高中数学人教A版3第一章计数原理 第一章组合的综合应用

第一章计数原理排列与组合1.2.2组合第2课时组合的综合应用A级基础巩固一、选择题1．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同取法有()A．27种B．24种C．21种D．18种解析：分两类：一类是2个白球有Ceq\o\al(2,6)＝15种取法，另一类是2个黑球有Ceq\o\al(2,4)＝6种取法，所以取法共有15＋6＝21(种)．答案：C2．4位同学每人从甲、乙、丙三门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有()A．12种B．24种C．30种D．36种解析：依题意，满足题意的选法共有Ceq\o\al(2,4)×2×2＝24(种)．答案：B3．从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种，在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有()A．24种B．18种C．12种D．96种解析：从3块不同的土地中选1块种1号种子，有Ceq\o\al(1,3)种方法，从其余的3种种子中选2种种在另外的2块土地上，有Aeq\o\al(2,3)种方法，所以所求方法有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝18(种)．答案：B4．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的2个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有()A．10种B．20种C．36种D．52种解析：根据2号盒子里放球的个数分类：第一类，2号盒子里放2个球，有Ceq\o\al(2,4)种放法，第二类，2号盒子里放3个球，有Ceq\o\al(3,4)种放法，剩下的小球放入1号盒中，共有不同放球方法Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,4)＝10(种)．答案：A5．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求最后播放的必须是公益广告，且2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式有()A．120种B．48种C．36种D．18种解析：依题意，所求播放方式的种数为Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝2×3×6＝36.答案：C二、填空题6．北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有________种不同送法．解析：每校先各得一台，再将剩余6台分成3份，用插板法解，共有Ceq\o\al(2,5)＝10(种)．答案：107．某校开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有________种不同选修的方案(用数字作答)．解析：分两类，第一类学生不选A，B，C中的任意一门，选法有Ceq\o\al(4,6)＝15(种)．第二类学生从A，B，C中选一门，再从其他6门中选3门课程，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,6)＝60种选法．所以选法共有15＋60＝75(种)．答案：758．以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个．解析：先从8个顶点中任取4个的取法为Ceq\o\al(4,8)种，其中，共面的4点有12个，则四面体的个数为Ceq\o\al(4,8)－12＝58(个)．答案：58三、解答题9．为了提高学生参加体育锻炼的热情，光明中学组织篮球比赛，共24个班参加，第一轮比赛是先分四组进行单循环赛，然后各组取前两名再进行第二轮单循环赛(在第一轮中相遇过的两个队不再进行比赛)，问要进行多少场比赛？解：第一轮每组6个队进行单循环赛，共有Ceq\o\al(2,6)场比赛，4个组共计4Ceq\o\al(2,6)场．第二轮每组取前两名，共计8个组，应比赛Ceq\o\al(2,8)场，由于第一轮中在同一组的两队不再比赛，故应减少4场，因此第二轮的比赛应进行Ceq\o\al(2,8)＝4(场)．综上，两轮比赛共进行4Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,8)－4＝84(场)．10．有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？(1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；(3)分成每组都是2本的三组；(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．解：(1)分三步：选选一本有Ceq\o\al(1,6)种选法；再从余下的5本中选2本有Ceq\o\al(2,5)有种选法；对于余下的三本全选有Ceq\o\al(3,3)种选法，由分步乘法计数原理知选法有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60(种)．(2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基础上，还应考虑再分配的问题，因此选法共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360(种)．(3)先分三步，则应是Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)种选法，但是这里面出现了重复，不妨记6本书分别为A，B，C，D，E，F，若第一步取了(AB，CD，EF)，则Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，AB，CD)，(EF，CD，AB)共Aeq\o\al(3,3)种情况，而且这Aeq\o\al(3,3)种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此，只算作一种情况，故分配方式有eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(3,3))＝15(种)．(4)在问题(3)的基础上再分配，故分配方式有eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90(种)．B级能力提升1．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有()A．36个B．72个C．63个D．126个解析：此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有Ceq\o\al(4,9)＝126(个)．答案：D2．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为________．解析：设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,x)＝16，则6×5×4＝x(x－1)(x－2)＋16×6，所以x(x－1)(x－2)＝2×3×4，解得x＝4.即女生有2人．答案：23．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解：法一依0与1两个特殊值分析，可分三类：(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有Ceq\o\al(1,4)种方法；0可在后两位；有Ceq\o\al(1,2)种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有Ceq\o\al(1,3)种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)·22个．(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数Ceq\o\al(2,4)·22·Aeq\o\al(3,3)个．(3)0和1都不取，有不同三位数Ceq\o\al(3,4)·23·Aeq\o\al(3,3)个．综上所述，不同的三位数共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)·22＋Ceq\o\al(2,4)·22·Aeq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(3,4)·23·Aeq\o\al(3,3)＝432(个)．法二任取三