高中数学人教A版第一章三角函数任意角和弧度制 名师获奖

课题名称：任意角（第一课时）课程模块及章节：必修四.第一章备课时间：2023年2月18日学科：数学备课组：高一数学主备教师：赵明烈备课组长：龙清华组员：邱建成.张国彪.黄泽专.张秋花.保德怀教师二次备课教学背景分析课标的理解与把握学生曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。（二）教材分析：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。（三）学情分析：学生对于角的定义以及运用只停留在初中阶段，因此教师要善于运用图形引导学生理解终边相同的角的作用，挖掘学生的潜质。教学目标1．掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义2．通过终边相同的角的公式来求任意角所处在的象限。教学重点和难点重点：求任意角所处在的象限难点：求任意角所处在的象限教学准备、教学资源和主要教学方法教学辅助：多媒体，课件教学方法：观察与类比教学过程教学环节教师为主的活动学生为主的活动设计意图导入新课目标引领1.初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”2.初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。教师在黑板写教学目标并解读学习目标学生回答学生一起朗读为新课做准备，在原有的基础上学习明确学习方向导学活动BαOA图1BαOA图12.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。3．正角、负角、零角概念我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？探究后得出答案：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。4.象限角师：在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念。同学们已经经过预习，请一位同学回答什么叫：象限角？生：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。师：很好，从刚才这位同学的回答可以知道，她已经基本理解了“象限角”的概念了。下面请大家将书上象限角的定义划好，同时思考这么三个问题： 1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？（处理：学生思考片刻后回答，教师适时予以纠正。）答：1.不行，始边包括端点（原点）； 2．端点在原点上；3．不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限学生作答在原有的基础上得出定义，让学生明确定义的来源。对整个知识点进行梳理，整合活动导学活动导学活动导学师：同学们一定要学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，这样的预习才是有效果的。 师生讨论：好，按照象限角定义，图中的300，3900，-3300角，都是第一象限角；3000，-600角，都是第四象限角；5850角是第三象限角。师：很好，不过老师还有几事不明，要请教大家：（1）锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什么？生：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；师：（2）锐角就是小于900的角吗？生：小于900的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；师：（3）锐角就是00～900的角吗？生：锐角：{θ|00<θ<900}；00～900的角：{θ|00≤θ<900}. 5.终边相同的角的表示法师：观察下列角你有什么发现?3903303014701770生:终边重合.师:请同学们思考为什么？能否再举三个与300角同终边的角？生：图中发现3900，-3300与300相差3600的整数倍，例如，3900=3600+300，-3300=-3600+300；与300角同终边的角还有7500，-6900等。师：好！这位同学发现了两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差3600的整数倍。例如：7500=2×3600+300；-6900=-2×3600+300。那么除了这些角之外，与300角终边相同的角还有： 3×3600+300 -3×3600+300 4×3600+300 -4×3600+300 ……， ……，由此，我们可以用S={β|β=k×3600+300，k∈Z}来表示所有与300角终边相同的角的集合。师：那好，对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？生：S={β|β=α+k×3600，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。6.例题分析课本例1利用S={β|β=k×3600+a0，k∈Z}来作为解题的方向，但要注意a的取值范围。学生一起探讨，得学生分组讨论，得出结论学生分组讨论学生独立完成学生独立完成通过讨论板书加深对知识的理解.培养学生书写的能力.对公式的有效整合，拆分，全方位的巩固新知当堂评价课本第4页练习第一，第二题学生独立完成巩固新知，提高知识整合能力板书设计任意角角的定义与分类学习目标例题1课堂展示教学反思课题名称：任意角（第二课时）课程模块及章节：必修四.第一章备课时间：2023年2月18日学科：数学备课组：高一数学主备教师：赵明烈备课组长：龙清华组员：邱建成.张国彪.黄泽专.张秋花.保德怀教师二次备课教学背景分析课标的理解与把握学生曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。（二）教材分析：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。（三）学情分析：学生对于角的定义以及运用只停留在初中阶段，因此教师要善于运用图形引导学生理解终边相同的角的作用，挖掘学生的潜质。教学目标1．掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义2．通过终边相同的角的公式来求任意角所处在的象限。教学重点和难点重点：求任意角所处在的象限难点：求任意角所处在的象限教学准备、教学资源和主要教学方法教学辅助：多媒体，课件教学方法：观察与类比教学过程教学环节教师为主的活动学生为主的活动设计意图导入新课目标引领1.前面我们学习了任意角终边相同的角的公式是什么？学生答案：S={β|β=α+k×3600，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。教师要在这个集合公式加以分析，让学生明白这个集合公式的作用，以及如何去运用，特别是K的估计值。教师把学习目标写在黑板上并解读目标学生回答学生一起朗读为新课做准备明确学习方向导学活动探究在平面直角坐标系象限角的表示方法：第一象限角：｛α|k360oπ＜α＜k360o+90o,k∈Z｝第二象限角：｛α|k360o+90o＜α＜k360o+180o,k∈Z｝第三象限角：｛α|k360o+180o＜α＜k360o+270o,k∈Z｝第四象限角：{α|k360o+270o＜α＜k360o+360o,k∈Z｝2.终边落在轴右侧的角的集合．在～中，轴右侧的角可记为，同样把该范围“旋转”后，得，，故轴右侧角的集合为．说明：一个角按顺、逆时针旋转（）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转（）角后，所得“区间”仍与原区间重叠。学生作答让学生的思维不在停留在初中阶段对于象限角的理解课堂练习1.在～间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1）；（2）；（3）．解：（1）∵∴与角终边相同的角是角，它是第三象限的角；（2）∵∴与终边相同的角是，它是第四象限的角；（3）所以与角终边相同的角是，它是第二象限角．总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以，按通常除去进行；负的角度除以，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以使余数为正值．练习：（1）一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为__．（2）集合M＝{α=k，k∈Z}中，各角的终边都在（C

）A．轴正半轴上，B．轴正半轴上，C．轴或轴上，D．轴正半轴或轴正半轴上（3）设，C＝{α|α=k180o+45o,k∈Z}，则相等的角集合为_B＝D，C＝E__．1）如图，终边落在位置时的角的集合是__{α|α＝k360o+120o,k∈Z}；终边落在位置，且在内的角的集合是_{－45o,225o}_；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是_{α|k360o－45o＜α＜k360o+120o,k∈Z}．学生一起探讨，得出答案学生分组讨论学生独立完成学生独立完成通过讨论板书加深对知识的理解.培养学生书写的能力.巩固所学知识培养，并灵活的引用公式去运算对公式的有效整合，拆分，全方位的巩固新知当堂评价课本第4页练习第三，第四题学生独立完成巩固新知，提高知识整合能力板书设计任意角相同终边的角的表示方法学习目标例题3课堂展示教学反思课题名称：弧度制（第一课时）课程模块及章节：必修四.第一章备课时间：2023年2月18日学科：数学备课组：高一数学主备教师：赵明烈备课组长：龙清华组员：邱建成.张国彪.黄泽专.张秋花.保德怀教师二次备课教学背景分析课标的理解与把握讲清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性。（二）教材分析：通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解（三）学情分析：学生对于弧度角是一个新的数学领域，相对来说比较抽象，因此教师要善于运用图形引导学生理解弧度的作用，以及和角度之间的关系。教学目标1.探究1弧度的角、弧度制的定义.2.探究角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.3.熟记特殊角的弧度数教学重点和难点重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.难点：弧度的概念及其与角度的关系.教学准备、教学资源和主要教学方法教学辅助：多媒体，课件教学方法：观察与类比教学过程教学环节教师为主的活动学生为主的活动设计意图导入新课目标引领复习引入：1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．⑵．“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，2．度量角的大小第一种单位制—角度制的定义初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？规定周角的作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为教师在黑板写教学目标并解读学习目标学生回答学生一起朗读为新课做准备丰富学生对于角的认识，有一个知识点的形成过程明确学习方向活动导学提出问题30°、60°的圆心角，半径r为1，2，3，4，分别计算对应的弧长l，再计算弧长与半径的比结论：圆心角不变，则比值不变，因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度量角的制度——弧度制探究问题1．定义：长度等1.半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．如下图，依次是1rad，2rad，3rad，αrad探究：⑴平角、周角的弧度数，（平角=rad、周角=2rad）⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0⑶角的弧度数的绝对值（为弧长，为半径）⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同2.角度制与弧度制的换算：∵360=2rad∴180=rad∴1=例1把化成弧度解：∴例2把化成度解：注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器进行；2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略如：3表示3rad，sin表示rad角的正弦；学生作答学生作答在原有的基础上得出定义，让学生明确定义的来源全面梳理角的内容，作为解题的基础当堂评价课本第9页练习第一，第二题学生独立完成巩固新知，提高知识整合能力板书设计弧度制弧度的定义以及和角度之间的转换学习目标例题1课堂展示教学反思课题名称：弧度制（第二课时）课程模块及章节：必修四.第一章备课时间：2023年2月18日学科：数学备课组：高一数学主备教师：赵明烈备课组长：龙清华组员：邱建成.张国彪.黄泽专.张秋花.保德怀教师二次备课教学背景分析课标的理解与把握讲清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性。（二）教材分析：通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解（三）学情分析：学生对于弧度角是一个新的数学领域，相对来说比较抽象，因此教师要善于运用图形引导学生理解弧度的作用，以及和角度之间的关系。教学目标1.探究1弧度的角、弧度制的定义.2.探究角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.3.熟记特殊角的弧度数教学重点和难点重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.难点：弧度的概念及其与角度的关系.教学准备、教学资源和主要教学方法教学辅助：多媒体，课件教学方法：观察与类比，归纳教学过程教学环节教师为主的活动学生为主的活动设计意图导入新课目标引领复习旧知1.1.半径长圆心角度制与弧度制的换算：∵360=2rad∴180=rad∴1=教师写出学习目标并解读目标学生回答学生一起朗读为新课做准备明确学习方向导学活动一些特殊角的度数1.特殊的角度与弧度数的对应值应该记住：角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π角度210°225°240°270°300°315°330°360°弧度7π/65π/44π/33π/25π/37π/411π/62π2．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系正角零角正角零角负角正实数零负实数例：用弧度制表示：1终边在轴上的角的集合2终边在轴上的角的集合3终边在坐标轴上的角的集合解：12．3.例：已知是第二象限角，试求：角所在的象限；解：(1)∵α是第二象限角,∴+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,即+kπ<<+kπ,k∈Z.故当k=2m(m∈Z)时，+2mπ<<+2mπ,因此，角是第一象限角；当k=2m+1(m∈Z)时，π+2mπ<<π+2mπ,因此，角是第三象限角.