二次函数与一元二次方程第一课时

义务教育课程标准实验教科书九年级上册人民教育出版社22.2二次函数与一元二次方程（第1课时）问题:如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h=20t－5t2考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地需要用多少时间？

所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值．解：（1）解方程15＝20t－5t2t2－4t＋3=0t1=1，t2=3当球飞行1s和3s时，它的高度为15m．分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2t1=1st2=3s15m15m（2）解方程20＝20t－5t2t2－4t＋4=0t1=t2=2当球飞行2s时，它的高度为20m．t1=2s20m（3）解方程20.5＝20t－5t2t2－4t＋4.1=0因为（－4）2－4×4.1＜0，所以方程无解．球的飞行高度达不到20.5m．20m（4）解方程0＝20t－5t2t2－4t=0t1=0,t2=4当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面发出，4s时球落回地面．0ｓ４ｓ

从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切．一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c

深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0例如，已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3的值为0，求自变量x的值．观察下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2＋x－2（2）y=x2－6x＋9（3）y=x2－x＋1（1）抛物线y=x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1.（2）抛物线y=x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x=3时，函数的值是0．由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根3.（3）抛物线y=x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．xyO1y=x2－6x＋9y=x2－x＋1y=x2＋x－21．二次函数与一元二次方程的关系(1)探究：观察图22-2-1：图22-2-1①二次函数y＝x2＋x－1的图象与x轴有______个交点，则一元二次方程x2＋x－1＝0的根的判别式Δ______0.2>②二次函数y＝x2－4x＋4的图像与x轴有______个交点，则一元二次方程x2－4x＋4＝0的根的判别式Δ______0.1＝③二次函数y＝x2－x＋2的图象与x轴________公共点，则一元二次方程x2－x＋2＝0的根的判别式Δ______0.无<

归纳：(1)如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0

时，函数的值是____，因此x＝x0

就是方程______________的一个根．0ax2＋bx＋c＝0(2)如下表：两两一一0判别式：b2－4ac二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根b2－4ac＞0与x轴有____个公共点有________个实数根b2－4ac＝0与x轴有____个公共点有________个实数根b2－4ac＜0与x轴有____个公共点有________个实数根0知识点1二次函数与一元二次方程的关系

【例1】已知二次函数y＝mx2－6x＋1(m是常数)的图象与x轴只有一个交点，求m的值．

思路点拨：“只有一个交点”等价于“方程只有一个根”．

解：当m＝0时，函数y＝－6x＋1的图象与x轴只有一个交点，当m≠0时，∵函数y＝mx2－6x＋1的图象与x轴只有一个交点， ∴方程mx2－6x＋1＝0有两个相等的实数根． ∴(－6)2－4m＝0，解得m＝9.

故m的值为9.【跟踪训练】C1．函数y＝x2－2x－1的图象，与x轴的交点个数有()A．0个B．1个C．2个D．3个2．若抛线y＝(a－1)x2＋2x＋1与x轴只有一个交点，则a的值为________．2知识点2二次函数与一元二次不等式的关系

【例2】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图22-2-3，根据图象回答下列问题：

(1)写出关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集；

(2)写出关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集． 图22-2-3

思路点拨：ax2

＋bx＋c>0的解集就是二次函数y＝ax2

＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值；反之，ax2＋bx＋c<0的解集就是二次函数y＝ax2

＋bx＋c的图象在x轴下方的部分所对应的x的取值．解：(1)不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|1<x<3}．(2)不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<1或x>3}．以a>0为例列表如下：b2－4ac的符号b2－4ac>0b2－4ac＝0b2－4ac<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}全体实数ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}无实数解无实数解【跟踪训练】

5．如图22-2-4，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于(1,0)，(5,0)两点，那么当y≥0时，x的取值范围_____________．图22-2-4{x|x<1或x>5}

6．如图22-2-5是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A(3,0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是__________．图22-2-5

解析：∵二次函数的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点坐标为(3,0)，则另一个交点坐标为(－1,0)．∵不等式ax2＋bx＋c＜0即为y＜0的部分，∴不等式的解集是－1＜x＜3.（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共