实验一微分学基础

数学实验实验报告学院：数学与统计学院班级：数学与应用数学3班学号：4:康萍时间：2016.03.22实验一微分学基础一、 实验目的：学习使用Mathematica的一些基本功能来验证或观察得出微积分学的几个基本理论。1、 函数应用及图像2、 数e3、 积分与自然对数4、 调和数列5、 双曲函数二、 实验环境基于Windows环境下的Mathematica7.0软件。三、 实验的基本理论与方法使用Mathematica4.0软件可绘制函数图像。四、 实验的容和步骤及得到的结果和分析实验1函数及其图像Taylor级数1.1.1（1）实验容：在同一坐标系中画出同一个区间xg（-K,兀）上的函数图像J=sinx,j=0.8x,j=x与》=1.2x的图像，观察哪一条与正弦函数的图像最接近。（2）实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下:Plot[{Sin[x],0.8x,x,1.2x},{x,-Pi,Pi}]（4）结果分析：在具有不同斜率k的过原点的直线＞=kx中，k=1时的直线J=x与正弦曲线＞=sinx在原点附近最接近；且从原点出发沿直线J=x前进与沿正弦曲线J=sinx前进的方向是一致的，在原点附近很小的一段旅程两条线路几乎看不出任何差别，但继续下去，两条线路就分道扬镰了：直线沿原来的方向继续前进，而正弦曲线则开始转弯，两条线路越离越远。1.1.2（1）实验容：在同一坐标系中做出区间Xg（-K,兀）上正弦函数图像. X3 X3 X5 X3X5X7>=sinX及多项式>=X—w,>=X—w+ ,>=X— + —的图像，6 6120 3! 5! 7!观察这些多项式函数的图像逼近正弦曲线的情况。（2）实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下:Plot[{Sin[x],x-X3/6,x-X3/6+x5/120,x-X3/3!+x5/5!-X7/7!},{x,-Pi,Pi}]curve1=Plot[Sin[x],{x,-Pi,Pi},PlotStyle{RGBColor[1,0,0]}];curve2=Plot[x-x3/6+x5/120,{x,-Pi,Pi},PlotStyle {RGBColor[1,0,1]}];curve3=Plot[x-x3/3!+x5/5!-x7/7!,{x,-Pi,Pi}];Show[curve1,curve2,curve3]（4）结果分析：通过图像可以看出，次数越来越高的多项式函数的图像越来越好的逼近正弦函数的图像，这些多项式是sinx的泰勒级数x2k+1sinx=x-—+ +(-1)k6k1!+—的前若干项组成的。1.2函数的升降、零点和极值)=x-一y=1-一(1)实验容：在同一坐标系中做出函数6及其导数 2的图像，观察(i)当y〉0,yV0时y的图像的升降情况及当V=0时，y是否有极大值或极小值；(ii)观察得出方程>=0的根的近似值a,比如a=2.5,最后求出在x=2.5附近的根的更精确的近似值。实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下:Plot[{x-X3/6,1-X2/2},{x,-4,4}]；FindRoot[x-x"3/6,{x,2.5}]实验结果：(x2.44949}(4)结果分析：当>'>0时，y的图像在区间[-*2°]上升，在区间[0«2]上下降；当>'V0，在区间(-8，-J2]上上升，在区间228)上下降。观察得出>=0的根近似的有xi=-2.5,x2=0,x3=2.5。通过编程得出，在x=2.5附近的根的更精确的近似值为2.44949.f(x)=x-X3+...+(-1>£2二，

n3! (2n+1),(1)实验容：设 +对n=3，4，5，6，7f(x依次求出'〃 在x=3附近的零点，观察：随着n的增加，所求出的零点有何变化趋势？有何道理？实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下:f[x_,n_]：=Sum[(T)"k*x"(2*k+1)/((2*k+1)!),(k,0,n}]；Do[Print[FindRoot[f[x,n],(x,3.0}]],(n,3,7}]实验结果：(x3.07864}(x3.14869}{x3.14115}{x3.14161}{x3.14159}（4）结果分析：随着n的增加，所求出的零点越来月稳定于3.141附近，因为随着n的增加f"，n）的图像越来越接近于fnG）的图像，因此由f1,n）求得的根也就越来越接近与fnG）的根。1.3正弦函数的叠加1.3.1（1）实验容：分别画出区间*G[—2”，2”]上的函数>=sinx+1sin3x,…,

3Z k=i2k-1其中2m-1可以试验从小到大不同的值。比如2m-1=9,19,519等。分别观察所得的函数图像随着这个n值的增加的变化情况和变化趋势。（2）实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下:f[x_,n_]:二Sum[Sin[k*x]/k,{k,1,n,2}]；‘f[x_,n_]:二表示定义一个以x,n为自变量的函数。Plot[f[x,9],{x,-2Pi,Pi}]f[x_,n_]:二Sum[Sin[k*x]/k,{k,1,n,2}];Plot[f[x,519],{x,-2Pi,Pi}]

sinkx结果分析：由于每一项一^都是以2兀为周期，经过求和之后的函数当然还是以2兀为周期。观察图像可知，当n值很大时，图像越来越接近于“方形”的波。一般的，由于函数1,sinkx，coskx(k=l，2,3…)都以2兀为周期，他们的实系数线性组合(也就是实数倍之和)f(x)=b°+a1sinx+b〔cosxH b气sinkx+b^coskxH—仍以2兀为周期。改变各个系数ak(k-^和bk(k-0)就得到各种不同形状的图像，只要fG)不要太连续，就能得到所有的以2兀为周期的函数fG)的图像。1.3.2(1)实验容：分别取n=30,300,3000,在同一坐标系中画出区间4兀，4"上函数=sinx与函数=sinx与p(x)=x*nn[1—k=1[的图像。观察当n增加时匕°向sinx逼近的现象。实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下:fgsin二Plot[Sin[x],{x,-4Pi,4Pi},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]；p[x_,n_]：=x*Product[1-x"2/((k*Pi)"2),{k,1,n}]；fgproduct二Plot[p[x,30],{x,-4Pi,4Pi}]；Show[fgsin,fgproduct]可得n=30的实验结果.fgsin=Plot[Sin[x],{x,-4Pi,4Pi},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]；p[x_,n_]：=x*Product[1-x'2/((k*Pi)'2),{k,1,n}]；fgproduct=Plot[p[x,300],{x,-4Pi,4Pi}]；Show[fgsin,fgproduct]可得n=300的实验结果.fgsin=Plot[Sin[x],{x,-4Pi,4Pi},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]；p[x_,n_]：=x*Product[1-x'2/((k*Pi)'2),{k,1,n}]；fgproduct=Plot[p[x,3000],{x,-4Pi,4Pi}]；Show[fgsin,fgproduct]可得n=3000的实验结果.实验结果：

时，Pn(X)的图像与SinX完全重合.1.4无极限的函数列1.4.1(1)实验容：在区间[-1,1]上做出函数J=sin1的图像，观察图像当X—0X时的变化情况。在X=0的附近仍然看不清楚，可以再放大，将区间改为[-0.01,0.01]甚至[-0.001，0.001]。实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下:Plot[Sin[1/x],{x,-1,1}]Plot[Sin[1/x],{x,-0.01,0.01}](3)实验结果:1.01.0结果分析：看得出当x—0时曲线在＞=-1和〉=1之间振荡，x越接近于0就振荡的越快，越“疯狂”。在x=0的附近仍然看不清楚，可以再放大，将区间改为[-0.01,0.01]甚至[-0.001，0.001]，可以看出区间越小，曲线震荡的越“疯狂”，图像更加一塌糊涂。1.4.2(1)实验容：从以上曲线J=sin1中取一部分点，比如令xx=!(k=1,2,…,3000)，则当k增加时x向0趋近，相应的y值分别是sinl，k… …… /1.•、sin2,…,sin3000。这样就在曲线上取出了3000个点-,sink。将这3000个kk)点画在同一个坐标系中，看它们组成的图形是什么样子？能否辨别出哪些点组成一条曲线？实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下:T二Table[{1/k,Sin[k]},{k,1,3000}];P二ListPlot[T]d=44;T1二Table[{1/k,Sin[k]},{k,3,3000,d}];T2二Table[{1/k,Sin[k]},{k,6,3000,d}];P1二ListPlot[T1,PlotJoinedTrue,PlotStyle{RGBColor[1,0,0]}];P2二ListPlot[T2,PlotJoinedTrue,PlotStyle{RGBColor[1,0,0]}];Show[P,P1,P2]实验结果：:n：图一:n：图一22些美丽的图案组成的网。通过利用祖冲之说的近似值了（约率），从而44约等于2兀的7倍，Sin。土44“Sin*，Ak±44与Ak接近，从某一个Ak开始的一连串点Ak，Ak+44,Ak+88,…，Ak+44尸…组成图一的曲线中的一条。实验2数e — 人 1V。人1V+12.1.1(1)实验容：观察当n趋于无穷大时数列与=[1+-j和人〃=[1+—的变化趋势。实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下:Do[Print[((1.0+1/10"n)"(10"n),(1.0+1/10"n)"(10"n+1)}],{n,1,7}]实验结果：{2.59374,2.85312}{2.70481,2.73186}{2.71692,2.71964}{2.71815,2.71842}{2.71827,2.7183}{2.71828,2.71828}{2.71828,2.71828}结果分析：当n趋于无穷大时数列气和A。都趋近于2.71828，最后稳定于2.71828.2.1.2(1)实验容：在同一坐标系中画出下面三个函数的图像，观察当x增大时图像的走向。实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下:Plot[((1+10"(-x))"(10"x),(1+10"(-x))"(10"x+1),E},{x,1,4}]Plot[((1+10"(-x))"(10"x),(1+10"(-x))"(10"x+1),E},{x,2,4}]Plot[((1+10"(-x))"(10"x),(1+10"(-x))"(10"x+1),E},{x,3,5}]实验结果：，，一、，，一、一、一、一， ， ，，、， ( 1、n…… ，,结果分析：通过观察可以看到，当n增大时，气=[1+：J严格单调递增A广(1+纣〃+i严格单调递减。随着n的无穷增大，七和A。无限接近，趋于共同的极限e=2.70828....以这个为底的自然对数。、，、 、… _ 31 .、2.1.3(1)实验容：计算e=1+Z；的近似值，精确到小数点后30位。k=1k!实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下：Do[Print[N[1+Sum[1/(k!),{k,1,n}],30]],{n,5,30}]实验结果：2.72.62.52.42.72.52.02.22.12.32.72.32.52.12.42.72.32.72.72.12.82.62.52.52.52.5结果分析：上面的对数表反映了自然对数的产生过程。在科学中广泛应用以e为底的的自然对数的更直接的理由是：它使涉及到对数的微积分和积分公式变得更为简单。2.2.1(1)实验容：通过运行Mathematica语句，计算当工=10-〃，n=1，2,,7时，4)=画+x)/X的值。观察当x趋于0时，人O是否趋于某一极限值实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下：Do[Print[Log[10,1.0+10.0"(-n)]/(10"(-n))],{n,1,7}]实验结果：0.4139270.4321370.4340770.4342730.4342920.4342940.434294结果分析：当x趋于0时，人G)越来越趋近于0.43429附近，最后稳定于0.434294.2.2.2(1)实验容：通过运行Mathematica语句，计算当x=10-〃，n=1,2,,7时，山)=lnG+x)/x的值。观察当x趋于0时，pl)是否趋于某一极限值实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下:Do[Print[Log[1.0+10.0"(-n)]/(10"n)],{n,1,7}]实验结果：0.009531020.00009950339.995X10-79.9995X10-99.99995X10-119.99999X10-131.X10-14结果分析：当x趋于0时，pQ趋于极限值1.X10-14实验3积分与自然对数实验容：画出函数S(x)=fx1dt在区间[0.1，10]上的图像，观察图像的形it状，看他像是什么函数的图像，求出函数的参数。实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下:S[x_]：=NIntegrate[1/t,{t,1,x}]；Plot[S[x],{x,0.1,10}]在求这个对数的底时，它应满足条件S(b)=1,从图像上可以看出b比3稍小一些，从而以3作为初始值，利用牛顿切线法，用递推关系式S(”)。广a-箝求出近似值。输入语句如下：g[a_]：=a-(S[a]-1)aNestList[g,3,4](3)实验结果：{3,2.70416,2.71825,2.71828,2.71828}（4）结果分析：观察可以看出，图中所画图像很像是对数函数的图像。计算结果发现b恰是自然对数的底e。实验四调和数列（1） 实验容：将坐标侦H（n》"=1,2,100）的点依次连接成光滑曲线，观察曲线的形状，它与什么函数的图像形状类似？并进行验证。（2） 实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下:H[n_]:二NSum[1/k,{k,1,n}];t二Table[{n,H[n]},{n,1,100}];pic1二ListPlot[t]为了验证，输入语句如下：pic2=Plot[Log[x],{x,1,100},PlotStyle{RGBColor[0,0,1]}];Show[pic1,pic2]为了更准确的刻画，输入语句如下：c=H[