人教版高中数学选择性必修第一册知识要点复习总结

人教版高中数学选择性必修第一册知识要点复习总结第1章空间向量与立体几何§1.1空间向量及其运算1.空间向量基本概念空间向量：在空间,我们把具有大小和方向的量叫作空间向量.长度（模）：空间向量的大小叫作空间向量的长度或模,记为或.零向量：长度为0的向量叫作零向量,记为.单位向量：模为1的向量叫作单位向量.相反向量：与向量长度相等而方向相反的向量,叫作的相反向量,记为.共线向量（平行向量）：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量平行.相等向量：方向相同且模相等的向量叫作相等向量.2.空间向量的线性运算空间向量的线性运算包括加法、减法和数乘,其定义、画法、运算律等均与平面向量相同.3.共线、共面向量基本定理（1）直线的方向向量：在直线上取非零向量,与向量平行的非零向量称为直线的方向向量.（2）共线向量基本定理：对任意两个空间向量（），的充要条件是存在实数，使.（3）共面向量：如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合,那么称向量平行于直线.如果直线平行于平面或在平面内,那么称向量平行于平面.平行于同一个平面的向量,叫作共面向量.（4）共面向量基本定理:如果两个向量,不共线,那么向量与向量,共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,使.4.空间向量的数量积（1）向量的夹角：已知两个非零向量,,在空间任取一点,作,则叫作向量,的夹角,记作.如果,那么向量互相垂直,记作.（2）数量积定义：已知两个非零向量,则叫作的数量积,记作.即.（3）数量积的性质：.（4）空间向量的数量积满足如下的运算律：(交换律):（分配律).推论：，.（5）向量的投影向量：向量在向量上的投影向量：向量在平面内的投影向量与向量的夹角就是向量所在直线与平面所成的角.§1.2空间向量基本定理1.空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对空间任意一个空间向量.存在唯一的有序实数组.使得.2.基底与正交分解(1)基底:如果三个向量不共面,那么我们把叫作空间的一个基底,都叫作基向量.(2)正交分解:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直.且长度都为1.那么这个基底叫作单位正交基底，常用表示.把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫作把空间向量进行正交分解.§1.3空间向量及其运算的坐标表示1.空间直角坐标系在空间选定点和一个单位正交基底.以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:轴.轴、轴,它们都叫作坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系,叫作原点，都叫作坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面.空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系.2.空间向量的坐标在空间直角坐标系中为坐标向量.给定任一向量,存在唯一的有序实数组,使.有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标.记作.也叫点在空间直角坐标系中的坐标.记作.3.空间向量运算的坐标表示设，则：（1），（2），（3）.4.空间向量平行、垂直、模长、夹角的坐标表示（1），（2），（3），（4）.5.空间两点间的距离公式设，则.§1.4空间向量的应用1.平面的法向量：直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量.2.空间中直线、平面的平行（1）线线平行:若分别为直线的方向向量,则使得.（2）线面平行:设直线的方向向量,是平面的法向量,，则.法2:在平面内取一个非零向量,若存在实数,使得,且，则.法3:在平面内取两个不共线向量,若存在实数，使得,且,则.（3）面面平行:设分别是平面的法向量，则，使得.3.空间中直线、平面的垂直（1）线线垂直:若分别为直线的方向向量,则.（2）线面垂直:设直线的方向向量,是平面的法向量,则，使得.法2:在平面内取两个不共线向量,若.则.（3）面面垂直:设分别是平面的法向量，则.4.用空间向量研究距离、夹角问题（1）点到直线的距离：已知是直线上任意两点,是外一点，，则点到直线的距离为.(2)求点到平面的距离已知平面的法向量为,是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为.（3）直线与直线的夹角若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则.(4)直线与平面的夹角设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为.则.（5）平面与平面的夹角平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角.若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则.第2章直线和圆的方程§2.1直线的倾斜角与斜率1.倾斜角与斜率：倾斜角：当直线与轴相交时，以轴为基准，轴正向和直线向上的方向之间所成的角叫直线的倾斜角，取值范围为.斜率：直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用来表示.斜率公式：如果直线经过两点,则.直线的方向向量：斜率为的直线的一个方向向量是,若斜率为的直线的一个方向向量的坐标为，则.2.两条直线平行和垂直的判定斜率分别为的两条不重合的直线，有.斜率分别为的两条直线，有.§2.2直线的方程1.直线方程：⑴点斜式：（不能表示斜率不存在的直线）⑵斜截式：（不能表示斜率不存在的直线，是直线与轴的交点纵坐标（即轴上的截距））⑶两点式：⑷截距式：（是直线在轴上的截距，且）⑸一般式：（不同时为0）2.给定直线方程判断直线的位置关系：（一）对于直线有：⑴；⑵和相交；⑶和重合；⑷.（二）对于直线：（1）与直线垂直的一个向量为，平行的一个向量为.（2）对于直线有：；和相交；.§2.3直线的交点坐标与距离公式（1）两点间距离公式：已知，则.（2）点到直线距离公式：到直线的距离为：.（3）两平行线间的距离公式：：与：间的距离为：.§2.4圆与方程1.圆的方程：⑴标准方程：(其中圆心为，半径为.)⑵一般方程：.().§2.5直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系:（表示圆心到直线的距离）;;.2.直线和圆相交弦长公式：（表示圆心到直线的距离）3.两圆位置关系：（1）外离：；（2）外切：；（3）相交：；（4）内切：（）；（5）内含：（.第3章圆锥曲线的方程§3.1椭圆定义平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆，两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围且且顶点、、、、轴长长轴的长短轴的长对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称焦点、、焦距关系离心率焦点三角形面积通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：弦长公式，§3.2双曲线定义平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫双曲线，两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围或，或，顶点、、轴长实轴的长虚轴的长对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称焦点、、焦距关系离心率渐近线方程焦点到渐近线距离焦点三角形面积通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：§3.3抛物线定义平面内与一定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点叫抛物线的焦点，直线叫抛物线的准线.图形标准方程顶点离心率对称轴轴轴范围焦点准线方程通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：焦点弦长公式参数的几何意义参数表示焦点到准线的距离，越大，开口越阔高中数学 选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何一、知识要点1、空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫作向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2、空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。;;运算律：（1）加法交换律：（2）加法结合律：（3）数乘分配律：运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3、共线向量（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫作共线向量或平行向量，平行于，记作。（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。（3）三点共线：A、B、C三点共线<=><=>（其中x+y=1）（4）与共线的单位向量为4、共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数x，y使。（3）四点共面：若A、B、C、P四点共面<=> <=>5、空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。若三向量不共面，我们把叫作空间的一个基底，叫作基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使。6、空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。注：①点A（x,y,z）关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)。空间中任一向量=（x,y,z）（3）空间向量的直角坐标运算律：①若，，则，，，，，②若，，则一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。③定比分点公式：若，，，则点P坐标为。推导：设P（x，y，z）则,显然，当P为AB中点时，④，三角形重心P坐标为⑤ΔABC的五心：内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。（单位向量）外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。垂心P：高的交点：（移项，内积为0，则垂直）重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）中心：正三角形的所有心的合一。（4）模长公式：若，，则，（5）夹角公式：。ΔABC中①<=>A为锐角②<=>A为钝角，钝角Δ（6）两点间的距离公式：若，，则，或7、空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫作向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：。（2）向量的模：设，则有向线段的长度叫作向量的长度或模，记作：。（3）向量的数量积：已知向量，则叫作的数量积，记作，即（4）空间向量数量积的性质：①②③（5）空间向量数量积运算律：①。②（交换律）。③（分配律）。④不满足乘法结合律：二、空间向量与立体几何1、线线平行两线的方向向量平行 线面平行线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行两面的法向量平行2、线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直 线面垂直线与面的法向量平行 面面垂直两面的法向量垂直3、线线夹角（共面与异面）两线的方向向量的夹角或夹角的补角，线面夹角：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.面面夹角（二面角）：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.4、点面距离：求点到平面的距离：在平面上去一点，得向量;；计算平面的法向量;.线面距离（线面平行）：转化为点面距离面面距离（面面平行）：转化为点面距离

第二章 直线和圆的方程一、直线方程1、直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫作这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2、直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点（0，）的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.3、（1）两条直线平行：∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线.②在和的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且）推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.（2）两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在.②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在.（即是垂直的充要条件）4、直线的交角：（1）直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.（2）两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.5、过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内）6、点到直线的距离：（1）点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.注：①两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：.特例：点P(x,y)到原点O的距离：②定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).则特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。③直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率:④过两点.当（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角＝，没有斜率（2）两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离为，则有.注：直线系方程①与直线：Ax+By+C=0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.(m∊R,C≠m).②与直线：Ax+By+C=0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.(m∊R)③过定点（x1,y1）的直线系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全为0)④过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ(A2x+B2y+C2）=0(λ∊R）注：该直线系不含l2.7、关于点对称和关于某直线对称：（1）关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.（2）关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.（3）点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.注：①曲线、直线关于一直线（）对称的解法：y换x，x换y.例：曲线f(x,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2,x–2)=0.②曲线C:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线方程是f(a–x,2b–y)=0.二、圆的方程1、（1）曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线上的与一个二元方程的实数建立了如下关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫作曲线方程；这条曲线叫作方程的曲线（图形）.（2）曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点其坐标与方程的一种关系，曲线上任一点是方程的解；反过来，满足方程的解所对应的点是曲线上的点.注：如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y)线C上的充要条件是f(x0,y0)=02、圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.注：特殊圆的方程：①与轴相切的圆方程②与轴相切的圆方程③与轴轴都相切的圆方程3、圆的一般方程：.当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.当时，方程表示一个点.当时，方程无图形（称虚圆）.注：①圆的参数方程：（为参数）.②方程表示圆的充要条件是：且且.③圆的直径或方程：已知（用向量可征）.4、点和圆的位置关系：给定点及圆.①在圆内 ②在圆上③在圆外5、直线和圆的位置关系：设圆圆：；直线：；圆心到直线的距离.①时，与相切；附：若两圆相切，则相减为公切线方程.②时，与相交；附：公共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为③时，与相离.附：若两圆相离，则相减为圆心的连线的中与线方程.由代数特征判断：方程组用代入法，得关于（或）的一元二次方程，其判别式为，则：与相切；与相交；与相离.注：若两圆为同心圆则，相减，不表示直线.6、圆的切线方程：圆的斜率为的切线方程是过圆上一点的切线方程为：.①一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=R2.特别地，过圆上一点的切线方程为.②若点(x0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.7、求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程.如图：ABCD四类共圆.已知的方程…①又以ABCD为圆为方程为…②…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求.三、曲线和方程1、曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：①曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；②方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲线。2、求曲线方程的方法：.①直接法：建系设点，列式表标,简化检验;②参数法;③定义法，④待定系数法.第三章 圆锥曲线方程一、椭圆方程1、椭圆方程的第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于定长（定长通常等于2a，且2a>F1F2）的点的轨迹叫椭圆。（1）①椭圆的标准方程：中心在原点，焦点在x轴上：.中心在原点，焦点在轴上：.注：以上方程中的大小，其中；在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。②一般方程：.③椭圆的标准方程：的参数方程为（一象限应是属于）.（2）椭圆的性质①顶点：或.②轴：对称轴：x轴，轴；长轴长，短轴长.③焦点：或.④焦距：.⑤准线：或.⑥离心率：.【∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。】⑦焦（点）半径：设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆.⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫作通径.坐标：和⑨焦点三角形的面积：若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）。若是双曲线，则面积为。共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.2、椭圆的第二定义：平面内到定点F的距离和它到一条定直线L（F不在L上）的距离的比为常数e（）的点的轨迹叫作椭圆。其中定点F为椭圆的焦点，定直线L为椭圆焦点F相应的准线。二、双曲线方程1、双曲线的第一定义:平面内到到两个定点F1，F2的差的绝对值等于定长（定长通常等于2a，且2a<F1F2）的点的轨迹叫作双曲线。（）。（1）①双曲线标准方程：.一般方程：.（2）①焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或焦点在轴上：顶点：.焦点：.准线方程：.渐近线方程：或，参数方程：或.②轴为对称轴，实轴长为2a,虚轴长为2b，焦距2c.③离心率. ④准线距（两准线的距离）；通径.⑤参数关系. ⑥焦（点）半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）构成满足（3）等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线。定义式：；等轴双曲线的性质：①渐近线方程为：；②渐近线互相垂直。注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为：，当时交点在轴，当时焦点在轴上。（4）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫作已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.（5）共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：，代入得.2、双曲线的第二定义：平面内到定点F的距离和它到一条定直线L（F不在L上）的距离的比为常数e（e>1）的点的轨迹叫作双曲线。其中定点F为双曲线的焦点，定直线L为双曲线焦点F相应的准线。三、抛物线方程（1）抛物线的概念：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫作抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线。方程叫作抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是；（2）抛物线的性质设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：图形焦点准线方程范围对称轴轴轴顶点（0，0）离心率焦半径通径2p2p2p2p焦