Ch8变形及刚度计算

§8—1

轴向拉压杆的变形§8—2

圆轴扭转时的变形和刚度计算§8—3

梁的变形及刚度计算§8—4

简单超静定问题内容提要第八章变形及刚度计算§2-6拉（压）杆的变形FF一、轴向拉压杆的变形纵向伸长、横向缩短纵向伸长量：横向缩短量：1)轴向拉伸§8-1

轴向拉压杆的变形FF纵向缩短、横向伸长纵向缩短量：横向伸长量：2)轴向压缩结论：绝对变形量不足以描述变形的程度。讨论：下列两杆件哪一个变形更严重F1F1（a）F2F2（b）§2-6拉（压）杆的变形§8-1

轴向拉压杆的变形表示单位长度线段变形的应变恰好可以描述变形的程度。FF1、纵（轴）向变形量：2、横向变形量：FF轴向线应变：横向线应变：3、线应变的符号约定：与变形量的正负号一致，即拉应变为正，压应变为负。§2-6拉（压）杆的变形§8-1

轴向拉压杆的变形§2-6拉（压）杆的变形§8-1

轴向拉压杆的变形二、轴向拉压杆的变形计算上式表明:EA愈大，△l愈小。或者说，EA反映了杆件抵抗变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。1)轴向变形§2-6拉（压）杆的变形§8-1

轴向拉压杆的变形上式的适用条件：线弹性条件下，在l长度上EA和FN均为常数。即杆件变形均匀，ε=常数。若EA和FN分段为常数若EA和FN连续变化当杆件受拉伸沿纵向伸长时，横向则缩短；当杆件受压缩沿纵向缩短时，横向则伸长。FFbh横向线应变：轴向线应变：实验表明，对于同一种材料，存在如下关系：或：v——称为泊松比，量纲为一常数——负号表示纵向与横向变形的方向总是相反§2-6拉（压）杆的变形§8-1

轴向拉压杆的变形2)泊松比材料名称E（GPa）v钢200~2200.24~0.30铝合金70~720.26~0.33铸铁80~1600.23~0.27混凝土15~360.16~0.20木材（顺纹）8~12-硅石材2.7~3.50.12~0.20几种常见材料的E和v值§2-6拉（压）杆的变形§8-1

轴向拉压杆的变形50kN20kN30kNABCDE1m2m3m1m解：用直接法画轴力图10KN40KN20KN–+–FN图§2-6拉（压）杆的变形§8-1

轴向拉压杆的变形40KN20KN10KN–+–50kN20kN30kNABCDE1m2m3m1mFN图即杆被压短了1.572mm§2-6拉（压）杆的变形§8-1

轴向拉压杆的变形解：把自重简化为沿着轴线均匀分布的线荷载，集度q＝γA任意取一个截面1－1，画受力图。在1－1截面处取出一微段dy作为研究对象，受力如图。由于取的是微段，dFN(y)可以忽略，认为在微段dy上轴力均匀分布（常数）§2-6拉（压）杆的变形轴力§8-1

轴向拉压杆的变形§2-6拉（压）杆的变形注：FN(y)dy相当于轴力图的微面积§8-1

轴向拉压杆的变形结论：等直杆由自重引起的变形量等于把自重当作集中力作用在杆端所引起的变形量的一半。G另取一根相同的杆件，把它的自重作为一个集中力作用在自由端，此时杆件的伸长量为§2-6拉（压）杆的变形§8-1

轴向拉压杆的变形§2-6拉（压）杆的变形§8-1

轴向拉压杆的变形§2-6拉（压）杆的变形§8-1

轴向拉压杆的变形§2-6拉（压）杆的变形§8-1

轴向拉压杆的变形§2-6拉（压）杆的变形§8-1

轴向拉压杆的变形§2-6拉（压）杆的变形§8-1

轴向拉压杆的变形——抗扭刚度扭率：扭率（单位长度上的扭转角）描述了扭转变形的剧烈程度扭转角：单位：rad§8-2

圆轴扭转时的变形和刚度计算一、圆轴扭转时的变形当在杆长l内扭率为常数时当在杆长L内扭率分段为常数时，用求和公式§8-2

圆轴扭转时的变形和刚度计算二、刚度条件以度每米为单位时以弧度每米为单位时许用单位长度扭转角（1）校核强度（2）设计截面（3）确定荷载刚度条件刚度条件的应用已知T

、D和[θ]已知T

和[θ

]已知D和[θ]§8-2

圆轴扭转时的变形和刚度计算例题：圆轴如图所示。已知d1=75mm，d2=110mm。材料的许用剪应力[]=40MPa，轴的许用单位扭转角

[]=0.8°/m，剪切弹性模量G=80GPa。试校核该轴的扭转强度和刚度。d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m§8-2

圆轴扭转时的变形和刚度计算d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m解：强度校核+8KN.m3KN.mT图12满足强度条件分析：虽然TAB<TBC，但BC段的截面面积也大于AB段的截面面积，所以要分段分别校核。+8KN.m3KN.m刚度校核T图满足刚度条件§8-2

圆轴扭转时的变形和刚度计算例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的

倍？圆轴的扭转角是原来的

倍？816§8-2

圆轴扭转时的变形和刚度计算§8-1概述yABx1）挠度（

y）:横截面形心C(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移，称为该截面的挠度。y挠度C'C一般各横截面的挠度是不相同的，是位置x的函数。一、度量梁变形的基本未知量§8-3

梁的变形及刚度计算§8-1概述挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。挠曲线方程为式中，x为梁变形前轴线上任一点的横坐标，y为该点的挠度。yABxy挠度C'C挠曲线§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-1概述yABx2）转角（）：横截面对其原来位置的角位移（横截面绕中性轴转动的角度）,称为该截面的转角。转角y挠度C'C一般各横截面转角是位置x的函数，即=(x)。3）水平位移（u）：横截面形心沿水平方向的位移。小变形时可不考虑。§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-1概述yABx转角y挠度C'C挠曲线4）挠度和转角的关系即可见，只要给出挠曲线方程，即可求出任意横截面的挠度和转角。§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-1概述挠度：向下为正，向上为负。转角：自x

转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。yABx转角y挠度C'C挠曲线5）挠度和转角的符号约定注：针对图示坐标系。§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-2梁的挠曲线的近似微分方程横力弯曲时,M和都是x的函数

。略去剪力对梁的位移的影响,则推导公式纯弯曲时曲率与弯矩的关系为由几何关系知,平面曲线的曲率可写作由以上两式，得二、挠曲线的近似微分方程§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-2梁的挠曲线的近似微分方程MMoxyMMM>0M<0在规定的坐标系中,x轴水平向右为正,

y轴竖直向下为正；而弯矩是下侧受拉为正。曲线向上凸时：y''>0,M<0曲线向下凹时：

y''<0,M>0因此,

M

与

y''的正负号相反oxy§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-2梁的挠曲线的近似微分方程此式称为梁的挠曲线近似微分方程（或称为小挠度微分方程）近似原因:(1)略去了剪力的影响;(2)略去了

y'2

项。与1相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-3积分法计算梁的位移梁的挠曲线近似微分方程1）公式推导再积分一次,得挠度方程上式积分一次得转角方程式中C、D称为积分常数，可通过梁挠曲线的位移边界条件和变形连续条件来确定。三、用积分法求梁的变形§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-3积分法计算梁的位移ABAB在简支梁中，左右两铰支座处的挠度yA

和yB

都应等于零（边界）；C左、C右截面的挠度

、转角相等（变形连续）。在悬臂梁中，固定端处的挠度yA和转角A都应等于零。2）位移边界条件和变形连续条件位移边界条件：yA

＝0，yB

＝0位移边界条件：yA

＝0，A＝0注意：位移边界条件在支座处

变形连续条件在分段点变形连续条件：CyC1＝yC2，C1＝C2§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-3积分法计算梁的位移积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。位移边界条件光滑连续条件－弹簧变形§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-3积分法计算梁的位移注意当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段梁的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分方程需分段列出。相应地各段梁的转角方程和挠曲线方程也随之而异。ABFDab§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-3积分法计算梁的位移1、正确分段，分别列弯矩方程；2、分段列近似微分方程，一次积分得转角方程，再此积分得挠度方程；3、由位移边界条件和变形连续条件求得积分常数。步骤注意：1、位移边界条件在支座处，变形连续条件在中间分段点处；2、分n段，就要列n个弯矩方程，就有n个转角方程和n个挠度方程，因此就有2n个积分常数，就必须列出2n个补充方程（边界条件和变形连续条件）§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-3积分法计算梁的位移CDAFB例题：用积分法求位移时，图示梁应分几段来列挠曲线的近似微分方程？试分别列出确定积分常数时需用的边界条件和变形连续条件。3m3m2mq解：分AC、CB、BD三段1位移边界条件：变形连续条件：yA

＝0yC1＝yC2，C1＝C223应该列6个补充方程yB2＝yB3，B2＝B3A截面：x1=0时，C截面：x1=x2=3m时，B截面：x2=x3=6m时，B截面：x2=x3=6m时，yB

＝0x§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-3积分法计算梁的位移例题：图示一抗弯刚度为EI

的悬臂梁,在自由端受一集中力P

作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度ymax

和最大转角max。yABxP§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-3积分法计算梁的位移弯矩方程为解：挠曲线的近似微分方程为xyABxP对挠曲线近似微分方程进行积分§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-3积分法计算梁的位移边界条件为：C1=0C2=0将边界条件代入(3)(4)两式中,可得xyABxP§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-3积分法计算梁的位移C1=0C2=0梁的转角方程和挠度方程分别为xyABxP§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-3积分法计算梁的位移max及ymax都发生在自由端截面处（）yABxP（）ymax§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-3积分法计算梁的位移例题：图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度ymax和最大转角max。ABq§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-3积分法计算梁的位移ABq解:由对称性可知，梁的两个支反力为FRAFRB弯矩方程为挠曲线的近似微分方程为xx§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算ABqFRAFRB挠曲线的近似微分方程为对挠曲线近似微分方程进行积分x(c)(d)x§8-3积分法计算梁的位移ABqFRAFRBx边界条件为：x

梁的转角方程和挠度方程分别为§8-3积分法计算梁的位移

xABq在x=0

和x=l处转角的绝对值相等且都是最大值，AFRAFRB

梁的转角方程和挠度方程分别为§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-3积分法计算梁的位移由对称，在梁跨中点l/2

处有最大挠度值

xABqA

梁的转角方程和挠度方程分别为FRAFRB§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-3积分法计算梁的位移例题：图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在D点处受一集中力P的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求D截面的挠度和A、B截面的转角ABPDab§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-3积分法计算梁的位移解：梁的两个支反力为ABPDabFRAFRB12xx1、分两段分别列弯矩方程§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-3积分法计算梁的位移2、两段梁的挠曲线方程分别为12挠曲线方程转角方程挠度方程(0xa)(ax)可见，梁分两段，就有4个积分常数§8-3积分法计算梁的位移D点的连续条件：在x1＝x2=a

处边界条件在处，在x=0处，ABPDab12FRAFRB3、边界条件和变形连续条件§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-3积分法计算梁的位移代入方程可解得：12挠曲线方程转角方程挠度方程(0xa)(ax)在处，在x=0

处，在x1＝x2=a

处§8-3积分法计算梁的位移12挠曲线方程转角方程挠度方程(0xa)(ax)12§8-3积分法计算梁的位移12将x=0

和x=l

分别代入转角方程，左右两支座处截面的转角当a>b

时,右支座处截面的转角绝对值为最大ABPDab12FRAFRB§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-3积分法计算梁的位移12ABPDab12FRAFRBD截面的挠度：把x=a代入y1或者y2，得§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-4叠加法计算梁的位移叠加原理：梁在小变形、弹性范围内工作时，梁在几项荷载（可以是集中力,集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。

当每一项荷载所引起的挠度为同一方向（如均沿y轴方向),其转角是在同一平面内(如均在xy

平面内)时,则叠加就是代数和。叠加原理四、用叠加法求梁的变形§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-4叠加法计算梁的位移叠加法的分类直接叠加——梁上荷载可以化成若干个典型荷载，每个典型荷载都可以直接查表求出位移，然后直接叠加；间接叠加——梁上荷载不能化成直接查表的若干个典型荷载，需将梁进行适当转换后才能利用表中结果进行叠加计算。§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-4叠加法计算梁的位移例题：一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度yC

和支座处横截面的转角A、B

。ABmCq§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-4叠加法计算梁的位移解：将梁上荷载分为两项简单的荷载，如图b、c所示(b)ABmCqBACqBAmC(C)§8-4叠加法计算梁的位移ABmCqACqAmC()()查表，得§8-4叠加法计算梁的位移例题：试利用叠加法，求图所示抗弯刚度为EI

的简支梁跨中点的挠度yC

和两端截面的转角A,B

。ABCq§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-4叠加法计算梁的位移解：可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加。ABCqABCq/2CAB§8-4叠加法计算梁的位移（1）正对称荷载作用下ABCq/2§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-4叠加法计算梁的位移（2）反对称荷载作用下可将AC段和BC段分别视为受均布线荷载作用且长度为l

/2

的简支梁在跨中C截面处，挠度yc

等于零

，但转角不等于零且该截面的弯矩也等于零CAB§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-4叠加法计算梁的位移CABCAB（2）反对称荷载作用下§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-4叠加法计算梁的位移将相应的位移进行叠加,即得ABCq（）（）§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-4叠加法计算梁的位移例题：一抗弯刚度为EI

的外伸梁受荷载如图所示,

试按叠加原理并利用附表,求截面B的转角B

以及A端和BC中点D的挠度yA

和yD

。

ABCDaa2a2qq§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-4叠加法计算梁的位移解：将外伸梁沿B截面截成两段，将AB段看成B端固定的悬臂梁，BC段看成简支梁。ABCDaa2a2qq§8-1概述§8-3

梁的变形及刚度计算§8-4叠加法计算梁的位移2qABB截面两侧的相互作用力为：2qa2qa2qaBCDqABCDaa2a2qq§8-4叠加法计算梁的位移2qaBCDq简支梁BC

的受力情况与外伸梁AC的BC

段的受力情况相同由简支梁

BC求得的B，yD，就是外伸梁AC的

B，yDABCDaa2a2qq§8-4叠加法计算梁的位移2qaBCDq简支梁BC的变形就是MB和均布荷载q分别引起变形的叠加。qBCDBCD§8-4叠加法计算梁的位移(1)求B，fDqBCDBCD由叠加原理得§8-4叠加法计算梁的位移2qAB(2)求fA由于简支梁上B截面的转动，代动AB段一起作刚体运动，使A