数值计算方法总复习

第二章非线性方程的数值解法常用方法

1二分法2一般迭代法3牛顿迭代法4弦截法根的隔离；误差估计；迭代收敛阶2一般迭代法(1)迭代法(1)把（1）等价变换为如下形式(2)建立迭代格式(3)适当选取初始值x

0，递推计算出所需的解。

定理2.2（非局部收敛定理）如果在上连续可微且以下条件满足：命题2.2

若在区间内，则对任何，迭代格式不收敛。

推论设x*=g(x*)，若g(x)在x*附近连续可微且，则迭代格式xk+1=g(xk)在x*附近局部收敛。

(2)迭代法的收敛性简单地代之以(3)迭代法的误差估计

3牛顿迭代法

其迭代函数为牛顿迭代法

4弦截法

弦截法第三章线性代数方程组的数值解法

解线性方程组的消去法解线性方程组的矩阵分解法3解线性方程组的迭代法给定一个线性方程组求解向量x。(1)高斯消去法1.解线性方程组的消去法

1）消元过程：对k=1,2,…,n依次计算

2)回代过程：这一无回代的消去法称为高斯-若当（Jordan）消去法

(2)高斯-若当（Jordan）消去法

高斯-若当（Jordan）消去法

一般公式：

定理3.1

如果的各阶顺序主子式均不为零，即有即消去法可行。推论若系数矩阵严格对角占优，即有

(3)选主元素的消去法

主元素的选取通常采用两种方法：一种是全主元消去法；另一种是列主元消去法。

2解线性方程组的矩阵分解法

一、非对称矩阵的三角分解法

矩阵分解法的基本思想是：可逆下三角矩阵可逆上三角矩阵对于给定的线性方程组（1）分解——解两个三角形方程组。矩阵的Crout分解的计算公式(3-12)注：

3.3.3对称正定矩阵的三角分解

定义3.1若n阶方矩阵A具有性质且对任何n维向量成立，则称A为对称正定矩阵。定理3.4若A为对称正定矩阵，则

(1)A的k阶顺序主子式(2)有且仅有一个单位下三角矩阵L和对角矩阵D使得（3-16）这称为矩阵的乔里斯基（Cholesky）分解。(3)有且仅有一个下三角矩阵，使（3-17）这称为分解矩阵的平方根法。

3解线性方程组的迭代法

迭代法思想:(1)Ax=b(3-1)(2)建立迭代格式这称为一阶定常迭代格式，M称为迭代矩阵。约化便得从而可建立迭代格式对

（3-23）以分量表示即(1)、Jacob迭代法雅可比（Jacobi）迭代

则雅可比迭代格式（3-24）可用矩阵表示为MJfJ用矩阵表示为对雅可比迭代格式修改得高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代

fG-SMG-S(2)Gauss-Seidel迭代法例3.10分别用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解线性方程组

解相应的迭代公式为雅可比迭代高斯-塞德尔迭代令取四位小数迭代计算由雅可比迭代得

由高斯-塞德尔迭代得

定理3.5若一阶定常迭代格式（3-26）的迭代矩阵满足条件

则该迭代格式对任何初始向量均收敛。则该迭代格式对任何初始向量均收敛。

定理3.6

若一阶定常迭代格式（3-26）的迭代矩阵满足条件

迭代法的收敛性

推论

如果线性代数方程组Ax=b的系数矩阵A为严格对角占优矩阵，即则相应的雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法对任何初始向量均收敛。

定理3.8一阶定常迭代格式对任何初始向量均收敛的充分必要条件为其迭代矩阵的谱半径小于1，即这里为M的特征值第四章函数的插值与拟合法1插值多项式的构造2最小二乘法定义4.1

设y=f(x)在区间[a,b]上连续，在[a,b]内n+1个互不相同的点上取值.求一代数多项式P(x)，使得

则称P(x)为f(x)的插值函数1插值多项式定理4.1在n+1个互异点上满足插值条件(4-1)的次数不超过n次的插值多项式存在且惟一。

两种插值多项式形式

(1)拉格朗日插值多项式

下列列表函数的多项式Ln(x)

xx0x1---xi-1xixi+1---xnyy0y1---yi-1yiyi+1---yn线性插值(n=1)，抛物插值(n=2)

(2)牛顿均差插值多项式Ln(x)和N(x)插值多项式的余项

例：已知列表函数,并计算f(0.5)的计算值。解：x-1012y111-5x-1012y111-5(1)由数据表构造均差表kxkf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差0-1100-11010-3211-632-5又解：

2

数据的多项式最小二乘拟合

xx0x1---xi-1xixi+1---xnyy0y1