高中数学北师大版第二章解析几何初步单元测试 学业分层测评20

学业分层测评(二十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于()\r(2)π B．2πC．2eq\r(2)π D．4π【解析】圆的方程配方后可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，∴圆的半径r＝eq\r(2)，∴周长＝2πr＝2eq\r(2)π.【答案】C2．如果过A(2,1)的直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，则l的方程为()A．x＋y－3＝0 B．x＋2y－4＝0C．x－y－1＝0 D．x－2y＝0【解析】由题意知直线l过圆心(1,2)，由两点式可得l的方程为eq\f(y－1,2－1)＝eq\f(x－2,1－2)，即x＋y－3＝0.【答案】A3．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是()A．2 B．1＋eq\r(2)C．2＋eq\f(\r(2),2) D．1＋2eq\r(2)【解析】圆的方程变为(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴圆心为(1,1)，半径为1，圆心到直线的距离d＝eq\f(|1－1－2|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)，∴所求的最大值为1＋eq\r(2).【答案】B4．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，eq\r(5)为半径的圆的方程为()A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0【解析】直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－y＋1＝0，,x＋1＝0，))得C(－1,2)，∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.【答案】C5．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3，0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为()A．x2＋y2＝25(y≠0) B．x2＋y2＝25C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0) D．(x－2)2＋y2＝25【解析】线段AB的中点为(2,0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点(2,0)的距离为eq\f(1,2)|AB|＝5，所以点C(x，y)满足eq\r(x－22＋y2)＝5(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．【答案】C二、填空题6．以点A(2,0)为圆心，且经过点B(－1,1)的圆的一般方程为______．【解析】由题意知，圆的半径r＝|AB|＝eq\r(－1－22＋1－02)＝eq\r(10)，∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10，化为一般方程为x2＋y2－4x－6＝0.【答案】x2＋y2－4x－6＝07．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．【解析】由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b＝4，圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a<5，由此，得a－b<1.【答案】(－∞，1)8．点P(x0，y0)是圆x2＋y2＝16上的动点，点M是OP(O为原点)的中点，则动点M的轨迹方程是________．【解析】设M(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0,2)，,y＝\f(y0,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x，,y0＝2y，))又P(x0，y0)在圆上，∴4x2＋4y2＝16，即x2＋y2＝4.【答案】x2＋y2＝4三、解答题9．若点A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)，D(a,1)共圆，求a的值.【导学号：10690062】【解】设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B，C三点坐标代入，整理得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D－E＋F＝－2，,D＋4E＋F＝－17，,4D－2E＋F＝－20，))解得D＝－7，E＝－3，F＝2，∴圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.又∵点D在圆上，∴a2＋1－7a－3＋2＝0，∴a＝0或a＝7.10．已知△ABC的边AB长为2a，若BC边上的中线为定长m，求顶点C的轨迹．【解】以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，则A(－a,0)，B(a,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)，∴x0＝eq\f(x＋a,2)，y0＝eq\f(y,2)， ①∵|AD|＝m，∴(x0＋a)2＋yeq\o\al(2,0)＝m2， ②将①代入②，整理得(x＋3a)2＋y2＝4m2.∵点C不能在x轴上，∴y≠0.综上，点C的轨迹是以(－3a,0)为圆心，以2m为半径的圆，挖去(－3a＋2m,0)和(－3a－2m,0)两点．[能力提升]1．若圆x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有点都在第二象限，则a的取值范围为()A．(－∞，2) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)【解析】由x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0得(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，其圆心坐标为(－a,2a)，半径为2，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a<0，,2a>0，,|－a|>2，,2a>2，))解得a>2，故选D.【答案】D2．已知定点P1(－1,0)，P2(1,0)，动点M满足|MP1|＝eq\r(2)|MP2|，则构成△MP1P2面积的最大值是()\r(2) B．2eq\r(2)\f(2\r(3),3) D．2eq\r(3)【解析】设M(x，y)，由|MP1|＝eq\r(2)|MP2|，可得eq\r(x＋12＋y2)＝eq\r(2)eq\r(x－12＋y2)，化简得(x－3)2＋y2＝8，即M在以(3,0)为圆心，2eq\r(2)为半径的圆上运动，又S△MP1P2＝eq\f(1,2)·|P1P2|·|yM|＝|yM|≤2eq\r(2).故选B.【答案】B3．若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不包括边界)，则a的取值范围是________．【解析】∵点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0内部，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋12＋a－12－2aa－1－4<0，,－2a2－4×－4>0，))即2a<2，a<1.【答案】a<14．(2023·沈阳高一检测)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．【解】(1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为