2021-2022学年山东省青岛市4区市高二上学期期中考试数学试题 Word版

青岛市4区市2021-2022学年高二上学期期中考试

数学试题本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．TOC\o"1-5"\h\z1•对于无穷常数列7,7,…，7…，下列说法正确的是()A.该数列既不是等差数列也不是等比数列B.该数列是等差数列但不是等比数列C・该数列是等比数列但不是等差数列D・该数列既是等差数列又是等比数列2•下列说法正确的是()―►—►―►―►若a,b是两个空间向量，a,b则不一定共面OA-OC=ACc.若p在线段ab上，则AP=tAB(0<t<1)D・3・在空间直角坐标系D・3・在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点为Ar(—1,—2,3)已知数列｛a｝满足2a=4+aa且a=1，则a的值为()nn+1nn+132022B・2C・4A・4.在三棱锥O_ABC中,M是OA的中点,P是△ABC的重心.设OA=D・一4a,OB=b,OC=c,则MP二则MP二()1-1r1一A.—a——b+—c2631-1r-B.—a-—b+c

321-1r1-一1r1C•——a+—b+—cD.—a+—b——c633325・《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,立春当日日影长为9.5尺,立夏当日日影长为2.5尺,则春分当日日影长为()A・4.5尺A・4.5尺B・5尺6•已知等差数列｛a｝的前n项和为S,nn值,则n的值为()C・5.5尺D・6尺a>0，公差d<0,1a=3a・若S取得最大57nA・A・6或7B・7或87•已知S为正项数列｛a｝的前n项和,nnC・8或9D・9或10a=1,3aS=S2S2(n>2),则(1nn—1nn—1A.S=A.S=nnB.S=2n—1nC.S=2n-1nD・S=2n—1n8.已知a,b为两条异面直线，在直线a上取点A,E,在直线b上取点A,F,使AA丄a,11且AA丄b(称AA为异面直线a,b的公垂线)•若AE=2,AF=3,EF=5,AA=3€2,1111则异面直线a，b所成的角为()A・B.3A・B.3D・5兀~6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分・在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求・全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分・9•在公比q为整数的等比数列｛a｝中，S是数列｛a｝的前n项和，若aa=32,nnn14a+a=12,则()

A.q=2B.数列｛S+2｝是等比数列nC.s=254D.数列｛loga｝是公差为2的等差数列82n下列结论正确的是（）直线l的方向向量方=（0,3,0），平面a的法向量u=（0,—5,0），则l〃q两个不同的平面a，卩的法向量分别是u=（2,2,-1），v=（一3,4,2），则a丄0若直线l的方向向量a=（12-1）,平面a的法向量m=（3,6,k），若l，则实数k=15若AB=（2,—1,—4），AC=（4,2,0），AP=（0,—4,—8），则点P在平面ABC内如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n层有a个n球，从上往下n层球的总数为S，记b=（—1）n（a—a），则（）nnn+1nA.C.aA.C.a—an+1ns—snn—1(n+1)B.b+b+…+b=201220a3D.f的最大值为怎2n-1212.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中,点P满足DP=^DD+^DA，，e[0,1],11111卩e[0,1]，则以下说法正确的是（）A.当九屮时，直线Bp//平面CB1D1B.B.当九+卩=1时，线段CP长度的最小值为TOC\o"1-5"\h\zc兀当九+卩=1时，直线CP与平面BCCB所成的角不可能为丁113兀当卩=时，存在唯一点P使得直线DP与直线CB所成的角为丁13三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知｛a｝为等差数列，S为其前n项和，若a=S=4，则a=.nn44214.已知空间向量a=（1,0,1），b=（2,—1,2），则向量a在向量b上的投影向量的坐标是15.如图，在平行六面体ABCD—ABCD中，ZBAD=ZBAA=ZDAA=60。，111111AB=2，AD=2，AA=3，AC与BD相交于点O，则OA=.11

16.设集合A16.设集合A=kx=4n-3,neN｝,B=x=3n-1,neN*｝,把集合AuB中的元素TOC\o"1-5"\h\z从小到大依次排列，构成数列｛a｝，则a=，数列｛a｝的前50项和为.n2n四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知数列｛a｝为等差数列，数列｛b｝为各项均为正数的等比数列,12nb一b=15，b一b=6.5142(1)求数列｛a｝和｛b｝的通项公式;nn(2)a,n(2)a,n为奇数nb,n为偶数n，求数列｛c｝的前2n项和Sn2n18.(12分)如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1,高为2的圆锥，下部是一个底面半径为1,高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P是圆锥的顶点,AB是圆柱下底面的一条直径，AA，BB是圆柱的两条母线,11C是弧AB的中点.求异面直线AC与PB所成的角的余弦值;1求点A到平面PBC的距离.1(12分)已知数列｛a｝前n项和为S,S=1,S=3S+1.nn1n+1n求数列｛a｝的通项公式；n若数列｛b｝的前n项和T=n2，求数列｛a-b｝的前n项和P.nnnnn(12分)如图，在菱形ABCD中，AB=2,ZBAD=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使A,

C之间的距离为x/6，若P,Q分别为线段BD,CA上的动点.求线段PQ长度的最小值；当线段PQ长度最小时，求直线PQ与平面ACD所成的角的余弦值.21.(12分)在如图所示的多面体中，AD〃BC且AD=2BC,AD丄CD,EG〃AD且EG=AD,CD〃FG且CD=2FG,DG丄平面ABCD,DA=DC=DG=2,m,N分别为棱FC,EG的中点.求点F到直线EC的距离；求平面BED与平面EDC的夹角的余弦值；在棱GF上是否存在一点Q,使得平面MNQ〃平面EDC?若存在，求出点Q的位置;若不存在，说明理由.22.(12分)已知正项数列{a}n1n已知正项数列{a}n1n=(1+a)(1+a)-(1+a)}是等比数列；na,a+2成等比数列，n+1nTn(1)(2)(3)1证明：数列求T及数列｛a｝的通项公式；nn若b=+，求数列｛b｝的前n项和S，并证明：2S+=1.n2a2a+4nnn3T—1nnn2021——2022学年度第一学期期中学业水平检测高二数学评分

标准一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分1—8：DCACDBCB二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分9．AB；10．BD；11．ACD；12．ABC．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．0；TOC\o"1-5"\h\z（848）—,——，—；（999丿詣；3，4590.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（10分）解：（1）设数列｝的公差为〃，数列｛b｝的公比为q,nn因为a=a+n2nn所以令n=1得a=a+1，即d=a一a=12111又a=11所以a=1+(n-1)x1=nn因为b一b因为b一b=15，b一b=65142b(q4一1)=151()解得＜b\q3—q丿=6\b=11q=2b=一1611q=-2舍）所以b=1x2n-1=2n-1n(2)由((2)由(1)得c=nn,n为奇数2n-1,n为偶数所以S=[1+3+5+—+(2n一1)]+G+8+32+—+22n-1n(1+2n—1)2(1一4n)2()=+=4n—17+n221—4318.（12分）解：（1）由题意可得OP丄平面ABC，C是弧AB的中点，则OC丄AB则以O为原点，OC，OB，OP所在直线分别为x轴、尹轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则A（0,-1,0）,C（1,0,0）,P（0,0,4）,B（0,1,2）,iAC=（1丄0）,PB=（o丄-2）i・•・cos・•・cos■[AC,PB；;=AC-PB・••异面直线AC与PB所成角的余弦值为-110(2)由题意可得A(0,-1,2),B(0,1,0),1则PA=(0,-1,-2)，PB=(0丄-4)，PC=(1,0,-4)1设平面PBC的法向量n=(x,y,z),n设平面PBC的法向量n=(x,y,z),n-PC=x一4z=0取z=1，得n=（4,4,1）・••点A1到平面PBC的距离为:PA-nd=-^-n==2后=?33=1119・（12分）解：（i）由S=3S+1（ngN*）,得S=3S+1（n>2）,TOC\o"1-5"\h\zn+1nnn-1两式相减，得a=3a（n>2）.n+1n由S=3S+1=a+a,S=a=2，得a=3=3a,21/12、1121所以a=3a\ngN*）,n+1n即数列｛a｝是以1为首项，公比为3的等比数列，n从而有a=3n-1n（2）由T=n2可知：n当n>2时，b=T一T=n2-（n一1匕=2n一1nnn-1当n=1时，b=T=1适合上式11

所以b=2n一1n所以c=ab=（2n—1）・3n-innn所以P=1x1+3x3+5x32+…+（2n—1）x3n-1n3P=1x3+3x32+…+（2n—3）x3n-1+（2n—1）x3n,n两式相减得：—2P=1x1+2x3+2x32+2x33+…+2x3n-1—（2n—1）x3nn.6—2x3n/）_=1+—（2n—1）x3n1—3所以P=（n—1）・3n+1n20・（12分）解:（1）因为四边形ABCD是菱形，AB=2,ZBAD=60。,所以AABD和ABCD是等边三角形.设O是BD的中点，则AO丄BD，CO丄BD，OA=OC=€3，所以OA2+OC2=AC2，所以AO丄CO，由于BDcOC=O，所以AO丄平面BCD以O为原点，OB，OC，OA所在直线分别为x轴、尹轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系|PQ|=Ja2+b2+（J3—b）=a2+2[b—更]I2丿当a=0，b=宇时，线段PQ的长度取得最小值为乎，PQ=谆瞬k22丿所以(2)由(1)得P(0,0,0)，QI22丿AC,0八3），C（0八；3,0），D（-1,0,0），AC=C,J3,—打），AD=Cl,0,r・3），设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),n-AC=\；'3y—x/3z=0n-AD=—x—*3z=0取z=1，贝9n=Cp3,l,l）设PQ与平面ACD所成角为0,羽=2糸=而2贝ysin0=PQ•n所以cos0=：1—21・（12分）解：（1）由DG丄平面ABCD知，DG丄DC,DG丄DA，又AD丄CD,以D为原点，DA,DC,DG所在直线分别为x轴、尹轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则D（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,G（0,0,2）,E（2,0,2）,F（0,1,2）,B（1,2,0）,（3A则M0,亍1I2丿所以点F到直线EC的距离,N（1,1,2）,CE=（2,-2,2）,EF=（-2,1,0）,/\ce-EF~\c^\厂—4—24+4+4丿I丿DB=（1,2,0）,DE=（2,0,2）,DC=（0,2,0）设平面BED的法向量为m=（x,y,z）,111（2）由（1）知,m-DB=x+2y=011，令儿=1，则m=（—2,1,2）m-DE=2x+2z=0111设平面EDC的法向量为n=（x,y,z）,222In-DE=2x+2z=0则\22，令x=1，则n=(1,0,—1丿In-DC=2y=02J2故cos：；m,n=2近所以平面BED与平面EDC夹角的余弦值为二一(3)设GF上存在一点Q，设Q(0,九,2)，九&[o，1〕-3,-1丿，MN+-A丿，y3,Z3)则MQ=设平面MNQ的法向量为鼻=(x3p-MN=x-y+z=03233:-3]2丿p-MQ=y-z=033令y3=1，则p=l2f22—九•.•平面MNQ〃平面EDC:.n//p，即一1—二故不存在点Q使得平面MNQ/平面EDC22．(12分)解：(1)因为a，Ja，a+2成等比数列，n丫n+1n所以a=a(a+2)=a2+2a，n+1nnnn所以a+1=(a+1)2*n+1n因为a=2，所以a+1>1，1n将*式两边取对数，得ln(1+a)=2ln(1+a),n+1n九-2-，无解,-1In(1+a)即a=2，ln(1+a)

n所以，数列｛ln(1+a)｝是首项为ln3，公比为2的等比数列n由(1)知ln(1+a)=2n-1xln3，n所以1+a=32n-1，所以a=32n-1-1nn所以T=(1+a)(1+a)•••(1+a)n12n=32°X3