第2章 误差分布及精度指标

第2章误差分布与精度指标

了解偶然误差的分布规律、三个特性和两个重要概念。明确精度、准确度与精确度的概念，熟记衡量精度的指标，掌握精度计算的方法。第2章误差分布与精度指标本章主要内容

正态分布偶然误差的分布特性衡量精度的指标精度、准确度与精确度测量不确定度

2.1

正态分布

2.2

偶然误差的分布特性

授课目的要求：了解偶然误差的分布规律;熟记偶然误差的三个特性和两个重要概念。

重点、难点:偶然误差的三个特性和两个重要概念。

2.1

正态分布

1.一维正态分布随机变量X服从正态分布可表示为其概率密度为2.n维正态分布

随机向量服从正态分布可表示为，其概率密度为

其中3.描述偶然误差分布的三种方法：1)列表法

在相同观测条件下,对某测区817个三角形的内角进行了观测，并按下式求出内角和的误差为

设以dΔ表示误差区间并令其等于0.5″，误差分别按正误差和负误差重新排列，统计误差出现在各区间的个数μ，计算出误差出现在某区间内的频率μi/n，其结果列于表2-1中。

表2-1

误差区间为负值的Δ为正值的Δ

个数μ

相对个数μ/n

个数μ

相对个数μ/n0.0"----0.5"0.5----1.01.0----1.51.5----2.02.0----2.52.5----3.03.0----3.53.5以上

12310475552720100

0.1510.1270.0920.0670.0330.0250.0120

121907851391590

0.1480.1100.0960.0620.0480.0180.0110

和

414

0.507

403

0.493

该组误差的分布规律为:绝对值较小的误差比绝对值较大的误差多；绝对值相等的正误差个数与负误差个数相近,误差的绝对值有一定限制，最大误差不超过3.5″。

2).直方图法

根据表2-1的数据，以误差Δ的数值为横坐标，以μ/n/dΔ为纵坐标可绘制出直方图，如图2-1所示。

每一误差区间上的长方形面积表示误差在该区间出现的相对个数，所有长方形面积之和等于1。

3).密度函数法

当误差个数n无限增多，并无限缩小误差区间时，图2-1中各个小长方条顶边的折线就变成一条光滑的曲线，如图2-2所示。

已知偶然误差Δ是服从正态分布的随机变量,它的数学期望和方差分别为

E(Δ)=0

故Δ的密度函数为

返回

2.2

偶然误差的分布特性

1)在一定的观测条件下,误差的绝对值不会超过一定的限值。（界限性）

2)绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。（小误差占优性）。

3)绝对值相等的正负误差出现的概率相等。（对称性）

分布特性：

1)由偶然误差的界限性，可以依据观测条件来确定误差限值；

2)由偶然误差的对称性和抵消性知，Δ的理论平均值应为零，即有:

这表明,若观测值中不含有系统误差和粗差,则观测量的期望值就是其真值。

两个重要概念：

作业：

第二章习题1，2，3，4，5，6，7，8返回

2.3衡量精度的指标2.4准确度与精确度2.5测量不确定度

授课目的要求：熟记衡量精度的指标，掌握精密度计算的方法，了解测量不确定度的概念。

重点、难点:精密度指标及其计算

。

2.3衡量精度的指标1观测量的精度指标

（1）观测条件与精密度

精密度是指一组偶然误差分布的密集与离散的程度，是观测值与其期望值接近的程度，表征观测结果偶然误差大小的程度。

一定的观测条件对应一种确定不变的误差分布。若观测条件较好，误差分布较密集，则其精密度较高。

观测条件相同的一组观测，称为等精密度观测，但各自的真误差彼此并不一定相等。

（2）常用精密度指标方差与标准差：

设为服从正态分布的偶然误差，由方差与期望的关系式知顾及

则有

由数学期望的定义，又可将方差和标准差分别表示为

上两式中

方差和标准差的估值公式为

例〔2－3－1〕为检定一架刚刚购进的经纬仪的测角精度,现对某一精确测定的水平角(β=65°28′34.0″)作25次观测,根据观测结果算得各次观测误差为(单位:秒):

+1.3,-1.1,+0.8,+1.5,+1.1,-0.3,+0.2,+0.6,-0.5，-0.7,-2.0,+0.6,+1.2,-0.4,-0.9,-1.3,-1.1,-0.9，-0.3,+0.6,+0.8,-0.3,+0.8,-1.2,-0.8试根据Δi计算测角精度和

解:

［ΔΔ］=22.61

极限误差：

极限误差就是最大误差。规定极限误差的根据是误差出现在某一范围内的概率的大小。经统计Δ出现在(-σ,+σ),(-2σ，+2σ)，(-3σ，+3σ)内的概率分别为

大于三倍中误差的误差，其出现的概率只有0.3%，是小概率事件，在一次观测中，可认为是不可能事件。因此，可规定三倍中误差为极限误差。即

Δ限=3σ

对观测要求较严时，也可规定两倍中误差为极限误，Δ限=2σ

相对误差：

衡量单位观测值的精度叫做相对精度。包括相对真误差、相对中误差、相对极限误差,它们分别是真误差、中误差和极限误差与其观测值之比。相对误差是个无名数,在测量中经常将分子化为1。即

与相对误差相区别,真误差、中误差和极限误差统称为绝对误差。

平均误差与或然误差：平均误差：:

或然误差:

或然误差ρ是指在一定的观测条件下,

大于与小于某数值的偶然误差绝对值出现的概率各为一半

ρ=0.6745σ

2观测向量的精密度指标（1）n维随机向量的方差阵设x1，x2，…，xn为随机变量，由它们组成的n维列向量为

随机向量的数学期望E(X)定义为

E(X)也是一个n维随机向量，其元素是随机变量的数学期望E(xi)。随机向量的方差阵定义为

为书写方便，可简记为:

式中

是各随机变量的方差

称为随机变量xi关于随机变量xj的协方差。

协方差是两个随机变量相关程度的指标。定义相关系数为

当时，，表示两个随机变量互不相关。当xi、xj均为正态随机变量时，表示两个随机变量互相独立。方差阵Dx是对称方阵。

当n维随机向量中任意两个随机变量均为互不相关时,则σij=0(i≠j)。此时方差阵Dx即变为对角阵:

进一步，当，即方差阵中的主对角线元素均为同一数值时，则Dx变为数量矩阵，表明所有观测值的精度均相同。

（2）两随机向量的互协方差阵设有两个随机向量:

定义

分别为向量X对向量Y和向量Y对向量X的互协方差阵。

互协方差阵一般不是方阵,例如当n=2,t=3时，有

互协方差阵的元素是两随机向量中两两随机变量的协方差。

互协方差阵有以下性质:

因为

则

同理可证另一式

当DXY=0时,表示X和Y互相独立。

协方差σij的估算可仿照σi2的估算方法进行。即

返回

2.4准确度与精确度

准确度是指观测值的数学期望值与其真值接近的程度，其数值指标为偏差，表征了观测结果系统误差大小的程度，即

精确度是指观测值与其真值接近的程度，其数值指标为均方误差，表征了偶然误差和系统误差对观测结果联合影响大小的程度，即

随机向量X的精确度用其均方误差阵表示，即返回

2.5测量不确定度

测量数据的不确定性即包含偶然误差，又包含系统误差和粗差，也包含数值上和概念上的误差以及可度量和不可度量的误差。数据误差的随机性和数据概念上的不完整性及模糊性，都可视为不确定性问题。

不确定度是度量不确定性的一