【教案】简单复合函数的导数教学设计-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用《5.2.3简单复合函数的导数》教学设计教学目标教学目标1.了解复合函数的概念．2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．教学重难点教学重难点教学重点：复合函数的概念及求导法则教学难点：简单复合函数的导数课前准备课前准备PPT课件．教学过程教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第78~80页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．预设的答案：（1）本节课主要学习简单复合函数的导数；（2）本节内容通对复合函数的概念及其求导法则的学习，帮助学生进一步提高导数的运算能力，同时提升学生为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础．在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2：导数的四则运算法则是什么？师生活动：学生回顾并回答．预设的答案：；；；.特别地.设计意图：复习前节课的主要知识，温故而知新．问题3：如何求函数y＝ln（2x-1）的导数呢？设计意图：提出问题，开门见山，引导学生探究复合函数的求导问题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．【探究新知】知识点1：复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．【说一说】（1）函数y＝ln（2x-1）是由哪些函数复合而成的？（2）函数y＝sin2x是由哪些函数复合而成的？师生活动：学生回答．预设的答案：（1）函数y＝ln（2x-1）是由y＝lnu和u＝2x-1复合而成．（2）函数y＝sin2x是由y＝sinu和u=2x复合而成．问题5：如何求函数y＝sin2x的导数呢？师生活动：教师引导学生思考并回答．教师完善、讲解．预设的答案：追问：函数y＝sin2x是由y＝sinu和u=2x复合而成的，如果以表示y对x的导数，表示y对u的导数，表示u对x的导数，那么与及有什么关系呢？师生活动：学生先求出和然后找关系．教师完善、讲解．预设的答案：，，又，所以．知识点2：复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f(u)，u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．设计意图：通过对复合函数的概念及求导法则的推导．发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．【练一练】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sinu，u＝πx．()(2)f(x)＝ln(3x－1)则f′(x)＝．()(3)f(x)＝x2cos2x，则f′(x)＝2xcos2x＋2x2sin2x．()师生活动：学生独立完成，教师完善．预设的答案：(1)√(2)×(3)×【巩固练习】例1求下列函数的导数（1）y=（3x+5）3；（2）y=e-0.05x+1；(3)y=ln(2x-1)．师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答．教师完善．预设的答案：（1）函数y=（3x+5）3可以看作函数y=u3和u=3x+5的复合函数，根据复合函数求导法则，有；（2）函数y=e-0.05x+1可以看作函数y=eu和u=-0.05x+1的复合函数，根据复合函数求导法则，有；（3）函数y=ln(2x-1)可以看成是由y=lnu和u=2x-1的复合函数，根据复合函数求导法则，有．设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握复合函数的求导，发展学生数学运算、直观想象和数学抽象的核心素养．方法总结：1．复合函数求导的步骤2．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．例2某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位:mm)关于时间t(单位:s)的函数满足关系式.求函数在t=3s时的导数，并解释它的实际意义．师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答；教师完善．预设的答案：函数可以看作函数y=18sinu和的复合函数，根据复合函数的求导法则，有，当t=3时，．它表示当t=3s时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s．设计意图：通过弹射振子的位移问题，体现了复合函数求际的实际应用．发展学生数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养．方法总结：（1）复合函数求导，关键是分析复合函数的结构，找出相应的中间变量，从而根据复合函数的求导法则进行求导．（2）三角函数型函数的求导要求：对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导.（3）复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.练习：教科书P81练习1、2设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】板书设计：5.2.3简单复合函数的导数新知探究巩固练习知识点1：复合函数的概念例1知识点2：复合函数的求导法则例22．总结概括：简单复合函数的求导法则师生活动：学生总结，老师适当补充．设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．3．课堂作业：教科书P81习题5.22、5教科书P81练习3【目标检测设计】1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是()A．y＝un，u＝x2－1B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝tn，t＝(x2－1)nD．y＝(t－1)n，t＝x2－1设计意图：进一步巩固复合函数的概念．2．函数y＝x2sin2x的导数为()A．y′＝2xsin2x－x2cos2xB．y′＝2xsin2x－2x2cos2xC．y′＝x2sin2x－2xcos2xD．y′＝2xsin2x＋2x2cos2x设计意图：进一步巩固复合函数的求导法则．3．已知f(x)＝ln(3x－2021)，则f′(1)＝________.设计意图：进一步巩固复合函数的求导法则以及求导数值．4．已知f(x)＝xe－x，则f(x)在x＝2处的切线斜率是________．设计意图：进一步巩固复合函数的导数以及导数的几何意义．参考答案：1．A2．Dy′＝(x2)