第二章 2.3.3 直线及圆的位置关系

考纲定位学习目标：1.理解直线与圆的三种位置关系的几何特征，并能对此作出正确的判断．2．会求圆的切线方程，会利用直线与圆的位置关系求直线方程或者是圆的方程，从而解决直线与圆的综合问题．重点难点：直线与圆相切问题及切线的求法．直线与圆的综合问题．1．直线与圆的位置关系(1)直线与圆的

位置关系：①直线与圆相交，有

公共点；②直线与圆相切，只有

公共点；③直线与圆相离，

公共点．基础知识梳理三种两个一个没有(2)直线与圆位置关系的判定有两种方法：①代数法：通过

所组成的方程组，根据解的个数来判断．若有两组不同的实数解，即

，则相交；若有两组相同的实数解，即

，则相切；若无实数解，即

，则相离．②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断；当

时，直线与圆相交；当

时，直线与圆相切；当

时，直线与圆相离．直线方程与圆的方程Δ＞0Δ＝0Δ＜0d＜rd＝rd＞r2．直线与圆相切(1)当点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上时，切线方程为

；(2)若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为

；x0x＋y0y＝r2(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2求证：无论k为何值，直线l：kx－y－4k＋3＝0与曲线C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0恒有两个交点．【分析】由于曲线C方程表示一个圆，故可证明直线与圆相交，也可把直线与曲线C的方程联立得方程组，确定此方程组有两组解，也可考虑直线过定点，进而证明定点在这个圆内．课堂互动讲练题型一判断直线与圆的位置关系例1比较圆心到直线的距离与半径的大小关系．【点评】

(1)细致分析题设，挖掘隐含条件，可优化思维过程，如利用隐含关系“直线l过点A(4,3)”，产生法二．(2)证明中法一是抓住直线与圆位置关系的代数特征，从而转化为方程组解的问题，这是研究直线与圆位置关系的基本方法，法二有一定的技巧性，是通过直线过圆内一定点，使问题获证的．1．当a为何值时，直线ax－y－a－1＝0与圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0相交、相切、相离？跟踪训练求过点P(1，－7)与圆x2＋y2＝25相切的切线方程．【分析】要求圆的切线，先判断点的位置关系，再去求切线．【解】

将点P(1，－7)代入圆方程得12＋(－7)2＝50>25，∴点P在圆外．法一：设切线的斜率为k，由点斜式得y＋7＝k(x－1)，即y＝k(x－1)－7

①题型二求圆的切线方程例2由位置关系求切线的斜率．【点评】过一点求圆的切线，应首先判定点与圆的位置关系，若在圆上，则该点即为切点，若在圆外可根据此点设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即得切线斜率．2．过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，求该直线的方程．跟踪训练圆C过点P(1,2)和Q(－2,3)，且圆C在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C的方程．【分析】若设圆的一般方程，转化为弦长相等的关系，计算量较大，因此可作出图形，利用图形性质，从而可得圆心或半径满足的关系．题型三有关圆中弦的问题例3主要用勾股定理及方程根与系数的关系求解．【解】法一：如图所示，∵圆C在两坐标轴上截得的弦长相等，即|AD|＝|EG|，∴它们的一半也相等，即|AB|＝|GF|.又|AC|＝|GC|，∴Rt△ABC≌Rt△GFC，∴|BC|＝|FC|.设C(a，b)，则|a|＝|b|.

①【点评】

(1)解答本题的难点是转化“圆C在两坐标轴上截得的弦长相等”的条件，法一是利用圆心在弦的垂直平分线上，从而得到圆心，求出半径，这是解决有关圆中弦的问题常见的思维方法；法二是从代数的角度，借助两点间的距离公式作转化的．(2)一般地，直线与圆相交涉及弦长的问题，常采用根与系数的关系或几何法(半径长、圆心距和圆半径构成直角三角形)来解决，而利用几何法更为简捷．跟踪训练法二：由已知l：mx－y＋1－m＝0，得y－1＝m(x－1)，故直线恒过定点P(1,1)．因为12＋(1－1)2＜5，所以P(1,1)在圆C内，所以直线l与圆C总有两个不同的交点．直线y＝kx与圆x2＋y2－6x－4y＋10＝0相交于两个不同点A、B，当k取不同实数值时，求AB中点的轨迹．题型四有关弦的中点问题例4结合圆的几何性质或方程组思想研究弦中点的轨迹．【点评】

(1)涉及到直线与圆的交点坐标时，常采用设而不求的代数方法．(2)法一是解决直线与曲线相交问题的通用方法；法二是解弦中点问题的通法，但必须是在直线与曲线一定相交的条件下使用；法三是运用了圆的几