高中数学人教A版第二章数列数列的概念与简单表示法 教学案例

课题：数列起始课（1课时）一、教学设计1．教学内容解析本课内容为人教A版普通高中课程标准实验教科书必修5第二章数列的一节起始课。这一章共分五节，主要学习一般数列的概念和表示方法，并将研究两类特殊的数列——等差数列和等比数列，解决与这些数列相关的一些问题，了解它们在实际生活中的应用。.《标准》对数列内容的整体定位是：数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型.

本章是在数列概念的建构下，研究两类常见的特殊数列——等差数列、等比数列。通过类比学习，发现其递推关系，探索并掌握其通项公式和求和公式；体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系；能在具体的问题情景中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。就本节课而言，一方面是前面函数知识的延伸及应用，通过概念、表示、性质等多维度探究数列，理解其离散函数本质；另一方面利用数列丰富多样的实际背景让学生对本章学习产生期许，对本章教学内容产生总体印象，为后面学习等差数列、等比数列的通项、求和等知识打下铺垫。根据以上分析，本节课的教学重点确定为教学重点：理解数列的概念，感受数列是刻画自然规律的数学模型及其广泛应用．初步感知整章所涉及的数列模型，激发学生学习兴趣2．学生学情诊断高一学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，对数列的知识有了初步的接触和认识，有通过数列前几项求通项公式的基础，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系，同时思维的严密性还有待加强，对数列还错误的停留在“按规律”排列的表象认识，

根据以上分析，确定本节课教学难点为教学难点：体会研究数列的方法．用函数的观点认识数列，了解函数与数列之间的联系和区别。3．教学标准设置（1）通过实例的数列模型建构，使学生形成数列的概念。（2）利用有关数列实际问题的介绍，激发学生学习研究数列的积极性，使学生感受数列应用广泛性和研究的必要性；（3）利用具体数列的探究，了解数列是一种离散函数，使学生明确应抓住其函数本质研究数列的方式，培养学生归纳概括和类比学习的能力。（4）通过分组探究问题引导，使学生感受本章两种重要数列模型等差和等比的特殊性，意识到研究数列求和的重要性，了解本章知识体系4．教学策略分析作为一章内容的起始课，要让学生初步建立对本章知识的了解，激发学生的学习兴趣。同时，既要让学生感受数列的丰富多彩，又不能让素材冲淡主线，刻意标新立异。所以本节课立足学生最近发展区，以熟悉的六个不同领域的情景一线贯穿，由浅入深，层层递进从不同角度让学生了解本章知识概貌，体会思想方法，让学生积极主动参与到课堂教学中来。因此，本节课充分发挥学生主体地位，采用启发引导式教学，实现由感知数列到体会本质的突破。教学中需采用实物投影仪、多媒体课件辅助教学。教学流程：二、课堂实录1．情景引入，理解数列引言：今天我们将进入新一章的学习，为了让大家了解本章概貌，我将作为一名导游，带领大家一起浏览这一章的风景，今天的第一站让我们从一段密码开始：播放《达芬奇密码》电影探长破译斐波拉契数列密码片段，提出了这样的问题：师：“电影达芬奇密码中有这样一段情节：卢浮宫馆长索尼埃被杀时留下了一段密码和信息，你能从短片中看出探长破译后的明文和原来的密码之间有什么关联吗？生：数字相同，顺序不同。师：探长发现索尼埃留下的密码其实就是打乱了顺序的斐波拉契数列，从而得到启示将下面的英文字母重新进行组合找到了谜底。以上过程反映了既便是相同的数字按照不同的先后顺序排列也会有不同的意义，这正是我们本章要研究的主题：数列【评析】此环节这样设计的直接作用是激发了学生的学习兴趣，同时结合章引言中出现的斐波拉契数列引出了本章要研究的主题——数列，但更深层次的用意是让学生认识到数字不同排列顺序产生不同信息，这是我们研究数列的本质原因。师：请大家继续对比这两组数，斐波拉契数列是世界上著名的数列，你能观察出它的规律吗?生：每个数是其前两个数的和。师：那么索尼埃的密码有类似规律吗？索尼埃的密码是数列吗？生：……【评析】充分发挥背景题材功能，对数列的有顺序和有规律进行了辨析，同时更进一步理解了同一数列的概念。此引入低耗高效，一个例子将数列概念几个易混点解释清楚。2．体会定义感受数列从不同领域自然、天文、生活、体育、民俗、文化、经济给出情景，让学生充分感受数列应用的广泛性。自然界植物花瓣的数目大多符合斐波拉契中的项1，1，2，3，5，8，13，21，33，……哈雷彗星的回归地球年份1682，1758，1834，1910，1986，20621988年到2023年中国奥运金牌数5，16，16，28，32，51，38拉面在对折过程中的根数2，4，8，16，32，64，128，256，……婚礼上的酒塔由顶层到底层的酒杯数1，3，5，7，9古诗词中蕴涵的古塔上的灯数3，6，12，24，48，96，192师：对数列的研究源于现实生产、生活的需要。在日常生活中，人们经常遇到的像存款利息，购房贷款等实际计算问题，都需要用数列的知识来解决。学习数列的目的为了更好的让它们服务我们的生产生活。【评析】从六个领域让学生感受到数列：一、丰富多彩二、大量存在三、在实际问题的计算中有用。在过程当中体会到学习数列的重要意义，使学生对本章的学习产生强烈期待，同时给出的六个数列也为后续探究埋下伏笔，有效避免了起始课素材庞杂的不利因素。分组探究了解概貌问题探究：结合我们得到的六组数列，观察哪些数列变化规律有共同点？又有什么不同？生：……教师归纳总结：一、从相邻项的关系看相邻两项的差为常数(等差数列）相邻两项比为常数（等比数列）二、从项与n的关系看有些数列的项是可以用代数式表示的三、从项的个数看有些数列项数有限，无限四、从项的变化趋势看有些数列递增递减或不具有单调性【评析】本环节设计较为开放，重点培养学生处理数学问题的基本技能：观察。引导学生发现问题并解决问题。通过两两对比从三个不同角度的问题继续探究，由学生共同思考后投影展示：探究一：n123456……①……②(1)观察这两组数列，第n项可以用n表示出来吗？如果可以，请归纳出它们的关系式：(2)如果把n看成自变量，看成函数值，，数列中的每一项与n都符合这个关系式吗？________________________________(3)结合所学的函数，试试给出一个的表达式，写出前5项_=__________【评析】本环节从学生最近发展区出发由学生直接观察归纳出数列的通项，得出通项公式的概念，明确本章第一部分将要研究的内容数列的概念和表示方法，更重要的是体会解决数列问题最基础的方式就是观察归纳，初步体会数列和函数的关系。模型酒塔背景下的数列13579慧星回归年份数列168217581834191019862062观察这两组数列，你能归纳出这两组数列有什么相同点？从函数的角度看，酒杯数是关于n的什么类型的函数？（3）在婚礼策划中需要一个10层酒塔，共需要多少杯子？介绍你的求法。【评析】本环节首先让学生明确本章第二部分的内容为等差数列。让学生通过对比体会到这种数列的本质特征，但对等差数列的定义不作过多解释，引导学生从直观上感知这种数列特点，以及初步体会等差数列和一次函数关系。并引入等差数列求和问题，让学生初步感受这种数列求和是可以类比高斯加法的。探究三：模型……拉面根数组成数列248163264128灯盏数组成的数列3612244896192(1)观察两个数列，你能归纳出这两个数列有哪些相同点吗？(2)拉面拉一下两边一合，叫“一扣”。假设每一扣长度为1米，有人说，制作过程中，总长度将可以达到珠穆朗玛峰的高度.你能结合这个数列对应的函数表达式说说这个梦想可以实现吗？为什么？(3)若将古诗变为：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问各层几盏灯？你能求出数列吗？介绍你的求法。【评析】引入等比数列，从学生感兴趣的话题体现等比数列和指数函数的联系。并让学生感受到等比数列求和到问题。师：经过以上大家共同探讨，你了解了本章将要研究哪些内容？生：主要学习:(1)一般数列的概念和表示方法，(2)两类特殊的数列——等差数列和等比数列(3)数列的求和（4）解决与这些数列相关的一些问题，了解它们在实际生活中的应用。【评析】通过对实例的再探，使学生充分了解本章将要研究的主要内容，达到起始课要学生明确学什么的目的。在探求过程中感受数列和函数的联系，体验到了研究数列问题的重要思想方法：（1）观察归纳（2）类比函数同时充分发挥学生主体地位，教师充当导游的身份，体现了起始课的特点。让学生感受到了学习的快乐，真正让学生产生学习数列的兴趣。本质引领类比体会师：既然数列有如此丰富的资源等着我们探寻，我们该怎样研究它呢？请大家跟我一起回顾一下报告单的生成过程：首先我们都是通过什么方式得到了数列的规律？生：观察归纳师：在研究过程中，我们发现数列和我们所学的那部分内容密切相关？生：类比函数【评析】通过对实例的再次反思，由学什么自然过渡为怎么学。通过问题引起认知冲突，得出结论：数列是一种特殊的函数，既要抓住其函数特性研究数列，又要注意其离散的特点。师：为了巩固这两种思想在解决数列问题中的运用，下面我们通过抢答比赛来具体体验一下：观察规律填空：1，2，5，10，_____,26第3个图形中小三角形的个数为：________.(3)你能写出这个数列的通项公式吗？9，99，999，9999，……(4)4为数列第几项？【评析】通过实际运用，进一步巩固观察归纳和函数方程思想第运用。同时介绍本章涉及的一些有趣的数列。总结整理提炼升华师：经过本节课的学习，请大家结合章引言，谈谈对数列本章有了哪些认识？结合学生的归纳，完成知识小结．【评析】回归教材，让学生充分反思。6．课后检测课外探究：（1）选取某家银行实际考察存款方式，了解各种存款利息的计算原理。思考各种计算方式得出的数列是否是本章的数列模型。（2）搜集生活中关于数列的实际模型。是否符合本章的数列模型【评析】进一步感知数列在实际问题计算中的重要性，优化学生认知结构，为后续等比，及存款利息计算的学习作好准备。同时培养学生的动手实践、合作探究能力，让学生进一步体会数学的科学价值和应用价值，增强学生学习数学的兴趣。三、课后反思通过本节课的教学实践，对《新课程标准》“倡导积极主动、用于探索的学习方式”有了更进一步的认识，教师充当导游的身份，在教学过程中精心创设了一个简洁，有趣的探索数学的环境，让学生动态地串知成链，同时充分体现了学生的主体地位，发挥了活动课寓教于乐的优势，极大的激发了学生学习本章的兴趣，为后续学习起到较好的的铺垫。从本节课所经历的预设与生成的过程来看，有如下可取之处：层次分明，螺旋上升的教学环节设计。从感受数列，理解数列，体会数列，运用数列的认知过程符合学生思维特点和认知水平。对素材的运用充分合理，既保证了模型典型有趣，又能有效调动学生，便于问题的拓展与延伸，帮助学生由浅入深，联知编网的了解本章知识结构。避免了传统序言课素材过杂，主线不清，收效不实的情况发生；突破了背景的复杂性和知识的丰富性之间的矛盾。丰富多样，活泼健康的课堂结构形态.本节课针对起始课的特点，一是运用了多种活动形式，如独立思考问题，同桌讨论交流，动手操作实践，小组合作探究，成果展示活动等，活动形式的多样性改变了以往小结课堂沉闷的气氛，使起始课变得生动有趣；二是通过一些新颖的教学设计，促进学生认知结构的主动建构与思维优化，使数学的辩证思维得意进一步发展，为此教师必须高屋建瓴地调控教学变动因素，不但要注意学生的外在操作活动，也要注意学生内部的思维流程，通过自身亲和力，得体幽默的点评努力使数学课堂教学成为学生主动参与的充满活力的数学思维活动场所。“整体建构，拓展提高”的和谐教学模式。抓住了数列的函数本质，问题线,活动线,知识线,方法线串联起来,条理清晰,层层递进,融会贯通。改进之处：一是由于课型要求，对等差等比概念不作纠缠，导致学生在理解数列在生活中的某些运用如存款利息感知的不具体；二是可以让学生充分准备，自己选取模型构造数列，让数列呈现方式更丰富，让学生享受成功的喜悦．四、教学点评本节课准确把握了章起始课的定位，紧紧围绕为什么学、学什么以及怎样学的问题展开，从实际情境引入，巧妙引发所要探究的问题，通过有效的数学情景递进探究，一线串珠式的使学生从直观感知——动手提炼——理解本质——动态生成——总结升华层层深入了解本章知识结构，既体现数学知识在探究过程中的自然生成过程，又与学生的认知过程相吻合，充分体现了新课改的基本理念.有如下特色：1.准确定位教学目标，教学编排一线串珠本节课通过环环相扣的5个教学环节，不仅让学生明白了学习数列的重要意义，而且对数列将要学习的主要内容及知识框架有了大致了解，更重要的是通过本节课的学习让学生对数列的主要特点及学习方法有了初步感知，为后续学习做好了充足的心理准备，唤起了学生对本章学习的强烈期待。在具体问题的处