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文档简介
§1、
非简谐应一、晶格的自由能与状态方程状态方程：
f(p,
V,
T)=0
自由能的定义：
F=U－TS热力学第一定律：
dU=TdS－pdV有dF=dU-d(TS)=－pdV－SdT
p
TT1、
模式密度g(w)在q空间中，处在w－w＋dw两等频面之间的振动模式数（只考虑其中第j支格波）为gj
w
dw
壳层
r
q
dt
q
dSdq
由于dq
qwj
dwqyxq0在非常低的温度下，由于短波声子的能量太高，不会被热激发，而被“冷冻”下来。所以hw
kB
T
的声子对热容几乎没有贡献；只有那些hwkB
T
的长波声子才会被热激发，对热容量有贡献。mwmwTyTxqqqq在q空间中，被热激发的声子所占的体积比约为
qT
wT
T
由于热激发，系统所获得的能量为：E(T)
3N
kB
T
CV
12NkB
T33333333333333333
qm
wm
D
CV
∝T3必须在很低的温度下才成立，
大约要低到T~QD/50
，即约10
K以下才能观察到CV随T3变化。Debye模型在解释晶格热容的实验结果方面已经证明是相当成功的，
特别是在低温下，
Debye理论是严格成立的。但是，需要指出的是Debye模型仍然只是一个近似的理论，仍有它的局限性，
并不是一个严格的理论。In的Debye温度QD
随温度的变化
gj
w
dS例：求一维单原子链晶格振动的模式密度g
wdw
r
q
2dq
w
q
w
q
L
dq
g
w
2
Na
dw
2
2p
dw
dw2pdq
qwj一维单原子链晶格振动的色散关系：w
sin
aq
wm
sin
aq
sin2
aq
w
220
/a
wm
w
4
b
m
m
(q)-
/aqm
m
g
w
w
w2
m2dw
awm
cosaq
awm2
mNa
p
1
2
2a
w
w
w
2
1
g
w2
dw
dq
dq
wm
晶格自由能
F
=
F1+F2vF1=U(
V)只与晶体的体积有关，而与温度（或晶格振动）无关，
U(
V)实际上是T=0时晶体的内能。vF2与晶格振动有关，即与温度有关。由统计物理可知，F2=－kB
TlnZZ：晶格振动的配分函数对于频率为wj
的格波，其配分函数为Zj
exp
hwj
hwj
1
exp
kB
T
nj
0nj
0nj
0nj
0
exp
2kB
T
系统的总配分函数：
Z
Zj
F2
kB
T
ln
Z
kB
T
ln
1
exp
晶格自由能为：F
U
V
kB
T
ln
1
exp
j
j
jj
j
hwj
Ej
j
p
T
j
E
hw
是表征频率随体积变化的量，设与wj无关。dU
EdV
V
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