第二章 第九节 函数应用

函数的应用能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质，解决某些简单的实际问题．二、解答函数应用题的一般步骤1．审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；2．建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；3．求模：求解数学模型，得出数学结论；4．还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：提示：对实际应用中的函数，除了函数解析式本身的定义域之外，还应须使每个变量有实际意义．[究疑点]对于实际应用中的函数，其定义域应注意什么？[题组自测]1．一等腰三角形的周长是20，底边y是关于腰长x的函数，它的解析式为 (

)A．y＝20－2x(x≤10)B．y＝20－2x(x<10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5<x<10)答案：D2．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的 (

)解析：由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.答案：B3．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4000元的按超过800元的14%纳税，超过4000元的按全稿费的11%纳税．某人出了一本书，共纳税420元，这个人稿费为(

)A．3600元B．3800元C．4000元

D．4200元答案：B4．根据市场调查，某商品在最近40天内的价格P与时间t的关系用图(1)中的一条折线表示，销售量Q与时间t的关系用图(2)中的线段表示(t∈N*)．(1)分别写出图(1)表示的价格与时间的函数关系P＝f(t)，图(2)表示的销售量与时间的函数关系Q＝g(t)；(2)求这种商品的销售额S(销售量与价格之积)的最大值及此时的时间．[归纳领悟]1．实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成．如出租车票价与路程之间的关系，构建分段函数模型求解．2．分段函数每一段自变量变化所遵循的规律不同，在应用时，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起．要注意各段变量的范围，特别是端点值．[题组自测]1．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利(

)A．25元B．20.5元C．15元

D．12.5元解析：九折出售时价格为100×(1＋25%)×90%＝112.5元，此时每件还获利112.5－100＝12.5元．答案：D2．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40cm与60cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角．问怎样剪，才能使剩下的残料最少？3．某加工厂需定期购买材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管)．(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少，并求出这个最少值．解：(1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需要保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管(x－1)天．∴每次购买的原材料在x天内的保管费用：y1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝6x2－6x.不改变本题的条件下，材料厂家有如下优惠条件：若一次购买不少于4800公斤，每公斤按9折优惠，问该工厂是否可接受此条件？[归纳领悟]1．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决．注意：在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．[题组自测]1．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林 (

)A．14400亩B．172800亩C．17280亩

D．20736亩答案：C答案：300[归纳领悟]增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算和开方运算，要注意用已知表格中给定的值对应求解．一、把脉考情通过对近三年高考试题的统计分析可以看出，对函数的实际应用问题的考查，这类题目更多地以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活．题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力．预测2012年高考仍将以函数建模为主要考点，同时考查利用导数求最值问题．二、考题诊断1．(2010·陕西高考)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(

)答案：B解析：当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系，用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为y＝

．2．(2010·湖北高考)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝