高二物理竞赛机械振动 课件

简谐振动

简谐振动的实例

简谐振动的合成与分析

实际振动

14.1

14.2

14.3

14.4目录基本概念

机械振动物体在它的平衡位置附近所作的往复运动。如声源的振动、钟摆的摆动等。

物体发生机械振动的条件：物体受到始终指向平衡位置的回复力；物体具有惯性。

简谐振动是最简单、最基本的振动理想模型。它是研究各种复杂振动的重要基础。这里主要讨论简谐振动。简谐振动实例14.2.4简谐振动的能量14.2.2单摆14.2.1弹簧振子14.2.3无阻尼电磁振荡1.弹簧振子mFFkxFFaamFFxkmw2km令

aw2xxxddt22+kmx0XFFmOOxxxxcosA()wtj+vdtdxxAsinw()wtj+avddt2wcosA()wtj+简谐振动实例2.单摆OOOOllqqmgmgMM根据转动定律令整理得解方程得振动周期为简谐振动实例角时摆球受力矩为则MmglqMmglsinq~sinq~q取摆幅很小q3.无阻尼电磁振荡

G因为而整理得其中令解得简谐振动实例简谐振动简谐振动的运动方程xxcosA()wtj+简谐振动的速度时间关系vdtdxxAsinw()wtj+

简谐振动的加速度时间关系avddt2wcosA()wtj+2wxtttXvaOOOAA2wAwxxcosA()wtj+vdtdxxAsinw(wtj+)

avddt2wcosA()wtj+0AAXv最大a0a最大v0a最大v0简谐振动简谐振动振幅A：x的最大绝对值,只有正值简谐振动的特征量XOOxOxOxOxOOvOvAA周期：T完成一次振动需时间频率：nT1n角频率w：w2pn相位：在任一时刻t振动物体的运动状态（位置和速度），就由

完全确定。初相：时刻t=0时的相位称为初相。()wtj+简谐振动简谐振动的特征量XOOxOxOxOxOOvOvAAxxcosA()wtj+,()wtj+vAsinw运动状态要由位置和速度同时描述，而和的正负取决于

vxxvF相位：F()wtj+是界定振子在时刻的运动状态的物理量ttO，不是指开始振动，而是指开始观测和计时。所谓时质点的运动状态xxcosAjOvAsinwjO位置速度tO初始条件即为初相：jtO是时，振子的相位。OOAAXXOjM(0)Aj初相wM(

t

)twtwM(

t

)twM(

t

)twM(

t

)M(

t

)twM(

t

)twM(T

)Tw周期

T简谐振动的旋转矢量图示法M(

t

)twM(

t

)twXOjM(0)j初相M(

t

)twAw矢量端点在X

轴上的投影对应振子的位置坐标OOt时刻的振动相位(wt﹢j)F旋转矢量A以匀角速w逆时针转动循环往复x=A

cos(wt﹢j)简谐振动方程旋转矢量端点M

作匀速圆周运动振子的运动速度（与X轴同向为正）vwA其速率MvvcosqvcosbwAsinvFsinjtw+()MMMAXOAAXOvwMFqbvvjtw+()F2pbObpqanMa

旋转矢量端点M

的加速度为法向加速度，其大小为anw2A振子的运动加速度（与X轴同向为正）w2AaancosFcosjtw+()av任一时刻的和值，其正负号仅表示方向。va同号时为加速va异号时为减速

振子运动速度vAsinw()wtj+xxcosA()wtj+简谐振动方程km弹簧劲度振子质量w振动角频率mk振动系统：

如水平弹簧振子12Ekmv212mAsinw()wtj+222系统动能系统势能12212A()wtj+22EpkxxkcosE+EkEp12mw2A212kA2系统总能量EkEp均随时间而变且能量相互转换EkEp变到最大时变为零EpEk系统的机械能E守恒。E8w2及A2特点变为零变到最大时EkEpEEk+Ep时间

0能量简谐振动的能量14.4简谐振动的合成与分析14.4.114.4.2章节AB14.4.4D14.4.3CN个同频率、同振动方向的简谐振动的合成两个同频率、相互垂直的简谐振动的合成两个同频率、同振动方向的简谐振动的合成两个不同频率，同振动方向简谐振动的合成14.4.1两个同方向简谐振动的合成同频率xx22yOX1Aj1wA2w2j2jwAjjxx1y1yxxj与计时起始时刻有关合成初相分振动初相差j12j与计时起始时刻无关，但它对合成振幅属相长还是相消合成起决定作用Axx1cos()wt+A1j1cos()wt2j+A2xx2且相同w同在X

轴合成振动xx1xx2xx+用旋转矢量法可求得合成振动方程)xxcos()wtj+AAA12+A222A1A2cos(2jj1+j12arctanyxarctany+yx1+x2arctanA1cossinj1+A2sin2jA1j1+A2cos2jxx1cos()wt+A1j1cos()wt2j+A2xx2合振动分振动；xxAcos()wt+jAcos)(2jj1A12+A222A1A2+其中，合振幅2jj1若2p+k0()21,k,,...则cos2jj1()1AA12+A222A1A2++A2为合振幅可能达到的最大值若A1A1A2则AA12,若2jj10()21,k,,...则cos2jj1()-1AA12+A222A1A2为合振幅可能达到的最小值若A1A2则A2p+k(+1)A2A10,若2jj1为其它值，则处于AA2A1A2A1+与之间14.4.1两个同频率、同方向简谐振动的合成14.4.3两个不同频率，同振动方向简谐振动的合成为了突出重点，设两分振动的振幅相等且初相均为零。xx1Acoswt1coswt2Axx22pnAcost12pnAcost2+合振动xx1xx2xx+2pnAcost12pnAcost2此合振动不是简谐振动，一般比较复杂，只介绍一种常见现象：A2t2pcosn1+n222pcosn1n22tn1n22+频率为

的简谐振动频率为

的简谐振动n1n2214.4.3两个不同频率，同振动方向简谐振动的合成若n2n1与相差不大，n1n2n1+n2xxA2t2pcosn1+n222pcos2n1n2t可看作呈周期性慢变的振幅合振动频率相对较高的简谐振动ttAA8Hz9Hzn1n2两分振动的频率()()1秒合振动频率n1+n22tA2合振动振幅（包络线）变化的频率称为nn1n21Hz“

拍频”n8.5Hz()()例如：xxcos()wt+A1j1cos()wt2j+A2y消去

t得轨迹方程：2+xxA12y2A222A1A2xxycos()2jj1sin()2jj12该方程为椭圆的普遍方程，若2jj10或yA2A1xx得直线2p+k(),...21k,2jj1或yA2A1xx得直线若+p2p+k(),...21k,(+1)若介绍几种特殊情况：2jj1p2+得正椭圆2+xxA12y2A22114.4.4两个同频率，相互垂直的简谐振动的合成14.4.4两个同频率，相互垂直的简谐振动的合成两个同频率相互垂直简谐振动合成图线举例：直线直线正椭圆正椭圆A1A2XOYXOYA2A12jj1p22jp2j10p232jj102jj1pp23或21斜椭圆斜椭圆A1YA2XOA1A2XOY2jj1p32jj1p232jp3j102jp32j10A1YA2XOA1A2XOY2jj102j0j102jj1p2jpj1014.4.4两个不同频率，相互垂直的简谐振动的合成xxcos()t+A1j1cos()t2j+A2yw2w1其合运动一般较复杂，且轨迹不稳定。但当为两个简单的整数之比时w2w1可以得到稳定轨迹图形，称为李萨如图形w1w22113322jj1p2pp234p4p5例如14.3.2n个同频率、同振动方向的简谐振动的合成已知14.3.2n个同频率、同振动方向的简谐振动的合成Textinhere分析及结果根据旋转矢量合成应为根据等腰三角形关系有因此得14.3.2n个同频率、同振动方向的简谐振动的合成Textinhere讨论(1)各分振动初相位相同时(2)各分振动初相位差

,k’为不等于nk的整数(k为自然数)时14.4实际振动14.1

14.2阻尼振动受迫共振振动

实际振动14.4.1阻尼振动称为阻尼振动或衰减振动tXO振幅逐渐衰减的振动形成阻尼振动的原因：振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。以第一种原因为例，建立阻尼振动的力学模型。X以液体中的水平弹簧振子为例：XOOxx摩擦阻力vvfrfrffmm弹性力振动速度不太大时受g：阻力系数摩擦阻力vgfr与反向v负号：fr弹性力fkxx振子

受m合外力Fkxxvgkxxgddtxmddtx22即ddtx22xxddtxkmgm令kmw02gmb2+w0称为振动系统的固有角频率得ddtx22b2ddtx+w02xx0b称为阻尼系数若阻尼较弱，且w0b时，上述微分方程的解为A0exxbcos()wt+jt14.4.1阻尼振动A0和j取决于初始状态。w为振动角频率，w02b2A0exxb)+jcos(wtt为阻尼振动的振幅，随时间的增大而指数衰减。A0ebt越大，振幅衰减越快，且振动周期越长。bTtXOA0ebt)+jcos(wt本图设j0T2pTw周期w02b22pA0ebt14.4.1阻尼振动

相对较大的阻尼振动，其振幅衰减较快，但只要满足bbw0，振子仍可出现往复运动的特征，仍属阻尼振动。若阻尼过大，以致bw0，用此条件求解微分方程，其结果表明（数学表达从略）振子不能作往复运动，而是从开始的最大位置缓慢地回到平衡位置。此情况称为过阻尼。若bw0，振子从开始的最大位置较快地回到平衡位置，并处于往复运动的临界状态。此情况称为临界阻尼。临界阻尼w0b过阻尼w0bOXt阻尼振动w0b14.4.1阻尼振动14.4.2受迫振动共振

系统在周期性外力的持续作用下所作的等幅振动称为受迫振动。建立动力学方程振动系统振动系统幅值角频率pH周期性外力（强迫力）H弹性力fxkmmvvX平衡点平衡点OO阻力阻力frfrvgvg示意costwddtx22xxddtxkmgH+costwddtx22即+kmgmddtx+xxmHcostw表成ddtx22+b2ddtx+w02xxhcos