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文档简介

2.2联合平稳随机过程的互谱密度实际应用中，经常需要研究两个或两个以上的随机过程及其性质。2/3/20231两个随机过程中样本函数的互功率谱密度考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)，它们的样本函数分别为和，定义两个截断函数、为：因为样本函数满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。利用帕斯瓦尔等式，以及实随机过程，可得即2/3/20232取极限以及交换运算次序，可以得出样本函数和的(时间)互平均功率：样本函数互功率谱密度2/3/20233两个随机过程的互功率谱密度随机过程互功率谱密度推广到随机过程中，并取集合平均（数学期望），可以得出两个随机过程X(t)，Y(t)的互平均功率：2/3/20234

互功率谱密度（互谱密度或互功率谱）：则同理则如果X(t)和Y(t)均是实随机过程，则2/3/20235二互谱密度和互相关函数的关系自相关函数功率谱密度

互相关函数互功率谱密度

对于两个实随机过程X(t)、Y(t)，其互谱密度与互相关函数之间的关系为：

即2/3/20236若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有即同理即2/3/20237结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。若若X(t)为通过一负载的电流，Y(t)为加在该负荷两端的电压，则此式等于消耗在该负载上的平均功率。2/3/20238三互谱密度的性质互功率谱密度和功率谱密度是不同的，它不具有频率的非负、实的偶函数，但它具有自己相应的性质。2/3/20239性质1证明

（令）共轭性

2/3/202310

（令）

性质2

证明

同理可证偶函数

2/3/202311性质4

若平稳过程X(t)与Y(t)正交，则有

证明若X(t)与Y(t)正交，则所以性质3

奇函数2/3/202312性质5

若X(t)与Y(t)不相关的平稳过程，X(t)和Y(t)分别具有常数均值和，有

证明

因为X(t)与Y(t)不相关，所以（）则

2/3/202313性质6

性质7

互谱不等式

2/3/202314例设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数为:

求互谱密度，。2/3/202315解2/3/202316实际中，考虑多个联合平稳随机过程之和的频率特性时，就要应用互谱密度。设Z(t)=X(t)+

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