆性材料：§3-2拉（压）连接部分的强度计算挤压强度条件：许用挤压应力，常由实验方法确定(a)d(b)dδ(c)§3-2拉（压）连接部分的强度计算§3-2拉（压）连接部分的强度计算三.抗拉强度验算由于存在铆钉孔，板横截面遭到削弱，因此，还需对板的削弱截面进行抗拉（压）强度验算图示接头，受轴向力F作用。已知F=50kN，b=150mm，δ=10mm，d=17mm，a=80mm，[σ]=160MPa，[τ]=120MPa，[σbs]=320MPa，铆钉和板的材料相同，试校核其强度。§3-2拉（压）连接部分的强度计算例题3-1解：1.铆钉的剪切强度2.板和铆钉的挤压强度结论：强度足够。§3-2拉（压）连接部分的强度计算3.板的拉伸强度汽车方向盘§3.3扭转、扭矩和扭矩图§3.3扭转、扭矩和扭矩图汽车传动轴

杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用,杆件的横截面绕轴线产生相对转动。

受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以主要介绍圆轴扭转。扭转受力特点及变形特点:§3.3扭转、扭矩和扭矩图扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。mmOBA回顾：超静定结构、次数未知约束反力多于独立平衡方程个数平面任意力系：3个平衡方程平面共点力系：2个平衡方程平面共线力系：1个平衡方程平面平行力系：2个平衡方程求解：变形协调方程：回顾：剪切受力特点、变形特点判断受剪面、挤压面三个强度校核扭转受力特点、变形特点扭转角mmOBA直接计算1.外力偶矩一、扭矩和扭矩图T=Me2.扭矩和扭矩图用截面法研究横截面上的内力一、扭矩和扭矩图扭矩正负规定右手螺旋法则（右手法则）右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)右手四指表示扭矩的转向一、扭矩和扭矩图扭矩图一、扭矩和扭矩图按输入功率和转速计算电机每分钟输入功：外力偶作功完成：已知轴转速－n

r/min输出功率－P

KW求：力偶矩Me二、功率、转速与外力偶矩间的关系传动轴通常只给出功率和转速，需通过功率与转速确定外力偶矩由W=W’：（3-5）其中：P—功率，千瓦（kW）n—转速，转/分（r/m）其中：P—功率，马力（PS）米制n—转速，转/分（r/m）其中：P—功率，马力（HP）n—转速，转/分（r/m）1PS=735.5N·m/s,1HP=745.7N·m/s,1kW=1.36PS二、功率、转速与外力偶矩间的关系§3–4薄壁圆杆的扭转薄壁圆杆：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：1.实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。2.实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。

②各纵向线均倾斜了同一微小角度（切应变）。

③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。acddxbdy´´①无正应力②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力，沿周向大小不变，方向沿圆周线的切线方向（与扭矩方向相同。4.与的关系：微小矩形单元体如图所示：mmOBA二、薄壁圆筒剪应力大小：

A0：平均半径所作圆的面积。截面上分布在扭矩为T，以切应力的形式整个截面上假定沿壁厚分布均匀。（3-7）一、切应力互等定理：

上式称为切应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxbdy´´tz§3–5切应力互等定理和剪切胡克定律二、剪切胡克定律：

单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。T=m剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。式中：G是材料的一个弹性常数，称为切变模量（剪切弹性模量），因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。（3-8）（3-9）§3–6圆杆扭转时的应力等直圆杆横截面应力①变形几何方面②物理关系方面③静力学方面1.横截面变形后仍为平面；2.轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：距圆心为任一点处的与到圆心的距离成正比。——扭转角沿长度方向变化率。Ttmaxtmax2.物理关系：胡克定律：代入上式得：3.静力学关系：TOdA令代入物理关系式得：(3-10)(3-12)—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。4.公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。

—该点到圆心的距离。Ip—极惯性矩(二次极矩），纯几何量，无物理意义。单位：m4。③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。对于实心圆截面：DdO（3-11）对于空心圆截面：dDOd（3-16）④应力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。⑤确定最大剪应力：由知：当WP—扭转截面系数几何量，单位：m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：三、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：([]

称为许用剪应力。)强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：例3-5一受扭圆杆，直径d=60mm。试求1-1截面上K点的切应力。解：1-1截面扭矩：T=-2kN·mK点切应力：T代绝对值，国际单位Pa例3-6一受扭圆杆，直径d=80mm。材料的许用切应力[τ]=40MPa。试校核该杆的强度。解：杆的扭矩图：最大切应力：满足强度条件例3-7一受扭圆杆，材料的许用切应力[τ]=40MPa。试选择圆杆的直径。解：杆的扭矩图：强度条件：Tmax=5kN·m得：回顾：（3-7）acddxbdy´´tz切应力互等定理：回顾：（3-8）剪切胡克定律：（3-9）——扭转角沿长度方向变化率。实心圆杆：变形几何关系：回顾：物理关系：Ttmaxtmax回顾：静力学关系：TOdA令(3-10)DdO（3-11）实心圆杆：对于空心圆截面：dDOd（3-16）回顾：(3-12)最大剪应力：回顾：WP—扭转截面系数几何量，单位：m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：回顾：强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：§3–7圆杆扭转时的变形一、扭转时的变形由公式知：长为l一段杆两截面间相对扭转角

为（3-18）计算扭转角

公式：§3–7圆杆扭转时的变形一、扭转时的变形（3-18）计算扭转角

公式：二、单位扭转角：或三、刚度条件或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。[]称为单位长度许用扭转角。刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。一、等截面轴：极险应力出现在扭矩最大处Tmax，变形最严重处例3-8一受扭圆杆，直径d=80mm。材料的切变模量G=8×104MPa,[θ]=0.8°/m。试求（1）A、C两截面相对扭转角φAC；（2）校核该杆刚度。解：（1）截面扭矩图：A、C两截面的相对扭转角等于A、B两截面的扭转角与B、C两截面的相对扭转角代数和，即：计算时用国际单位，算得扭转角单位是rad(2)校核刚度：AB段扭矩最大,该段扭转角为：满足刚度条件例3-9一受扭圆杆，材料许用切应