人教A版高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语（二）

第一章集合与常用逻辑用语1.4.1充分条件与必要条件第1课时在初中，我们已经对命题有了初步的认识．一般地，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．本节主要讨论这种形式的命题．下面我们将进一步考查“若p，则q”形式的命题中p和q的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语—充分条件、必要条件和充要条件．在命题（1）（4）中，由条件p通过推理可以得出结论q，所以它们是真命题．在命题（2）（3）中，由条件p不能得出结论q，所以它们是假命题．上述命题（1）（4）中的p是q的充分条件，q是p的必要条件．而命题（2）（3）中的p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．充分条件：有它就行必要条件：没它不行例：：开关A闭合是灯泡亮的什么条件？例：开关A闭合是灯泡亮的什么条件？判断（正确的画“√”，错误的画“×”）××√×方法规律：充分条件，必要条件的两种判别方法思考例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”．这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？我们说p是q的充分条件，是指由条件p可以推出结论q，但这并不意味着只能由这个条件p才能推出结论q．一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的．例如，我们知道，下列命题均为真命题：①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形．所以，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件．事实上，例1中命题（1）及上述命题①②③均是平行四边形的判定定理．所以，平行四边形的每一条判定定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即这个条件能充分保证四边形是平行四边形．类似地，平行线的每一条判定定理都给出了“两直线平行”的一个充分条件，例如“内错角相等”这个条件就充分保证了“两条直线平行”．一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．例2

下列“若p，则q”形式的命题中，哪些q是p的必要条件？（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角线分别相等；（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；思考例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两条对角分别相等”．这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯一，你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗？我们说q是p的必要条件，是指以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着由p只能推出结论q．一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的．例如，下列命题都是真命题．①若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；②若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．③若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分．这表明，“四边形的两组对边分别相等”“这个四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的必要条件．我们知道，例2中命题（1）及上述命题①②③均为平行四边形的性质定理．所以，平行四边形的每条性质定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件．类似地，平行线的每条性质定理都给出了“两直线平行”的一个必要条件．例如“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件，也就是说，如果同位角不相等，那么就不可能有“两直线平行”．一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件第一章

集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件

第2课时教材分析本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第一章《集合与常用逻辑用语》第四节《充分条件与必要条件》以下是“常用逻辑用语”的课时安排：第四节第五节课时内容充分条件与必要条件（共2课时）全称量词与存在量词（共2课时）所在位置教材第17页教材第26页新教材内容分析通过列举学生熟悉的数学命题，加深学生对命题的条件与结论的认识，主要以“若p则q”形式的命题为载体，通过考察命题中的条件p与结论q之间的关系，学习充分条件、必要条件、充要条件这三个逻辑用语。全称量词和存在量词是数学中经常使用的量词，教材通过丰富的数学实例，介绍了这两类量词的意义，探究了全称量词命题和存在量词命题的否定，并鼓励学生使用新的数学符号，使学生习惯于运用数学符号语言表达一些数学内容。核心素养培养通过观察实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义会辨析充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件，体现了逻辑推理的核心素养。通过数学实例，使学生理解全称量词、存在量词的意义，体现了数学抽象的核心素养；会判定命题的真假，会写出命题的否定，体现了逻辑推理的核心素养。教学主线命题的真假判断学习目标

1．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系,培养数学抽象的核心素养。2．会对某些命题的充要条件进行证明，培养逻辑推理的核心素养。重点、难点

重点：理解充要条件的含义难点：充分性、必要性证明充要条件的关系（一）新知导入创设情境，生成问题我国战国时期，墨子所著《墨经》对充分条件、必要条件的描述：充分条件：“有之则必然，无之则未必不然”必要条件：“无之则必不然，有之则未必然”物理中的逻辑古文中的逻辑在①、②两个电路中，A、C的开闭与灯泡B亮起来，会形成什么逻辑条件呢？思考你能举生活中存在“充分条件或必要条件”的逻辑语句或事例吗？思考（一）新知导入探索交流，解决问题【问题1】已知p:整数a是6的倍数,q:整数a是2和3的倍数.请判断:p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?[答案]p⇒q,故p是q的充分条件,又q⇒p,故p是q的必要条件.【思考1】通过判断,你发现了什么?这种关系是否对任意一个“若p,则q”的命题只要具备上述命题的条件都成立?你能用数学语言概括出来吗?[提示]可以发现：p既是q的充分条件,又是q的必要条件,且这种关系对“若p,则q”的命题只要具备p⇒q,q⇒p都成立,即p⇔q.（二）充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的________________，简称为充要条件(sufficientandnecessarycondition)．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的_____________．概括地说，如果________，那么p与q互为充要条件．充分必要条件充要条件（二）充要条件（1）如果p是q的充要条件，那么p与q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？（2）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？（3）p是q的条件判断还有什么情况？【思考2】[答案]（1）正确。（2）p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；p的充要条件是q说明q是条件，p是结论。（3）若p⇒q，但q⇏p，则称p是q的充分不必要条件．若q⇒p，但p

⇏

q，则称p是q的必要不充分条件．若p⇏q，且q⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件。（二）充要条件【辩一辩】判断正误：(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件． ()(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题． ()(3)q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立． ()【做一做】

充要A√√√（三）充要条件的判断例1.

【思维引导】分两个步骤进行判断:①判断充分性p⇒q;②判断必要性q⇒p.【解析】

（三）充要条件的判断2.集合法【类题通法】充分、必要条件的判断方法1.定义法若p⇒q，但q⇏p，则称p是q的充分不必要条件．若q⇒p，但p⇏q，则称p是q的必要不充分条件．若p⇒q，且q⇒p，则称p是q的充要条件。若p⇏q，且q⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件。记法关系ABBAA=B图示结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p,q互为充要条件p是q的既不充分也不必要条件（三）充要条件的判断【巩固练习1】

[解析](1)∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．(2)∵p⇒q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵p不能推出q，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，∴“|ab|＝ab”不能推出

“ab>0”，即p不能推出q.而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p.

∴p是q的必要不充分条件．（四）充要条件的探求与证明[思维引导]从充分性、必要性两方面证明．易错提醒：充分性与必要性的推导方向不能弄错例2.

[证明]

②必要性

（四）充要条件的探求与证明【类题通法】在证明时要注意两种叙述方式的区别：①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．[证明]【巩固练习2】

充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明．（四）充要条件的探求与证明例3.【思维引导】至少有一个负根可能是一个负根也可能是两个负根，需要分类讨论．[解析]

（四）充要条件的探求与证明(1)探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B)，再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．【类题通法】探求充要条件的方法（四）充要条件的探求与证明【巩固练习3】

[解析]

（五）操作演练素养提升[答案]1.B2.B3.A4.A

1．设x∈R，则“1<x<2”是“1<x<3”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4.已知a，b为实数，则“a＋b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件课堂小结