高二物理竞赛晶体结构的对称性、晶系课件

晶体结构的对称性、晶系

晶体结构的对称性、晶系一、晶体结构的对称性的定义晶体内部原子（离子）的规则排列使晶体具有外形规则性，不仅几何外形上具有明显对称性，而且晶体的宏观物理性质也表现明显对称性。这种性质称为晶体结构的对称性。金刚石结构ABBBBAAA晶胞同种原子形成的两类格点相互套构kij体对角线1/4处的碳原子和顶角、面心处的碳原子分布在两个不同的面心立方晶格中，沿立方体对角线相互移动1/4对角线长度套构形成金刚石结构。其基元由相距1/4对角线长度的面心（或顶角）碳原子和位于1/4对角线长度处的不等价碳原子组成，基元代表点（格点）形成面心立方格子。cba顶角、面心Ｃ体对角线1/4处Ｃ砷化镓晶体结构体对角线1/4处的砷原子和顶角、面心处的镓原子各自构成面心立方晶格，沿立方体对角线相互移动1/4对角线长度套构形成闪锌矿结构。其基元由相距1/4对角线长度的面心（或顶角）镓原子和位于1/4对角线长度处的砷原子组成，基元代表点（格点）形成面心立方格子。砷镓BaO1TiBaTiOⅡOⅢOOOOOOOOOTiTiBa钛酸钡氧八面体的排列钛酸钡晶胞钡位于立方晶胞的顶角，钛位于立方晶胞体心，三组氧分别位于立方晶胞面心处。整个晶格由钡、钛、三组氧各自组成的简单立方格子套构而成。例：围绕光轴（C轴）每转动120°，晶体自身重合。在垂直于C轴的平面内，石英晶体具有三重对称性。表现在宏观性质上，相隔120°方向上，晶体的物理性质是一样的。C轴1、几何图形的对称性例：以下四种图形存在不同的对称性圆正方形等腰梯形不规则四边形旋转：对围绕中心的旋转不变旋转90°、180°、270°

时自身重合只在旋转360°下不变只在旋转360°下不变对直线的反射：对任意直径的反射不变只对对边中心线连线和对角线的反射不变只对上下底边中心线连线的反射不变不存在任何对称的线1、定义晶体在经过某种变换后，晶格的空间分布不变（晶体保持原来形状），这种变换称为对称操作。对称操作越多，晶体对称性越高。2、晶体对称操作的数学表示及限制条件由于格点与坐标一一对应，晶体的对称操作实际就是对晶体的坐标进行线性变换。对称操作中应不改变晶体中任意两点间距离，对应的变换矩阵是正交变换矩阵。变换：对于集合

U

任意向量

，按照某一规律

A，在

U中存在唯一的向量

与之对应，则这个对应的规律

A

就称为U 的一个变换。

称为

的象，

称为的原象，记为

A

。线性变换：和U 中任意两个向量

、

都满足关系：如果变换

A

对于任意数量

1、A

A

A

；2、A

A

；A

称为

U

的线性变换。

ya

z

y

a axa31 a32 a33z

23

2221a13x

yx

aa

aaaaaaax

z

x

z

y

y

a a ayTTa33z

a3223

22131211a33

a31a32z

a3123

212221131211d2

x用矩阵形式表示：Aa11 a12以

A

表示某种操作，将晶格中的点

r(x,

y,

z)

变换为

r(x,

y,

z)，r

Arx

a11x

a12

y

a13zy

a21x

a22

y

a23zz

a31x

a32

y

a33z点

r(x,

y,

z)

到原点距离：

z

z

x

T x

d2

(x)2(y)2

(z)2

y

ATA

yd2

x2

y2

z2所以，变换矩阵A

必须是正交矩阵，即：AT

A1AT

A

I

（单位矩阵）ATA

1jiijAT

a

A

a

,到原点距离：应等于点

r(x,

y,

z)A、转动x2x32x3x3x2x(x1,

x2

,

x3

)(x1,

x2

,

x3

)晶体围绕

x1

轴转

角，回复原状。(x1,

x2

,

x3

)

(x1,

x2

,

x3

)x1x1

x1x2

r

cos(

)

x2

cos

x3

sinx3

r

sin(

)

x2

sin

x3

cos围绕固定轴的转动变换是正交矩阵，其矩阵行列式等于+1。例：B、中心反演

i(x1,

x2

,

x3

)

(x1,x2

,x3

)2xx3(x1,

x2

,

x3

)(x1,

x2

,

x3

)1x例：中心反演变换矩阵是正交矩阵，矩阵行列式等于-1。C、平（镜）面反映

x2x31 2 3(x,

x

,

x)1 2 3(x,x,x

)1x(x1,x2

,

x3

)

(x1,x2

,x3

)例：平面反映变换矩阵是正交矩阵，行列式等于+1。或（

m

）(1

n3a3

)x3

)(1

n2a2)x2,(x1,

x2

,

x3

)

((1

n1a1)x1

,D、平移操作例：(n1,

n2

,

n3

,

0,1,2,3,)平移变换矩阵不是正交矩阵。证明：n 11 2 2 3 3R

na

n

a

n

a设围绕固定点转动前，格点位置矢量为：(n1,

n2

,