小波变换和多分辨率处理

小波变换和多分辨率处理第一页，共一百一十一页，2022年，8月28日参考资料教材：RafaelC.Gonzalez,etc，DigitalImageProcessing(ThirdEdition)，电子工业出版社，2010参考书籍：（美）多布著，李建平译，小波十讲，国防工业出版社，2011孙延奎著，小波变换与图像、图形处理技术，清华大学出版社，2012朱希安，曹林编著，小波分析及其在数字图像处理中的应用，电子工业出版社，2012第二页，共一百一十一页，2022年，8月28日“小波”（wavelet)就是一种“尺度”很小的波动，并具有时间和频率特性。

时间A时间B什么是小波？

第三页，共一百一十一页，2022年，8月28日小波函数必须满足以下两个条件：小波必须是振荡的；小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局部化的。如：图1小波例1图2小波例2第四页，共一百一十一页，2022年，8月28日小波变换具有良好的局部时频聚焦特性，而被称为“数学显微镜”。小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。从数学来说是大半个世纪“调和分析”的结晶（包括傅里叶分析、函数空间等）。小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。在信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘探、流体力学、电磁场、CT成象、机器视觉、故障诊断、分形、数值计算等已有重大突破。第五页，共一百一十一页，2022年，8月28日小波分析发展简史时间标志性事件人物1822Fourier变换，在频域的定位最准确，无任何时域定位能力。如：δ函数，时域定位完全准确，频域无任何定位能力。Fourier1910提出规范正交基。Harr1946Gabor变换(STFT)，窗函数的大小和形状与时间和频率无关而保持固定不变。不构成正交基。Gabor1984提出连续小波变换。Morlet1985提出离散小波变换。Meyer,Daubecies1986Meyer证明了不可能存在时域频域同时具有正则性的正交小波基，证明了小波的自正交性。Meyer1987统一了多分辨率分析和小波变换，给出了快速算法。Mallat1988Daubecies在NSF的小波专题研讨会进行了讲座。Daubecies第六页，共一百一十一页，2022年，8月28日InridDaubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波器组(filterbanks)之间的内在关系，使离散小波分析变成为现实。RonaldCoifman和VictorWickerhauser等著名科学家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献。在信号处理领域中，自从InridDaubechies完善了小波变换的数学理论和StephaneMallat构造了小波分解和重构的快速算法后，小波变换在各个工程领域中得到了广泛的应用，典型的如语音信号处理、医学信号处理、图像信息处理等。小波理论与工程应用

第七页，共一百一十一页，2022年，8月28日傅里叶变换与小波变换傅里叶变换的基础函数是正弦函数。小波变换基于一些小型波，称为小波，具有变化的频率和

有限的持续时间。第八页，共一百一十一页，2022年，8月28日傅里叶变换与小波变换傅里叶变换反映的是图像的整体特征，其频域分析具有很好的局部性，但空间(时间)域上没有局部化功能。与傅里叶变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，它通过伸缩平移运算对信号逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节。第九页，共一百一十一页，2022年，8月28日小波变换是基于具有变化的频率和有限持续时间的小型波进行的。它是多分辨率理论的分析基础。多分辨率理论将多种学科的技术有效地统一在一起，其优势很明显—某种分辨率下所无法发现的特性在另一种分辨率下将很容易被发现。本章将从多分辨率的角度解释小波变换。第十页，共一百一十一页，2022年，8月28日主要内容背景多分辨率展开一维小波变换快速小波变换二维小波变换小波包第十一页，共一百一十一页，2022年，8月28日主要内容背景图象金字塔子带编码哈尔变换多分辨率展开一维小波变换快速小波变换二维小波变换小波包第十二页，共一百一十一页，2022年，8月28日1.背景物体的尺寸很小或者对比度不高的时候，通常采用较高的分辨率观察。物体尺寸很大或者对比度很强，只需要较低的分辨率。物体尺寸有大有小，强弱对比度同时存在，则适合用不同的分辨率对其进行研究。第十三页，共一百一十一页，2022年，8月28日从数学观点看，图像是一个亮度的二维矩阵，边界和强烈变化的区域局部直方图统计特性不同。无法对整个图象定义一个简单的统计模型。一幅自然图像及其直方图的局部变化1.背景第十四页，共一百一十一页，2022年，8月28日(1)图像金字塔以多分辨率来解释图像的一种简单有效的结构。一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低的图像集合。金字塔的底部是带处理图像的高分辨率表示，而顶部是低分辨率的近似。当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率就降低。基础级J的大小为N×N（J=log2N）顶点级0的大小为1×1第j级的大小为2j×2j（0jJ）共有J+1级，但是通常我们截短到P＋1级，其中1PJ第十五页，共一百一十一页，2022年，8月28日J-1级近似输出用来建立近似值金字塔；作为金字塔基级的原始图像和它的P级减少的分辨率近似都能直接获取并调整；J级的预测残差输出用于建立预测残差金字塔；近似值和预测残差金字塔都通过迭代计算获得。金字塔方框图(1)图像金字塔第十六页，共一百一十一页，2022年，8月28日(1)图像金字塔迭代算法初始化，原始图象大小2J×2J，j＝Jj-1级，以2为步长进行子抽样，计算输入图像减少的分辨率近似值——j-1级近似值，生成子抽样金字塔。对j-1级近似值进行步长为2的内插，并进行过滤，生成与输入图像等分辨率的预测图像。计算输入图像和预测图像之间的差异，产生预测残差金字塔。重复2、3、4步骤。第十七页，共一百一十一页，2022年，8月28日图象的高斯近似值金字塔，分辨率分别为：512×512，256×256，128×128，64×64。金字塔的分辨率越低，伴随的细节越少;低分辨率图像用于分析大的结构或图像的整体内容，高分辨率图像用于分析单个物体的特性。相应拉普拉斯预测残差金字塔，分辨率分别为：512×512，256×256，128×128，64×64。从低级开始通过内插和滤波获得高级高斯金字塔的预测残差图象。(1)图像金字塔两种图像金字塔和它的统计特性。（a）高斯金字塔（近似），（b）拉普拉斯金字塔（预测残差）(a)(b)第十八页，共一百一十一页，2022年，8月28日子带编码也是多分辨率相关的重要图像技术在子带编码中，一幅图像被分解为一系列限带分量的几何，称为子带。子带可以重组在一起无失真地重建原始图象。每个子带通过对输入进行带通滤波而得到。子带带宽小于原始图像带宽，子带可以进行无信息损失的抽样原始图象的重建可以通过内插、滤波、和叠加单个子带来完成(2)子带编码第十九页，共一百一十一页，2022年，8月28日系统输入是一个一维的带限时间离散信号x(n)分析滤波器h0(n)和h1(n)是半波数字滤波器，理想传输函数H0,H1如下图所示。H0低通滤波，输出x(n)的近似值H1高通滤波，输出x(n)的高频或细节部分综合滤波器g0(n)和g1(n)

为重构的结果(2)子带编码（a）一维子带编码和解码的两频带滤波器组，（b）频谱分离特性(a)(b)第二十页，共一百一十一页，2022年，8月28日序列x(n)的Z变换时域以2为因子的抽样对应到Z域同样，以2为因子的内插对应的变换为X(n)先抽样再内插得到(2)子带编码第二十一页，共一百一十一页，2022年，8月28日系统输出滤波h0(n)的输出整理第二项含有－z，代表了抽样-内插过程带来的混叠(2)子带编码第二十二页，共一百一十一页，2022年，8月28日对于输入的无失真重建，假定下列条件：矩阵表达消除混叠消除幅度失真&(2)子带编码分析调制矩阵第二十三页，共一百一十一页，2022年，8月28日证明分析滤波器和综合滤波器双正交由性质，以及奇次方相互抵消(2)子带编码24第二十四页，共一百一十一页，2022年，8月28日将H0和G0表示成G1和H1的函数(2)子带编码满足该条件的滤波器组称为具有双正交性第二十五页，共一百一十一页，2022年，8月28日分析滤波器和综合滤波器满足上述条件，所以具有双正交性(2)子带编码(正交镜像滤波器)(共轭正交滤波器)完美重建滤波器族第二十六页，共一百一十一页，2022年，8月28日一维滤波器用于图像处理的二维可分离滤波器可分离滤波器首先应用于某一维（如水平方向），在应用于另一维（如垂直方向）

a(m,n),dV(m,n),dH(m,n)和dD(m,n)分别表示近似值、垂直细节、水平细节和图象的对角线细节子带(2)子带编码第二十七页，共一百一十一页，2022年，8月28日4个8抽头Daubechies正交滤波器的冲激响应。(2)子带编码低通滤波器h0(n)的系数为：-0.01059740，0.03288301，0.03084138，-0.18703481，-0.02798376，0.63088076，0.71484657，0.23037781。其余正交滤波器参数可以通过公式计算获得。第二十八页，共一百一十一页，2022年，8月28日adHdVdD(2)子带编码花瓶的4频段子带编码花瓶图像从512×512到256×256子带的近似子带a、水平子带dH，垂直子带dV和对角线子带dD

dH和dV有混叠是由于对可分辨窗口进行抽样造成的，可以通过综合滤波器重建时消除。第二十九页，共一百一十一页，2022年，8月28日它的基函数是最普遍也最简单的正交小波。哈尔变换本身对称、可分离，矩阵表示：T=HFHTF是N×N图象矩阵，H是N×N变换矩阵，T是N×N变换的结果哈尔基函数(3)哈尔变换第三十页，共一百一十一页，2022年，8月28日N×N哈尔变换矩阵第i行包含元素hi(z)，其中z=0/N,1/N,…,(N-1)/N。例如，N=4时，k,p,q的值如右：

则，4×4变换矩阵H42×2变换矩阵H2(3)哈尔变换kpq012300110112第三十一页，共一百一十一页，2022年，8月28日离散小波变换的哈尔函数64×64128×128256×256图示为哈尔基函数对图像的多分辨率分解，离散小波变换包含了与原始图像相同的像素数其局部统计数据相对稳定，并且容易给出模型。大多数数据接近0，可以进行大量的压缩；原始图象的粗和细分辨近似可以从中提取子图象进行重建。第三十二页，共一百一十一页，2022年，8月28日主要内容背景多分辨率展开序列展开尺度函数小波函数一维小波变换快速小波变换二维小波变换小波包第三十三页，共一百一十一页，2022年，8月28日2.多分辨率展开图像金字塔、子带编码和哈尔变换，在数学理论多分辨率分析中扮演了重要角色。在多分辨率分析(MRA)中，尺度函数被用于建立某一函数或图像的一系列近似值，相邻两近似值之间的近似度相差2倍。被称为小波的附加函数用于对相邻近似值之间的差异进行编码。第三十四页，共一百一十一页，2022年，8月28日信号或函数可以分解为一系列展开函数的线性组合其中，k是有限或无限和的整数下标，k是具有实数值的展开系数，k(x)是具有实数值的展开函数如果展开方式唯一，则任何指定的f(x)只有一个k序列与之相对应k(x)称为基函数展开序列{k(x)}称为可表示这一类函数的基。(1)序列展开第三十五页，共一百一十一页，2022年，8月28日可展开的函数组成了一个函数空间，被称为展开集合的闭合跨度系数k可以通过内积得到(1)序列展开第三十六页，共一百一十一页，2022年，8月28日由于展开集合的正交性，计算有3种形式情况1：如果展开函数构成了V的一个正交基基与它的对偶相等，则系数由基函数和原函数的内积来计算(1)序列展开第三十七页，共一百一十一页，2022年，8月28日由于展开集合的正交性，计算有3种形式情况2：

若展开函数本身不正交，而是V的正交基基函数及其对偶函数为双正交，即系数由下式计算(1)序列展开第三十八页，共一百一十一页，2022年，8月28日情况3：如果展开集合对V来说不是函数基，但是符合线性展开，那么它是一个跨度集合，对于任一f(x)∈V有一个以上αk集合。展开函数及其对偶称为超完备或冗余。它们组成了一个框架，其中：对于某些A>0，B<∞，及所有f(x)∈V。若A=B(1)序列展开第三十九页，共一百一十一页，2022年，8月28日考虑整数平移和实数二值尺度、平方可积函数

(x)组成的可展开函数集合k决定了j,k(x)在x轴的位置j决定了j,k(x)的宽度2j/2控制其高度或幅度j,k(x)的形状随着j发生变化，

(x)被称为尺度函数通过选择适当的(x)，{j,k(x)}可以决定跨度L2(R)，所有可量度的平方可积函数的集合.(2)尺度函数第四十页，共一百一十一页，2022年，8月28日定义代表任何j，k上的跨度子空间增大j，用于表示子空间函数的j,k(x)范围变窄增加j将增加Vj的大小，将允许具有变化较小的变量和较细节函数包含在子空间中举例说明哈尔尺度函数(2)尺度函数第四十一页，共一百一十一页，2022年，8月28日单位高度单位宽度的尺度函数当j=1时与j=0相反，展开函数更窄更密集对于左下角的函数将0，0(x)分解作为V1展开函数的和，可以得到从数学角度看，V0是V1的一个子空间，记做举例：哈尔尺度函数第四十二页，共一百一十一页，2022年，8月28日简单尺度函数遵循多分辨率的四个基本条件MRA要求1：尺度函数对其积分变换是正交的在哈尔函数的情况下，因为无论什么时候只要尺度函数的值是1，其积分变换就是0，所以二者的乘积是0。哈尔函数是紧支撑的，即，除被称为支撑区的有限区间外，函数值都为0。事实上，其支撑区是1，半开区间[0,1)外的支撑区的值是0。必须注意，当尺度函数的支撑区大于1时。积分变换正交的要求将很难满足。(2)尺度函数第四十三页，共一百一十一页，2022年，8月28日简单尺度函数遵循多分辨率的四个基本条件MRA要求2：由低尺度函数跨越的子空间在低尺度处嵌套在由高尺度跨越的子空间内。(2)尺度函数V2V1V0子空间：第四十四页，共一百一十一页，2022年，8月28日简单尺度函数遵循多分辨率的四个基本条件MRA要求3：唯一包含在所有Vj中的函数是f(x)=0如果考虑可能的最粗糙的展开函数(即j=-∞)，惟一可表达的函数就是没有信息的函数，即，(2)尺度函数第四十五页，共一百一十一页，2022年，8月28日简单尺度函数遵循多分辨率的四个基本条件MRA要求4：任何函数都可以以任意精度表示虽然在任意粗糙的分辨率下展开一个特定f(x)是几乎不可能的，但所有可度量的、平方可积函数都可以用极限j→∞表示，即，在这些条件下，子空间Vj的展开函数可以被表述为子空间Vj+1的展开函数的加权和。(2)尺度函数第四十六页，共一百一十一页，2022年，8月28日

被称为尺度函数系数；为尺度矢量任意子空间的展开函数都可以从它们自身的双倍分辨率拷贝中得到，即从相邻较高分辨率的空间中得到。对引用子空间V0的选择是任意的。多分辨率分析的基础，称为改善等式、MBR等式或扩张等式(2)尺度函数第四十七页，共一百一十一页，2022年，8月28日哈尔尺度函数系数附加的简化产生了Haar尺度和小波函数是不连续和紧支撑的，在支撑的有限区域外是0.举例：哈尔尺度函数系数第四十八页，共一百一十一页，2022年，8月28日给定满足MRA要求的尺度函数，能够定义小波函数(x)

(与它的积分变换及其二进制尺度)，跨越了相邻两个尺度子空间Vj和Vj+1的差异。(3)小波函数第四十九页，共一百一十一页，2022年，8月28日用尺度函数可得如果f(x)=Wj尺度函数与小波函数的关系表示空间并集Vj+1中Vj的正交补集是Wj，Vj中所有成员对于Wj中的所有成员都正交(3)小波函数第五十页，共一百一十一页，2022年，8月28日所有可量度的、平方可积函数空间表示为：任何小波函数可以表示为平移的双倍分辨率尺度函数的加权和

被称为小波函数系数；为小波向量利用小波跨越的正交补集空间、积分小波变换是正交的条件，可得(3)小波函数第五十一页，共一百一十一页，2022年，8月28日哈尔小波函数系数哈尔尺度向量定义相应的小波向量哈尔小波函数举例：哈尔小波函数系数第五十二页，共一百一十一页，2022年，8月28日W1比W0窄，可以标志更细微的细节；函数展开这里V0尺度函数的近似W0小波函数举例：哈尔小波函数系数第五十三页，共一百一十一页，2022年，8月28日尺度函数(Scalingfunction,φ,phi)

—父小波函数；—近似空间（低频）；小波函数(Waveletfunction,Ψ,psi)

—母小波函数；—细节空间（高频）第五十四页，共一百一十一页，2022年，8月28日主要内容背景多分辨率展开一维小波变换小波序列展开离散小波变换连续小波变换快速小波变换二维小波变换小波包第五十五页，共一百一十一页，2022年，8月28日j0是任意开始尺度近似值或尺度系数细节或小波系数第一个和式是f(x)在尺度j0上近似第二个和式是在较高尺度jj0更细分辨率的小波函数(1)小波序列展开定义小波序列展开展开系数计算：3.一维小波变换第五十六页，共一百一十一页，2022年，8月28日举例：哈尔小波序列展开第五十七页，共一百一十一页，2022年，8月28日举例：哈尔小波序列展开第五十八页，共一百一十一页，2022年，8月28日如果待展开函数是一个数字序列，得到的系数就称为离散小波变换(DWT)对于jj0通常令j0＝0且M是2的幂(M=2J)注意：序列展开中的积分变成了求和对于双正交函数要用对偶函数代替近似系数细节系数(2)离散小波变换第五十九页，共一百一十一页，2022年，8月28日考虑4点离散函数：f(0)=1,f(1)=4,f(2)=-3和f(3)=0M=4,J=2,对于x=0,1,2,3,j=0,1求和举例：一维离散小波函数第六十页，共一百一十一页，2022年，8月28日考虑4点离散函数：f(0)=1,f(1)=4,f(2)=-3和f(3)=0重构原始函数举例：一维离散小波函数第六十一页，共一百一十一页，2022年，8月28日Morlet

小波举例：一维离散小波函数Mexihat小波

第六十二页，共一百一十一页，2022年，8月28日连续平方可积函数f(x)的连续小波变换(CWT)s和分别为尺度和变换参数当满足条件反连续小波变换其中是的傅里叶变换(2)连续小波变换第六十三页，共一百一十一页，2022年，8月28日DWT和CWT的相似性连续变换参数取代了积分变换参数连续尺度参数s与二进制尺度参数2j相反。连续尺度参数s出现在分母上，小波尺度和通常意义上的频率定义相反0<s<1时，被压缩或宽度减小s>1时，扩大或展开CWT开始展开j0=-，消除了尺度函数间的明显关联，函数只包括小波项和DWT相似，CWT可以被看成是一组变换系数，它给出f(x)与基函数集的相似性。

在连续情况下，两个集合都是无穷的(2)连续小波变换第六十四页，共一百一十一页，2022年，8月28日墨西哥草帽小波左图函数的傅里叶变换，解释了尺度化的小波和傅里叶频段之间的联系，频谱中的两个显著频段(峰值)对应函数的两个类高斯扰动函数根据墨西哥草帽小波完成的CWT的一部分(1s10且

100)它同时给出了时域和频域的信息。如：当s=1,变换在=10时达到最大值变换绝对值用黑白之间的灰度级显示第六十五页，共一百一十一页，2022年，8月28日主要内容背景多分辨率展开一维小波变换快速小波变换二维小波变换小波包第六十六页，共一百一十一页，2022年，8月28日FWT是实现DWT的高效计算，利用相邻尺度DWT系数之间的关系，采用类似的两段子带编码方案，也称为Mallat人字型算法。从多分辨率等式开始尺度向量h可以被看成是用来将展开成尺度为j+1的尺度函数和的“权”4.快速小波变换FWT第六十七页，共一百一十一页，2022年，8月28日4.快速小波变换FWT第六十八页，共一百一十一页，2022年，8月28日＝注意：DWT在尺度j的细节系数是尺度在j+1是近似值系数的函数类似的可以得到尺度为j的近似值和细节系数可以通过尺度为j+1的近似系数和时域反转的尺度与小波向量的卷积，而后对结果进行亚取样来计算4.快速小波变换FWT第六十九页，共一百一十一页，2022年，8月28日一个FWT分析滤波器族有h0(n)=h(-n)且h0(n)=h(-n)其中，卷积在n=2k时进行计算，在非负偶数时刻计算卷积与以2为步长进行过滤和抽样的效果相同4.快速小波变换FWT第七十页，共一百一十一页，2022年，8月28日FWT分析滤波器可以迭代产生多阶结构。如果以高于奈奎斯特频率的采样率进行采样，该样值是该分辨率的尺度系数的良好近似，可以作为起始的高分辨率尺度系数的输入，即，无须小波系数。二阶两尺度FWT分析滤波器以及其频率分离特性4.快速小波变换FWT第七十一页，共一百一十一页，2022年，8月28日例：计算一维小波变换离散函数f(n)={1,4,-3,0}，计算基于哈尔尺度和小波函数的变换。使用小波向量第七十二页，共一百一十一页，2022年，8月28日例：计算一维小波变换离散函数f(n)={1,4,-3,0}，计算基于哈尔尺度和小波函数的变换。使用小波向量哈尔尺度和小波向量计算序列{1,4,-3,0}的二尺度快速小波变换第七十三页，共一百一十一页，2022年，8月28日通过近似值W(j,k)和W(j,k)细节系数重建f(x)的高效反变换，称为快速小波反变换(FWT-1)使用正变换中所用的尺度和小波向量以及第j级近似值和细节系数来生成第j＋1级的近似值系数完备重建要求对于i={0,1},gi(n)=hi(-n)

即：分析滤波器和综合滤波器在时域中是相互反转的对于双正交分析/综合滤波器，不是彼此时域反转的4.快速小波变换FWT第七十四页，共一百一十一页，2022年，8月28日FWT－1的综合滤波器族FWT－1迭代：二阶或两尺度FWT－1的综合滤波器族Wup代表步长为2内插第七十五页，共一百一十一页，2022年，8月28日例：计算一维小波反变换首先对0级近似值和细节系数进行内插，产生{1,0}和{4,0}与滤波器g0(n)和g1(n)卷积结果相加产生W(1,n)，得到一级近似值的重建迭代运算，重建f(x)用哈尔尺度和小波向量计算序列的两尺度快速小波反变换第七十六页，共一百一十一页，2022年，8月28日快速小波变换与FFT的比较运算复杂性对于FWT，长度为M=2J的序列的FWT的运算次数是O(M)

阶，即：浮点乘法和加法(使用滤波器族)的次数与序列的长度存在这线性关系FFT需要O(MlogM)

阶变换的基函数傅里叶的基函数(正弦函数)保证了FFT的存在FWT的存在取决于使用的小波函数的尺度函数是否存在，以及尺度函数和相应的小波函数的正交/双正交性表达函数时，时间和频率通常被作为不同的域来处理，它们之间存在这不可分割的关系例如，要得到时域有价值的信息，就要忍受频域模糊，反之亦燃----海森伯测不准原理块不重叠是正交基函数的特点第七十七页，共一百一十一页，2022年，8月28日FWT和FFT的比较标准时域基给出时间发生的时刻，没有频域信息正弦基给出时间发生的频率但是没有时间分辨率FWT时间和频率分辨率是变化的低频：块短而宽，即有较好的频率分辨率，对应较差的时间分辨率高频：块窄而高，即有较高的时间分辨率，频率分辨率下降取样数据FFT基函数FWT基函数时间一频率块第七十八页，共一百一十一页，2022年，8月28日主要内容背景多分辨率展开一维小波变换快速小波变换二维小波变换小波包第七十九页，共一百一十一页，2022年，8月28日二维乘积可分离的尺度函数二维可分离方向敏感小波定义尺度和平移基函数沿列方向变化沿行方向变化沿对角线方向变化5.二维小波变换第八十页，共一百一十一页，2022年，8月28日M×N的函数f(x,y)的离散小波变换同一维DFT一样，定义了尺度在j0的f(x,y)的近似，系数对于jj0附加了水平，垂直对角线方向的细节离散反小波变换5.二维小波变换第八十一页，共一百一十一页，2022年，8月28日二维DWT可以用数字滤波器和抽样来实现先取f(x,y)的行的一维FWT再用结果列的一维FWT5.二维小波变换图7.22二维快速小波变换。（a）分析滤波器族第八十二页，共一百一十一页，2022年，8月28日二维DWT可以用数字滤波器和抽样来实现5.二维小波变换图7.22二维快速小波变换。（b）分解结果两尺度分解结果第八十三页，共一百一十一页，2022年，8月28日综合滤波器，重建过程和一维相似每一次迭代4尺度j的近似和细节图象用两个一维滤波器内插和卷积5.二维小波变换图7.22二维快速小波变换。（c）综合滤波器族第八十四页，共一百一十一页，2022年，8月28日四阶对称小波a～b分解滤波器c～d重建滤波器e一维小波函数f一维尺度函数abcdef低通重建滤波g0(n)=h(n)的系数对于0n7：0.0322，-0.0992，0.2979，0.8037，0.4976，-0.0296，-0.07585.二维小波变换第八十五页，共一百一十一页，2022年，8月28日例：计算二维小波变换四阶对称小波三个二维小波之一,H(x,y)第八十六页，共一百一十一页，2022年，8月28日5.二维小波变换3尺度FWTabcda图:由计算机产生的128X128基于滤波器分解的一个序列b-d图：对称小波滤波器分解结果第八十七页，共一百一十一页，2022年，8月28日前面分析的小波族称为“对称小波”（symlet）它们不完全对称，但具有最小不对称性和最高消失矩数DWT尺度和小波函数表现为低通和高通滤波器特性，大多数基于傅里叶滤波器的技术和小波部分是等价的小波的第k阶矩是。0阶矩影响小波函数和尺度函数的平滑性以及多项式表示它们的能力。一个N阶对称小波有N个消失矩5.二维小波变换第八十八页，共一百一十一页，2022年，8月28日小波在图像处理中的用途，如在傅里叶域那样，基本方法是：计算一幅图像的二维小波变换修改变换计算反变换5.二维小波变换第八十九页，共一百一十一页，2022年，8月28日例：基于小波的边缘提取abcd

a图消除了最低尺度近似分量，再进行反变换得到b图，效果是强调和突出了图象的边缘c图将水平细节也置为0，反变换得到重建图象d，可以孤立出垂直边缘。图7.25改进的边缘检测DWT。（a）（c）选择的删去系数的两尺度分解，（b）（d）相应的重建第九十页，共一百一十一页，2022年，8月28日例：基于小波的去除噪声基于小波的图象去噪的过程选择分解用的一个小波(例如：哈尔对称小波)和级别数或尺度P。计算噪声图象的FWT门限化细节系数从尺度J-1到J-P选择应用一个门限处理细节系数硬门限实现，元素绝对值低于门限值则置0软门限实现，元素绝对值低于门限值则置0，并且标定非0的系数接近0，去除了硬门限固有的门限处的不连续性基于原始的近似系数，在J-P级执行小波重建，并对J-1到J-P级改进细节系数第九十一页，共一百一十一页，2022年，8月28日对噪声去除改进DWTa图：人体头部带噪声MRI图象b图显示了门限化细节系数后的重建图像4阶对称小波2尺度（P＝2）全局门限94.9093c图：最高分辨率细节置0的重建图像e图：两个分解级别的细节被置0后的DWT重建d图：在c图重建时移去的信息包含了原图象大多数噪声和某些边缘信息f图：在e图重建时移去的信息abcdef例：基于小波的去除噪声第九十二页，共一百一十一页，2022年，8月28日主要内容背景多分辨率展开一维小波变换快速小波变换二维小波变换小波包第九十三页，共一百一十一页，2022年，8月28日快速小波变换将一个函数分解为一系列与对数相关的频段低频被组成窄频段高频被组成宽频段想要较大的控制时频平面的一部分，FWT必须有更灵活的分解——小波包产生过程的代价是FWT计算复杂度增加，从O(M)到O(MlogM)6.小波包第九十四页，共一百一十一页，2022年，8月28日考虑两阶的滤波器族，分解过程用二叉树表示根节点被赋予最高的尺度近似系数，它是函数自身的取样叶子继承变换的近似细节和系数细节的输出两尺度FWT分析族的一个系数数和分析数6.小波包第九十五页，共一百一十一页，2022年，8月28日三尺度FWT分析族、分析数和相应的频谱三尺度FWT分析滤波框图分解空间树谱分离特性6.小波包第九十六页，共一百一十一页，2022年，8月28日分析树提供了多尺度小波变换的紧凑有效的方法比对应的滤波器和基于子取样的方框图更容易画，并占有较少的空间相对容易定位有效分解三阶分析数提供了三种展开选择

6.小波包第九十七页，共一百一十一页，2022年，8月28日分析树还是表示小波包的有效机理从3阶FWT分析树到3阶小波包树A表示近似滤波D表示细节滤波3阶小波包树几乎是3阶FWT的有效分解数目的3倍6.小波包第九十八页，共一百一十一页，2022年，8月28日注意：平均分布的频带是完全小波包分解的特征。分析树的滤波器组谱分离特性随着扩展的增加，基于包的变换改进了对被分解函数的频谱分割的控制，代价是复杂度增加第九十九页，共一百一十一页，2022年，8月28日滤波器组将分解成输出，反复迭代生成P尺度变换第一次迭代得到为适应二维输入特性，就要有单个小波子空间对应系数子空间分析树6.小波包第一百页，共一百一十一页，2022年，8月28日三尺度、全小波包分解树（部分）6.小波包第一百零一页，共一百一十一页，2022年，8月28日例：二维小波包分解指纹扫描图象三尺度、全小波包分解为64片第一百零二页，共一百一十一页，2022年，8月28日上图中被分解子图象构成8×8阵列的子带为了达到压缩的目的，64片分解达到某种程度优化的可能性相对较低选择一种更加合理的分解方式——附加代价函数测量二维函数f的熵或信息量利用代价函数将接近0值的数目最大化优化