第4章 虚功原理及结构位移计算

第4章

虚功原理与结构的位移计算1.定义：在外因（荷载、温度变化、支座沉降等）作用下，结构将发生尺寸和形状的改变，称为变形。由于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横截面会转动，这些移动和转动称为结构的位移。§4.1

位移计算概述一、位移的概念注：位移是矢量，有大小、方向。线位移：截面形心的直线移动距离角位移：截面的转角竖向线位移广义位移绝对位移相对位移2.种类

绝对位移水平线位移相对线位移：两截面之间的相对移动相对角位移：两截面之间的相对转角——A点线位移——A点水平位移——A点竖向位移——A截面转角C、D

两点的相对水平线位移A、B两个截面的相对转角绝对位移3.支座沉降和制造误差等。1.荷载作用；2.温度改变和材料胀缩；P二、位移产生的主要原因1.验算结构刚度:即验算结构的位移是否超过允许的位移限制值。在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度；高层建筑的最大位移<1/1000高度。最大层间位移<1/800层高。2.为超静定结构的计算打基础。在计算超静定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还需要考虑变形协调条件，因此需计算结构的位移。3.在结构的制作、架设、养护过程中，有时需预先知道结构的变形情况,以便采取一定的施工措施，因而也需要进行位移计算。三、计算位移目的建筑起拱将各下弦杆做得比实际长度短些，拼装后下弦向上起拱。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。四、计算结构位移的原理1.位移计算假定条件：线弹性变形体在小变形条件下的位移2.计算原理：变形体系的虚功原理3.计算方法：虚设单位荷载法§4.2

虚功和虚功原理1.概念一、实功与虚功实功：力在自身所产生的位移上所作的功。虚功：力在其它原因产生的位移上作的功。2.做功的两种形式力在变形位移上所作的实功为：P力在对应虚位移上所作的虚功为：P常力实功：

静力实功：Fp1Fp212△11△22AB△12——虚功

二、虚功原理PΔ2Δ3Δ/21.刚体体系的虚功原理刚体体系虚功原理变形体体系虚功原理设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束的无限小刚体体系位移，则外力在位移上所作的虚功总和恒等于零。虚功原理的关键：平衡力系与位移的相互独立性，二者都可以进行假设，根据不同的问题进行不同的假设。体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体系各截面所有内力在微段变形位移上作的虚功总和。2.变形体系的虚功原理说明：（1）虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。（2）原理适用于任何(线性和非线性)的变形体，适用于任何结构。（3）位移和变形是微小量，位移曲线光滑连续，并符合约束条件。（4）在虚功原理中，做功的力和位移无关，可以虚设力也可虚设位移。3.虚功原理的两种应用1）虚设位移求未知力（虚位移原理）

虚设单位位移法:已知一个力状态，虚设一个单位位移状态，利用虚功方程求力状态中的未知力。这时，虚功原理也称为虚位移原理。2）虚设力系求位移（虚力原理）

虚设单位荷载法:已知一个位移状态，虚设一个单位力状态，利用虚功方程求位移状态中的未知位移。这时，虚功原理也称为虚力原理。虚力原理——位移是真的，力是虚设的。用虚设力的办法来求真实的位移。

虚位移原理——力是真的，位移是虚设的。用虚设位移的办法来求真实的力。

例1.如下图一几何可变体系，已知B点作用已知荷载

FP

，为了平衡，试求在A点需加的未知力

FX

的大小。解：虚设位移状态如右图，位移的假设应与荷载相一致。RCABCabFPFXFXFP几何关系：或设相应的三、刚体体系虚功原理应用举例(一）应用虚位移原理求刚体体系中的力例2.求多跨静定梁在C点的支座反力FC。FFABCDEa2aa2aa(a)FFABCDE(b)FC(c)δC=1ABCDEδ1δ2（3）代入刚体体系的虚功方程，求FC。解得：

这是虚设单位位移法

。虚功方程为：解：（1）撤掉支座C,把支座反力变成主动力FC。这时体系变成一个机构，如图（b）所示。（2）取图（c）所示机构的刚体体系沿所求支座反力方向虚设单位位移δC=1。根据几何关系，可求出力F作用点处相应的位移：δ1=-3/2，δ2=3/4

刚体体系的虚位移原理的应用可总结如下：(1)解除欲求约束反力的约束，用相应的约束反力

FX

来代替,同时,结构则相应的变为机构。(2)把结构可能发生的刚体体系位移当作虚位移，设未知力

FX

和主动荷载

FP

相应的位移分别是

ΔX

和

ΔP

，利用虚功原理可得：(3)求出

ΔX

和

ΔP

之间的相互关系，即可求得

FX

。(4)为了计算方便，假设

ΔX

=

1

，此时，

ΔP

则用

δP

表示。以上的关键是虚设位移状态及其各种位移的关系。由于

ΔX

=

1，所以又称单位支座位移法。1.

位移是人为虚设的，为了方便，可以随意虚设为单位位移1。3.

采用几何的方法求解静力平衡问题。注意：2.

解题的关键是利用几何关系求出位移之间的关系。例3.求A

端支座发生竖向位移c

时引起C点的竖向位移。解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。由得：解得：

这是虚设单位荷载法

。虚功方程为：ABaCbc1ABC很显然该题求位移用的是虚功原理中的虚力原理。（二）应用虚力原理求刚体体系的位移例4.图示简支梁B支座往下位移了Δ，求由此产生的A点转角φA。

真实的位移状态

虚设的力状态运用刚体的虚功原理，虚设的力状态上的所有外力在真实的位移状态上所做的虚功应该等于零，有：得：ABLΔM=11/L解：在A点虚设单位力系M=1虚力原理的关键步骤是在拟求位移Δ方向虚设单位荷载，并利用平衡条件求出与Δ相应的支座反力。该解法称为单位荷载法。四、支座移动时静定结构的位移计算在静定结构中，支座移动时并不引起内力，也不引起变形，结构只发生刚体位移。1.支座移动对静定结构的影响2.支座移动时静定结构的位移计算支座移动时静定结构的位移计算问题是刚体体系的位移计算问题，可用刚体体系虚功原理来求解。当支座有给定位移时，静定结构的位移的计算步骤：设支座K有给定位移CK(1)沿拟求位移Δ方向虚设相应的单位荷载，并求出单位荷载作用下的支座反力(2)令虚设力系在实际位移上作虚功，写出虚功方程：(3)由虚功方程，解出拟求位移为：注意：1）乘积正负号，同侧为正，异侧为负。2）求的位移为正值，表明位移的实际方向与所设单位荷载方向相同，否则相反。【例5】三铰刚架的跨度l=12m，高为h=8m。已知右支座B发生了竖直沉陷C1=6cm，同时水平移动了C2=4cm(向右)，如图(a)所示。试求由此引起的左支座A处的杆端转角φA。【解】(1)在A处虚设单位力偶m=1，如图(b)所示。(2)计算单位荷载作用下的支座反力由于A支座无位移，故只需计算B支座反力即可。取整体为隔离体，由∑MA=0得取右半刚架BC为隔离体，由∑MC=0得(3)计算φA计算结果为正，说明φA与虚设单位力偶m=1的转向一致。显然支座移动产生的位移、制造误差产生的位移应该用刚体的虚力原理计算。荷载作用产生的位移、温度改变产生的位移应该用变形体的虚力原理计算。

支座移动产生的位移——刚体位移制造误差产生的位移——刚体位移荷载作用产生的位移——变形体位移温度改变产生的位移——变形体位移静定结构位移的类型：d微段的变形可分为:ds1PqN1N1+dNQ1Q1+dQM1M1+dMdsddsd§4.3

结构位移计算的一般公式2ds一、公式的推导1.基本原理——变形体系的虚力原理（虚设单位荷载法）微段ds上的变形包括三个部分：ε—轴向线应变γ—平均切应变（剪应变）—轴线曲率（弯曲应变），ρ为轴线变形后的曲率半径。轴向位移：剪切位移：转角位移：

虚设力状态：在所求位移处沿所求位移方向加上相应的广义单位力P=1。如图所示结构，计算K点的水平位移。P=1虚拟力状态11RP1P2t1t2位移状态

2c1KΔKHK对于杆系结构，内力所作虚功：外力所作虚功：由变形体虚功原理：—分别是虚设单位荷载在微段ds引起的弯矩、轴力、剪力—分别是实际位移状态微段ds的三种变形。—虚设单位荷载引起的支座反力说明：该式是结构位移计算的一般公式。适用于静定结构和超静定结构。2)适用于产生位移的各种原因、不同的变形类型、不同的材料。3)该式右边四项乘积，当力与变形的方向一致时，乘积取正。由于弯曲变形对位移的影响由于轴向变形对位移的影响由于剪切变形对位移的影响由于支座移动对位移的影响结构位移计算的一般公式既可考虑荷载引起的位移，也可考虑温度或支座移动引起的位移。可用于梁、刚架、桁架、拱等各类型的结构。二、结构位移计算的一般步骤1.在某点沿拟求位移Δ的方向虚设相应的单位荷载。2.在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构内力、、和支座反力。3.根据一般公式可求出位移Δ。公式的右边四个乘积，它们力与变形之间的乘积，当力与变形方向一致，则乘积为正的。

Δ如果是正值，则表明位移Δ的实际方向与所设单位荷载方向一致。三、虚设单位荷载的方法1)求某截面的线位移2)求某截面的角位移3)求某两点间的相对角位移4)求某两点间的相对线位移P=1P=1P=1§4.4荷载作用下的位移计算一、公式的进一步推导dddsd如果结构只受荷载作用，没有支座位移的影响（CK＝0）时，则计算位移的一般公式可简化为：式中，微段的变形是由实际荷载作用引起的。设NP、MP、QP表示实际位移状态中微段ds上所受的轴力、弯矩、剪力，在线弹性范围内，由材料力学可知NP、MP、QP引起微段ds上的变形为：EA、GA、EI——分别为杆件截面的抗拉、抗剪和抗弯刚度，k为剪应力不均匀分布系数。k——与截面形状有关，矩形截面取6/5，圆形截面取10/9,薄壁圆环截面取2，详见表5-2。用Δ表示荷载引起的某截面的位移：这是平面杆系结构在荷载作用下的位移计算公式。二、各类结构的位移公式1.梁与刚架—以弯曲变形为主2.桁架—只有轴向变形3.组合结构4.拱（扁平拱f/l＜1/5）例1.求图示等截面梁B端转角。

2）分段求弯矩的表达式（0≤x≤l）m=1解：1）虚拟单位荷载AC段：MP=Px/2（0≤x1≤l/2）BC段：MP=P（l－x）/2（l/2≤x2≤l）（）3）代入公式求φBPl/2l/2EIABx1x2C例2.求图示简支梁中点C的竖向位移

。解：（1）取虚力状态如图所示

（2）写出弯矩表达式CABL/2L/22/L/l/2l/2（3）计算

当时Fp=1CABC解：（1）求

写出杆件的方程

BC杆：

BA杆：

LACBLEIEIqACBFP=1例3.计算图示刚架C点的水平位移

和C点的转角

各杆的EI为常数。

，()（2）求

ACBM=1BC杆：

BA杆：

写出杆件的方程

LACBLEIEIq（）。例4.计算图示刚架C点的水平位移

和C点的转角

已知，AB、BD段的抗弯刚度为EI，DC的抗弯刚度为0.5EI。

ACBaqa/2a/2DACBP=1D解：（1）求

写出杆件的方程

横梁BC：立柱AB:（→）（2）求

ACBM=1DBC杆：

BA杆：

解：例5.求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.1）分别求出桁架各杆在实际荷载和虚设单位荷载作用下的轴力。2）代入公式求ΔKHP=1例6.求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移Δ。解：1）虚拟单位荷载3）代入公式求Δds=Rdθ2）列实际荷载和虚拟荷载作用下的内力表达式Pθdθds钢筋混凝土结构G≈0.4E矩形截面,k=1.2，I/A=h2/12可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略。一、适用范围与限制条件§4.5

图乘法如何利用弯矩图，使其计算得以简化？1.适用范围:受弯曲变形为主的梁、刚架及组合结构中的梁式杆2.限制条件:（1）杆轴是直线；（2）EI是常数；（3）至少有一是直线图形。二、图乘法的公式(EI为常数)(直杆)为微面积对y轴的静矩,为整个MP图的面积对y轴的静矩。说明：（1）若两个M图在杆件的同侧，乘积取正值；反之，取负值。（2）

应取自直线图中。（3）必须分别取自两个弯矩图。图乘法求位移公式为:注意图乘法的应用条件三、应用图乘法时的几个具体问题2.当图形比较复杂，其面积或形心位置不易直接确定时，可采用叠加法。即可以将复杂图形分解成几个简单的图形，分别与另一图形相应的纵坐标相图乘，然后再叠加求位移。1.竖标yC只能由直线弯矩图中取值。如果MP与单位M图都是直线，则yC可取自其中任一个图形。几种常见简单图形的面积和形心的位置例如，图(a)所示两个梯形应用图乘法，可不必求梯形的形心位置，而将其中一个梯形(设为MP图)分成两个三角形，分别图乘后再叠加。（1）梯形与梯形图乘（ab、cd同侧受拉）：MP图ω1ω2y1y2图cdab也可以将其中一个梯形(设为MP图)分解成一个三角形与一个矩形，分别图乘后再叠加。（2）梯形与梯形图乘（ab、cd异侧受拉）：对于图示由均布荷载q所引起的MP图，可以把它看作是梯形ABDC与相应简支梁在均布荷载作用下的弯矩图叠加而成。cω3aω2bω1y2y1y3hc图（3）在均布荷载作用下的任何直杆段(4)当yc所属图形不是一段直线而是由若干段直线组成的，或当各杆段的截面积不相等时，均应分段图乘，再进行叠加。

(1)

画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP；

(2)

据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位弯矩图M；

(3)

分段计算一个弯矩图形的面积ω及其形心所对应的另一个弯矩图形的竖标yC；

(4)

将ω

、yC代入图乘法公式计算所求位移。五、图乘法计算位移的解题步骤【例1】求图(a)所示简支梁A端角位移φA及跨中C点的竖向位移ΔCV。EI为常数。【解】(1)

求φA①实际荷载作用下的弯矩图MP如图(b)所示。②在A端加单位力偶m=1，其单位弯矩图M如图(c)所示。③MP图面积及其形心对应单位M图竖标分别为

④计算φA

（）(2)

求ΔCV①MP图仍如图(b)所示。②在C点加单位力P=1，单位弯矩图M如图(d)所示。③计算ω、yC。由于单位M图是折线形，故应分段图乘再叠加。因两个弯矩图均对称，故计算一半取两倍即可。

④计算ΔCV

【例2】计算图(a)所示外伸梁C点的竖向位移ΔCV。EI为常数。【解】(1)

实际荷载作用下的弯矩图MP如图(b)所示。

(2)

在C处加竖向单位力P=1，其弯矩图M如图(f)所示。

(3)

计算ω、yC

BC段：ω1=ql3/48

y1=3l/8

AB段：

ω2=ql3/16

y2=l/3

ω3=ql3/24

y3=l/4

(4)

计算ΔCV

ΔCV=(ω1y1+ω2y2+ω3y3)/EI=ql4/(128EI)(↓)【例3】试求图(a)所示的梁在已知荷载作用下，A截面的角位移φA及C点的竖向线位移ΔCV。EI为常数。【解】(1)

分别建立在m=1及P=1作用下的虚设状态，如图(c)、(d)所示。

(2)

分别作荷载作用和单位力作用下的弯矩图，如图(b)、(c)、(d)。

(3)

图形相乘。将图(b)与图(c)相乘，则得

结果为负值，表示φA的方向与m=1的方向相反。

计算ΔCV时，将图(b)与图(d)相乘，这里必须注意的是MP图BC段的弯矩图是非标准的抛物线，所以图乘时不能直接代入公式，应将此部分面积分解为两部分，然后叠加，则得【例4】试求图a所示伸臂梁C点的竖向位移ΔCV。解：荷载弯矩图和单位弯矩图如图所示。在BC段，MP图可看作是由B、C两端的弯矩竖标所连成的三角形与相应简支梁在均布荷载作用下的标准抛物线图（即图b中虚线与曲线之间包含的面积）叠加而成。

【例5】计算图(a)所示悬臂刚架D点的竖向位移ΔDV。各杆EI如图示。【解】(1)实际荷载作用下的弯矩图MP如图(b)所示。

(2)在D端加单位力P=1，单位弯矩图M如图(c)所示。

(3)计算ω、yC图乘时应分AB、BC、CD三段进行，由于CD段M=0，可不必计入。故只计算AB、BC两段。

AB段：ω1=2l2/3

(取自单位M图)y1=Pl/4BC段：ω2=2l2/9y2=Pl/4(4)计算ΔDVΔDV=ω1yC1/EI+ω2yC2/2EI

=-5Pl3/(36EI)(↑)【例6】求图示刚架铰C左、右两截面的相对转角，EI为常数。qABCDEa/2a/2a/2MP图qa4qa4qa2qa2qa28qa281ω2ω1解：由于对称，只需计算刚架的一半，然后2倍。因为QC=0，所以DC段为标准抛物线。11M图（）（）【例7】已知EI为常数，求A、B两点相对水平位移。lqhqMP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图【例8】计算图(a)所示组合结构：（1）求ΔDV；（2）铰C处两侧截面的相对转角。已知E=2.1×104kN/㎝4，I=3200㎝4，A=16㎝2。【解】（1）求ΔDV1)

实际荷载作用下的弯矩图MP如图(b)所示。

2)

在C处加竖向单位力P=1，其弯矩图M如图(c)所示。

3)

计算ΔDV

（2）铰C处两侧截面的相对转角

1)

实际荷载作用下的弯矩图MP如图(b)所示。

2)

在C两侧处加一对等值反向的单位力偶M=1，其弯矩图如图(d)所示。

3)

计算φCDABCEAI4I4I10kN/m4m2m3m3mDABCE90kN.m20kN.m20kN.m604575MP图DABCE3221.52.5M1图(m)1DABCE90kN.m20kN.m20kN.m604575MP图＋DBACE11/31/45/12M2图＋111.求MP图乘练习MP2.求

取yc的图形必须是直线,不能是曲线或折线。能用Mi图面积乘MP图竖标吗?3.求C截面竖向位移MPl/2ql/2MP

4.求。lPlPl5.EI为常数，求AB两点:(1)相对竖向位移,(2)相对水平位移,(3)相对转角。MP1111对称弯矩图反对称弯矩图

对称结构的对称弯矩图与其反对称弯矩图图乘,结果为零。11作变形草图PP11绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：§4.6

温度改变时的位移计算静定结构由于温度变化，材料会引起热胀冷缩，导致结构产生变形和位移，但整个结构不引起任何内力。一、温度变化对静定结构的影响二、温度改变时静定结构的位移计算公式上、下边缘的温差:设材料的线膨胀系数为α，温度沿杆件截面高度线性变化。计算公式的推导：设实际状态为位移状态，在K点沿位移方向加一单位力作为虚设力状态。（1）微段的温度变形分析形心轴处的温度变化值注意：温度变化不引起剪切变形γ＝01).杆件形心轴处的伸长（轴向变形）2).微段两端截面的相对转角（弯曲变形）两侧温度改变值的差值对于等截面直杆:若和使杆件的同一边产生拉伸变形，其乘积为正，反之为负。：形心轴处的温度改变值，温度升高为正，降低为负；：杆件两侧温度改变值的差值，取其绝对值；：虚设单位荷载作用下各杆的轴力值，受拉为正，受压为负；：虚设单位荷载作用下图的面积；注意：各项参数正负号的取值（2）温度变化时位移计算N图的面积M图的面积例1.刚架施工时温度为20℃，试求冬季外侧温度为-10℃，内侧温度为

0℃时A点的竖向位移。已知

l=4m,,各杆均为矩形截面杆，高度

h=0.4m。解：（1）虚设单位力，绘制单位弯矩图和轴力图。llAMANA外侧温度变化值：℃内侧温度变化值：℃（2）代入公式求A点的竖向位移

§4.7

互等定理如图1所示简支梁，分别作用两组外力P1与P2，并分别称为第一状态(图1(a))和第二状态(图1(b))。计算第一状态的外力及其所引起的内力在第二状态的相应位移和变形上所