高等数学5-2多元函数的极限连续性

第五章第二节一、多元函数的概念二、多元函数的极限与连续性三、多元连续函数的性质多元函数的基本概念1一、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式2定义1.

设非空点集点集D

称为函数的定义域;数集称为函数的值域（记作

R(f)）

.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在

D

上的n

元(数量值)函数,记作自变量，因变量？3例如,

二元函数定义域为圆域说明:

二元函数z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形(Gr

f)一般为空间曲面

.三元函数定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球Rn空间中的超平面？空间中的超曲面.Rn空间中的超平面？4等值线

：

另一种表示函数z=f(x,y)的方法是利用xOy面上的曲线族。当点(x,y)在其中每一条曲线f(x,y)都取相同的值所谓的等值线f(x,y)=C，其中C为常数。它表示上变化时.函数5容易看出，等值线f(x,y)=C实际上就是曲面z=f(x,y)与平面z=C

的交线在xOy平面上的投影。因此,将等值线f(x,y)=C族中各曲线升到相应得高度z=C处就不难想象出曲面z=f(x,y)的图像6例

画出函数的等值线，并由此等值线解:

显然等值线为可知，此曲面仅位于xOy平面的上方，与xOy平面讨论此曲面的形状。容易看出，当C>0时，等值线是以原点为中心的同心圆，C越小半径越小;C=0时为原点O(0,0);C<0时无轨迹。由此切于原点，在xOy平面上方与水平平面z=C的截面都是圆，且越往上开口半径越大等值面7定义

设非空点集是自变量

;是因变量，显然，一个n元向量值函数y=f(x)对应于m

个n

元数量值函数映射称为定义在

D

上的n

元向量值函数,也可记作8为运算方便，有时把其中与中的向量写成列向量，在这种情况下n

元向量值函数也可记作9例

我们知道,空间中曲线的参数方程为它可以看做是从

到的一个映射，即一元其中向量值函数10二、多元函数的极限和连续性定义2.3设n

元函数点

,则称a

为函数(也称为n

重极限)当n=2时,记二元函数的极限可写作：P0是D的聚若存在常数a,对一记作都有对任意正数

,总存在正数,切11例1.

设求证:证:故总有要证12例2.

设求证：证：故总有要证13如图xx0xx注：当点趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限以不同方式趋于不存在.函数说明：

14xoX0XD对二元函数f(X),如图有点X以任何方式趋近于X0时,f(X)的极限都存在且为A.Dz=f(x,y)Xf(X)MX0Ayzxo15例3.设f(x,y)=证明

f(x,y)在(0,0)点的极限不存在.证:

只须证明当X沿不同的线路趋于(0,0)时,函数

f(x,y)对应的极限也不同即可.16考察X=(x,y)沿平面直线y=kx

趋于(0,0)的情形.如图对应函数值xoy17从而,当X=(x,y)沿y=kx

趋于(0,0)时,函数极限当k不同时,极限也不同.因此,f(x,y)在(0,0)的极限不存在.请考察当X=(x,y)沿x

轴,沿y

轴趋于(0,0)的情形.18沿x

轴,y=0.函数极限=0沿y

轴,x=0.函数极限=0但不能由此断定该二重极限为0(注).19例4.

求解:因而此函数定义域不包括x,y

轴则故20例

.

求累次极限解：和二元函数还可以定义两个累次极限

和累次极限21仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.注.二重极限不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然与累次极限但由例3知它在(0,0)点二重极限不存在.例322注：多元数量值函数极限的概念可推广到多元向量值函数的情形定义：

设D为一点集则称a

为函数为一n元向量值函数对一记作都有对任意正数

,总存在正数,切是D的聚点23多元函数的连续性定义3

.

设n元函数定义在D

上,如果函数在D

上各点处都连续,则称此函数在

D

上如果下式成立否则称为不连续,此时称为间断点

.则称n

元函数连续.连续,24例如,

函数在点(0,0)极限不存在,又如,

函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.(一切初等函数，在定义区间内都连续.)25定理：设是紧集，

是

A

上的

(2)f在

A

上可取得最大值M及最小值m;(最值定理)对任意(介值定理)三.多元连续函数的性质:的连续函数，则(有界性定理)(1)f在A上有界;(3)当A为连通的紧集时，26定理：设是紧集，

是

A

上连续,f必在A上一致连续

,即(证明略)时，恒有注：有界闭区域都是连通的紧集，故上述定理对有界闭区域上的连续都成立。(一致连续性定理)27解:原式例5.求例6.

求函数的连续域.解:28内容小结1.多元函数概念n

元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数29有2.多元函数的极限3.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续P61题

2;4;5(3),(5)(画图

);8P129题

3;*4思考与练习30解答提示:P61题2.称为二次齐次函数.P61题4.P61题5(3).定义域P61题5(5).定义域31P62题8.间断点集P129题3.定义域P129题*4.令y=kx

，若令,则可见极限不存在32

P615(2),(4),(6)6(2),(3),(5),