2007年全国高中数学联赛赛区预赛

2007年高中数赛陕西赛区预第一试选择题(5,50分已知函数f(x)=|2x-4|-3x+8x∈R.fxf1(x的解析式是().(A)f-1(x)=-x+4(x

a<b<c< (B)b<a<d<(C)c<d<b< (D)d<c<a<4.如图1半圆的AB4O为圆心,C是半圆上不同于AB的任意一点.若P为半径OC上的动点则f-1(x)=-1x+12(x (PA+PB)·PC的最小值是 ) (C)- (D)-x4x≤2 5.1aaaaaf-1(x) x x 成为同一个四面体的6 )3-1x+12,x<2 ( (3f-1(x) A0<a B0<a<-x+4,x等差数列{ak2n+1(n

a>3

3<a333N+),其中,所有奇数项之和为310,所有偶数项之和为300.则n的值为( ). 007)007)007)007)则abcd的大小关系是 )

xy都是整数,xy+2=2(x+y)则x2+y2的最大可能值为 ) 0<k4l1kx-2y-2k x+ky-4k-4=0与两坐标轴围成一个四边形.则使这个四边形面积最小的k值为( ).此时a2-20(性不相同),b2≤b1.

a2-2=1和b1-1=

a2-2=2b1-1=1

a2=3

a2=4 .故b2 b1= b1=a- 若b2=0,则2 -31=3,只能b1a- a24x4nb21,2a2-2-3b1-1=1,

,x1236相应的n2881728.64,108,288,864,1728,10368.(提供 (B)2

(C)4

(D)8

15.2A是半1O上一定t,已知等比数列{an的前2t,5t-1,6t2,且该数列的前nSn则满足不等式|Sn-1|<1最大整数n的值是 ) AB,定义运算ABx|x∈A∪B,xA∩B已知两个开区间M=(a,b),N=(cd),abcda+b<c+d,ab=cd<则M?N= )(A)(a,b)∪(c,d)(B)(a,c)∪(b,(C)(a,d)∪(b,c)(D)(c,a)∪(d,Rfxf(0)0fx)+f(1-x)1f(x)=1f(x),

l是过点AO的切线设PO上A的一点PQ⊥l,垂足为Q.当点P在⊙O上运动时, 图面积的最大值为第二试fx)cos2x23sinxcosxx∈R)的最大值为M,最小正周期为T.MT,fx的单10xii12⋯,10fxi)=M,xi10π,x1 x2+⋯+x10的值0≤x1<x2≤1fx1)≤fx2f(12等于 )

二、20分)如3ABC(A)2

(B)

(C)

(D)

AB>AC,A△ABC填空题(6,30分xytanx=x,tany=y

,BC点D,E为AD的 图且|x|≠|y|.则sinx+x+2 2

-sinx-y)x-

定义区间[x1x2(x1<x2

三、(20分abc∈1,1求证2x2-x1y|log1x|2[ab值域为0,2则区间[ab]

ba

a≤5 12,⋯,1010

2ab+ ≥2a+2b2+ 取3个号码,其中至少有两个号码是连续 数的概率 1O1O2相切,且均与直二面角αl-β的两个半平面都相切,另有一个半径为r(r<1)的小球O,同时,O1O2都外切r的值为.

4,标系的纸片上A(0,a)是y轴正半轴上一定点.折叠纸片,A正好与x轴上某一重合这的每一种折法,在纸片上都留下一条直线折痕.当遍及x轴上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集并在图中用斜线阴影标出这个集合.Xabc|abc∈ZfXX,f(a,b,c)=(a+b+c,ab+bc+ca,abc)试求所有的三元数组(abc),f(f(a,b,c))=(a,b,c)第一试

又因|PO|+|PC|=|OC|=2为定值,所以,当且仅当|PO|=|PC|=1,即POC的中点时(PA+PB)·PC取得最小值-2.5.5,ABCD,△ABC△BCD都是边长为a的正三角形AD=1.取BC的中点E,则AE=DE=3a 2,1a,a,a,a,a的线段能成为四面体ABCD61.

-5x+12,x<2

AE+DE>AD,即3a1,a>33因为f(x) -x+4 x≥所以 6.2-x4 由题设得x-2)y2x-2,f-1(x) y=2x-2=2 -5x+5,x> x- x-

xy∈Z,x-2=±1±2.则xy)=(0,1)(1,0)(3,4)(4,3.,a1+a3+⋯+a2n+1=310,

x2+y23242=7.a2+a4+⋯+a2n=300(n+1)an+nan+1=

=310

直线l1:y-4=k(x-2)和l22y-4=-2x-2P(2,4

n+ 31 = n=

l1,x0,yA4-kl2,y0,xB2k27)7)7)7)7)7)7)7)

sin27°cos27°,ba<d<则S四边形

=1|OA|·xp+=S△POA+S

1|OB| 2OAB的中点,2

= 2+1 PA+PB=2

4-k(

22k+2则PA+PB·PC2=-2|PO||PC|

=4(k-1)2+127 x=1,f(1)+f(4)所以,当k 时,四边形PAOB的面8最小

f(4)=1 由题设得(5t-122t(6t2)t1t=1

0≤x1<x2≤1,f(x1)≤f(x2) t1Sn

2(1-2n1-

=2n+

-

≤x≤5,fx)=2 f(x)=1fx),fx)=1f(5x1 21f)=2f(2001 21f)=2f(200)7f2112=(2)f(2007)=(2)f(2) n不存在.t=12[1-(-4)n S= =21-(-4)n 52007<5, 1-(- 1

f(1)=(1)

=1由|Sn-65|<1,|1-2×(-4)n|<解得-32<(-4)n

211

2 2 sin(x+y)=sin(x+x+ tanx+tan sin(x+设ab=cd=t(t<0). =sin =cosxcosyya<0<b,c<0<f(x)=x2-(a+b)x+tg(x)=x2-(c+d)x+tabf(x)=0的两个根c

cosx+cos,sinx-y)cosxcosyx-故sinx+y)-sinx-y)x+ x-为方程g(x)=0的两个根 12.fc)=c2-a+b)c+=c[(c+d)-(a+b)]<0a<c<同理c<b<所以a<c<b<d

y2|log1x|y=22y0,x1y2,M?N

(a,

∪(b,d)

x=4

xx1,

a=4

b1b-amin=34f(1)+f(0)=1,f(5)=2f(1)

a=4

b4b-a

=154结合f(0)=0,得f(1)=1,f )

故b-

-(b- = 13.83个号码中,任何两个都不相,3ijk(1≤i<j<≤10ij-1k-2互不相等,且仅从集合12,⋯8}中取值共有C38种不同的

注:此题也可用解析法求解第二试πf(x)=2sin(2x )(x∈R)6M2T2π 取法3个号码共有C3种不同的

π π 取法 又2kπ- 2x+ 2kπ+2(kP1-8=8

Z),fxC C14.3-7 易知,三个球 (2)由f(x)=2sin(2

π )2, 球心OO1O2均 直二面角αl-β 2xi+6=2kπ+2(k∈Z)平分面γ如图所示 图

=kπ+π( 在平面γ,O1A⊥lO2B⊥lOCl,ABC.O1O2T

0xi10π,k01x1+x2+⋯+π=(0+1+⋯+9)π+× 2OO1=OO2=r+1,O1A=O2B 22OC r,O1T=O2T=2

EAABC外接圆的切线,所,EA2=EF·EB.22从而,OT 又E为AD的中点,则DE2=EF·EB,22在Rt△OTO1中,由OO2=OT2+OT2 DE= 22得(r+1)2= r)2+ B 22=r1,r3-7338

= 如图9,设点 令t=a,则由ab∈[2,1]知,t关于直线AO的对 [1,2].从而,b+a=t+1P, S△PAQ=1S△PA. f(t)=t+1在[11上单调递 知,当且仅当△PA 图为圆内接正三角形

,在1,2上单调递增,,t=122ftmax=52时,△PA的面积最大,最大值为33 () a 故f 2,即a+ 2.8故△PAQ面积的最大值为33 (2)因为abc∈[8

,1,由(1b+a≤5,c+b≤5ab2bcab≥2a2+b2)bc≥2b2+c2 ab+bc≥2(a2+2b2+c2)5. ab+ .a2+2b2+ A(t,0t∈R)Pxy′对应折痕直线l上任一点,则直线l是线段AA的垂直平分线.于是,即x2y-a2=x-t2+y2.t2-2xt2ay-a20.因为t∈R,所以,Δ=4x2-4(2ay-a2)≥0即x2≥2ay-a2因为点A与其折痕直线l是一一对应,所以所有折痕所x2=2a(y-a2

(b+c-1)[bc-(b+c)](-bc)=c0b(b+c-1)[bc-(b+c)]=-c0f(f(-1,b,0))=f(b-1,-b=(-1,-b(b-1),0)ff(-1b,0))=(-1b,0),-bb-1)=b,bff(-100))=f(-100)=(-1,0,0),满足要求.bb+c-1[bc-b+c)]=-1bc均为整数,b±1.b1c1f(f(-1,1,1))=f(1,-1,-=(-1,-1,1)≠(-1,1,1)不满足要求b=-1,c1.f(f(-1,-1,1))=f(-1,-1=(-1,-1,1)满足要求(-1,0,0和(-1,-1,1)要求的两个解(2若(1+b)(1+c)1bc均为1+b1,或1+b=-1的外面(

1+c=

1+c=