经典控制理论-第五章2

开环对数频率特性曲线

（对数幅频渐近线特性曲线的绘制）

对于任意的开环传递函数，可按典型环节分解，将组成系统的各典型环节分为三部分：1.

2.一阶环节，包括惯性环节、一阶微分环节以及对应的非最小相位环节，交接频率为。3.二阶环节，包括振荡环节、二阶微分环节以及对应的非最小相位环节，交接频率为。记为最小交接频率，称的频率范围为低频段。

具体步骤：1.开环传递函数典型环节分解；2.确定一阶环节、二阶环节的交接频率，将各交接频率标注在半对数坐标轴的轴上；3.绘制低频段渐近线特性，在频段内，开环系统幅频渐近线特性的斜率取决于，因而直线斜率为。4.在频段，系统幅频渐近线表现为分段折线。每两个相邻交接频率之间为直线，在每个交接频率点处，斜率发生变化，变化规律取决于该交接频率对应的典型环节种类。Bode图的绘制例一系统开环传递函数为求得频率特性为绘制步骤：确定交接频率

标在角频率ω轴上。在ω＝1处，量出幅值20lgK，其中K为系统开环放大系数。（上图中的A点）通过A点作一条-20vdB/十倍频的直线，其中v为系统的无差阶数（对于本例，v=1），直到第一个交接频率

(图中B点）。如果，则低频渐进线的延长线经过A点。以后每遇到一个交接频率，就改变一次渐进线斜率。每当遇到环节的交接频率时，渐进线斜率增加-20dB/十倍频；每当遇到环节的交接频率时，斜率增加+20dB/十倍频；每当遇到环节的交接频率时，斜率增加-40dB/十倍频。绘出用渐进线表示的对数幅频特性以后，如果需要，可以进行修正。通常只需在交接频率处以及交接频率的二倍频和1/2倍频处的幅值就可以了。对于一阶项，在交接频率处的修正值为±3dB；在交接频率的二倍频和1/2倍频处的修正值为±1dB。对于二阶项，在交接频率处的修正值可由公式求出。

系统开环对数幅频特性L(ω)通过0分贝线，即

时的频率称为穿越频率。穿越频率是开环对数相频特性的一个很重要的参量。绘制开环系统对数相频特性时，可分环节绘出各分量的对数相频特性，然后将各分量的纵坐标相加，就可以得到系统的开环对数相频特性。

系统类型与开环对数频率特性不同类型的系统，低频段的对数幅频特性显著不同。0型系统1型系统

2型系统

0型系统

0型系统的开环频率特性有如下形式

对数幅频特性的低频部分如下图所示

这一特性的特点：

在低频段，斜率为0dB/十倍频；低频段的幅值为20lgKk，由之可以确定稳态位置误差系数。1型系统

1型系统的开环频率特性有如下形式

对数幅频特性的低频部分如下图所示

这一特性的特点：

在低频段的渐进线斜率为-20dB/十倍频；低频渐进线（或其延长线）与0分贝的交点为ωk=Kk，由之可以确定系统的稳态速度误差系数kv=Kk

；低频渐进线（或其延长线）在ω=1时的幅值为20lgKkdB。2型系统

2型系统的开环频率特性有如下形式

对数幅频特性的低频部分如下图所示

这一特性的特点：

低频渐进线的斜率为-40dB/十倍频；低频渐进线（或其延长线）与0分贝的交点为，由之可以确定加速度误差系数ka=Kk

；低频渐进线（或其延长线）在ω=1时的幅值为20lgKkdB。例系统开环传递函数为试绘制系统的对数幅频特性。解系统的开环频率特性系统由5个典型环节组成:

转折频率

；且时L(ω)=20lgK=20dB或

L(ω)=0作对数幅频特性渐近线。过ω=1，L(ω)=20dB或ω=10，L(ω)=0dB作一条斜率为-20dB/dec直线作为低频段直线；

过第一个转折频率后，特性斜率按环节性质变化，对数幅频特性渐近线，如图所示。在各转折频率附近按误差曲线加以修正，得对数幅频特性的精确曲线，如图虚线所示。

对数频率特性

本节介绍另一种重要且实用的方法——乃奎斯特(Nyquist)稳定判据，是由H.Nyquist于1932年提出的。

这一判据是利用开环系统幅相频率特性（乃氏图），来判断闭环系统的稳定性。

Nyquist稳定判据的理论基础是复变函数理论中的幅角定理，也称映射定理。

5-4

频率域的稳定判据

Nyquist稳定判据

当系统的开环传递函数G(s)H(s)在s平面的原点及虚轴上无极点时，Nyquist稳定判据可表示为：当ω从-∞→+∞变化时的Nyquist曲线G(jω)H(jω)，逆时针包围(-1，j0)点的次数N，等于系统G(s)H(s)位于右半s平面的极点数P，即N=P，则闭环系统稳定,否则(N≠P)闭环系统不稳定。闭环系统右极点数Z=P-N

。由Nyquist曲线G(jω)H(jω)(ω从0→+∞)判别闭环系统稳定性的Nyquist判据为G(jω)H(jω)曲线(ω：0→+∞)逆时针包围(-1，j0)的次数为。

极坐标图例已知单位反馈系统，开环极点均在s平面的左半平面，开环频率特性极坐标图如下图所示，试判断闭环系统的稳定性。

解

系统开环稳定，即P=0，从图中看到ω由-∞→+∞变化时，G(jω)H(jω)曲线不包围(-1，j0)点，即N=0，Z=P-N=0，所以，闭环系统是稳定的。例单位反馈系统，其开环传递函数为

试判断闭环系统的稳定性。解系统开环频率特性为作出ω=0→+∞变化时G(jω)曲线如下图所示，镜像对称得ω：-∞→0变化时G(jω)如图中虚线所示。系统开环不稳定，有一个位于s平面的右极点，即P=1。

极坐标图

从G(jω)曲线看出，当K>1时，Nyquist曲线逆时针包围(-1，j0)点一圈，即N=1，Z=P-N=0则闭环系统是稳定的。当K<1时，Nyquist曲线不包围(-1，j0)点，N=0，Z=P-N=1则闭环系统不稳定，闭环系统有一个右极点。例系统开环传递函数为试判断闭环系统的稳定性。解系统的频率特性为

作出ω=0+→+∞变化时G(jω)

的曲线如右图所示，根据镜像对称得ω=-∞→0-变化时G(jω)

的曲线，如图所示，从ω=0-到ω=0+以无限大为半径顺时针转过π，得封闭曲线(或辅助圆)，如图所示。

图5-34例5-8的极坐标曲线

从图看出：当ω由-∞→+∞变化时，当时，G(jω)

(ω从-∞→+∞)曲线顺时针包围（-1，j0）点两圈，即N=-2，而开环系统稳定，即P=0，所以闭环系统右极点个数Z=P-N=2闭环系统不稳定，有两个闭环右极点。

当时，G(jω)

(ω从-∞→+∞)曲线不包围（-1，j0）点，闭环系统稳定。当时，G(jω)

(ω从-∞→+∞)曲线穿越(-1，j0)点，系统处于临界状态。临界放大倍数应用Nyquist稳定判据判别闭环系统的稳定性，就是看开环频率特性曲线对负实轴上(-1,-∞)区段的穿越情况。穿越伴随着相角增加故称之为正穿越，记作N+，穿越伴随着相角减小，称为负穿越，记作N-，如下图所示。由此，Nyquist判据可描述为：当ω由-∞→+∞变化时，系统开环频率特性曲线在负实轴上(-1，-∞)区段的正穿越次数N+与负穿越次数N-之差等于开环系统右极点个数P时，则闭环系统稳定。

N+-N_=P

频率特性曲线Nyquist对数稳定判据

对数幅相频率特性的稳定判据，实际上是Nyquist稳定判据的另一种形式，即利用开环系统的对数频率特性曲线（Bode图）来判别闭环系统的稳定性，而Bode图又可通过实验获得，因此在工程上获得了广泛的应用。

Nyquist图与Bode图的对应关系，如下图所示。采用对数频率特性曲线（Bode图）时，Nyquist稳定判据可表述为:

当ω由0→+∞变化时，在开环对数幅频特性曲线L(ω)≥0的频段内，相频特性曲线对-180°线的正穿越与负穿越次数之差为P/2

（P为s平面右半平面开环极点数），则闭环系统稳定。Nyquist图和Bode图的对应关系例系统开环传递函数为试判断闭环系统的稳定性。

解作出系统的开环极坐标图如下图(a)所示，辅助圆如图中虚线所示。系统的对数频率特性曲线（Bode图)如下图(b)所示，极坐标图中的辅助圆，幅值为无穷大，相角由对应于图(b)中虚线。由图可知，N+-N-=-1，开环系统稳定P=0，故闭环系统不稳定，闭环系统右极点个数Z=P-2N=2。且从图中可以看出，不论K如何变化，开环频率特性上的穿越次数却不变化，系统总是不稳定的，表明系统为结构不稳定系统。带积分环节的的开环频率特性奈氏稳定判据

如果开环系统是稳定的，那么闭环系统稳定的条件是：当ω由-∞

变到+∞

时，开环频率特性在复数平面的轨迹不包围（-1,j0）这一点。

如果开环系统是不稳定的，开环系统特征方程式有P个根在右半s平面上，则闭环系统稳定的充要条件是：当ω由-∞

变到+∞

时，开环频率特性的轨迹在复平面上应逆时针围绕(-1,j0)点转N=P圈。否则闭环系统是不稳定的。闭环系统右极点个数Z=P-N。最小相角系统临界稳定时G(jw)曲线过(-1,j0)点，

该点：同时成立-110j临界稳定的特点ba-110jr1/h若系统的开环幅相曲线如图：a点：但b点：但若a点沿着单位圆顺时针转过r角，则同时成立。若b点沿着负实轴向左移动到(-1,j0)点，则同时成立定义相角裕度为a点截止频率定义幅值裕度为b点为交界频率5-5稳定裕度的定义稳定裕度控制系统的相对稳定性

从Nyquist稳定判据可知，若系统开环传递函数没有右半平面的极点且闭环系统是稳定的，则开环系统的Nyquist曲线离(-1,j0)点越远，则闭环系统的稳定程度越高开环系统的Nyquist曲线离(-1,j0)点越近，则其闭环系统的稳定程度越低，这就是通常所说的相对稳定性通过奈氏曲线对点(-1,j0)的靠近程度来度量其定量表示为相角裕量和增益裕度

增益裕度h表示系统到达临界状态时，系统增益所允许增大的倍数。系统的相角裕度或相角裕量为使系统达到临界稳定状态，尚可增加的滞后相角。两种情况对应的频率分别为。闭环系统稳定：h>1，>0。例。已知单位反馈系统设K分别为4和10，试确定系统的稳定裕度。解：系统开环频率特性可分别作出K=4和K=10的开环幅相曲线。有奈氏判据知：K=4时，系统稳定，K=10时，系统不稳定，。系统暂态特性和

开环频率特性的关系开环对数频率特性的基本性质系统暂态特性和开环频率特性的关系开环对数频率特性的基本性质波德定理(适用于最小相位系统）波德第一定理指出，对数幅频特性渐进线的斜率与相角位移有对应关系。例如对数幅频特性斜率为-20NdB/十倍频，对应于相角位移。在某一频率时的相角位移，当然是由整个频率范围内的对数幅频特性斜率来确定的，但是，在这一频率时的对数幅频特性斜率，对确定时的相角位移，起的作用最大。离这一频率越远的幅频特性斜率，起的作用越小。

波德第二定理指出，对于一个线性最小相位系统，幅频特性和相频特性之间的关系是唯一的。当给定了某一频率范围的对数幅频特性时，在这一频率范围的相频特性也就确定了。反过来说，给定了某一频率范围的相角位移，那么，这一频率范围的对数幅频特性也就确定了。可以分别给定某一个频率范围的对数幅频特性和其余频率范围的相频特性，这时，这一频率范围的相角位移和其余频率范围的对数幅频特性也就确定了。

开环对数幅频特性的斜率和相频特性的关系低频段和高频段特性斜率对稳定裕量的影响低频段特性虚线幅频特性：实线的频率特性：高频段特性实线相当于虚线串联了一个惯性环节，频率特性放大系数的变化对相位裕量的影响之一放大系数的变化对相位裕量的影响之二放大系数的变化对相位裕量的影响之三

结论穿过的幅频特性斜率以-20dB/十倍频为宜，一般最大不超过-30dB/十倍频。低频段和高频段可以有更大的斜率。低频段有斜率更大的线段可以提高系统的稳态指标；高频段有斜率更大的线段可以更好地排除高频干扰。中频段的截止频率的选择，决定于系统暂态响应速度的要求。中频段的长度对相位裕量有很大影响，中频段越长，相位裕量越大。系统暂态特性和开环频率特性的关系相位裕量和超调量之间的关系

以二阶系统为例二阶系统闭环传递函数的标准型式为

二阶系统的开环传递函数为开环频率特性为

相位裕量和超调量之间的关系为

与的关系图如下

相位裕量和调节时间之间的关系

与的关系图如下

由二阶系统可以看出，调节时间与相位裕度有关。如果两个系统，其相同，那么它们的超调量大致是相同的，但是它们的暂态时间与成反比。截止频率越大的系统，调节时间越短。所以在对数频率特性中是一个重要的参数，它不仅影响系统的相位裕度，也影响系统的暂态时间。5-6闭环系统的频域性能指标主要内容

由开环频率特性求取闭环频率特性

等M圆（等幅值轨迹）

等N圆（等相角轨迹）

利用等M圆和等N圆求单位反馈系统的闭环频率特性

非单位反馈系统的闭环频率特性由开环频率特性求取闭环频率特性单位反馈系统开环传递函数G(s)，系统的闭环传递函数

系统的闭环频率特性

等M圆（等幅值轨迹）定义设开环频率特性

G(jω)为

G(jω)=p(ω)+jθ(ω)=x+jy

令则整理得：(1-M2)x2+(1-M2)y2-2M2x=M2

当M=1时，由上式可求得x=-1/2，这是通过点（-1/2，j0）且与虚轴平行的一条直线

当M≠1时，由上式可化为对于给定的M值（等M值），上式是一个圆方程式，圆心在处，半径。所以在G(jω)平面上，等M轨迹是一簇圆，见下图等M圆分析:1.当M>1时，随着M值的增大，等M圆半径愈来愈小，最后收敛于（-1,j0）点，且这些圆均在M=1直线的左侧;2.当M<1时，随着M值的减小，M圆半径也愈来愈小，最后收敛于原点，而且这些圆都在M=1直线的右侧;3.当M=1时，它是通过（-1/2，0j）点平行于虚轴的一条直线。等M圆既对称于M=1的直线，又对称于实轴。等N圆（等相角轨迹）定义：闭环频率特性的相角ψm为：令整理得：

当给定N值(等N值)时，上式为圆的方程，圆心在处，半径为,称为等N圆，见下图。等N圆1.等N圆实际上是等相角正切的圆，当相角增加±180°时，其正切相同，因而在同一个圆上；2.所有等N圆均通过原点和（-1,j0）点；3.对于等N圆，并不是一个完整的圆，而只是一段圆弧。利用等M圆和等N圆求

单位反馈系统的闭环频率特性意义：有了等M圆和等N圆图，就可由开环频率特性求单位反馈系统的闭环幅频特性和相频特性。具体方法：将开环频率特性的极坐标图G(jω)叠加在等M圆线上，如图(a)所示。G(jω)曲线与等M圆相交于ω1，ω2，ω3...（a）等M圆（b）等N圆在ω=ω1

处，G(jω)曲线与M=1.1的等M圆相交表明在ω1频率下，闭环系统的幅值为M(ω1)=1.1依此类推。从图上还可看出，M=2的等M圆正好与G(jω)曲线相切，切点处的M值最大，即为闭环系统的谐振峰值Mr，而切点处的频率即为谐振频率ωr

。此外，G(jω)曲线与M=0.707的等M圆交点处的频率为闭环系统的带宽频率ωb

，0＜ω＜ωb

称为闭环系统的频带宽度。

同样，将开环频率特性的极坐标图G(jω)叠加在等N圆线上，如图(b)所示。G(jω)曲线与等N圆相交于ω1，ω2，ω3...

如ω=ω1处，G(jω)曲线与-10°的等N圆相交，表明在这个频率处，闭环系统的相角为-10°，依此类推得闭环相频特性。非单位反馈系统的闭环频率特性

思路：上面介绍的等M圆和等N圆求取闭环频率特性的方法，适用于单位反馈系统。对于一般的反馈系统，如下图(a)所示，则可等效成如下图(b)所示的结构图，其中单位反馈部分的闭环频率特性可按上述方法求取，再与频率特性1/H(jω)相乘，便可得到总的闭环频率特性非单位反馈控制系统尼科尔斯图线

由于绘制开环对数频率特性比绘制开环幅相频率特性简单的多；另外，改变开环放大倍数时，幅相频率特性的形状发生变化，必须重新绘制。而对数幅频特性只是上下移动，更方便。将等M圆和等N圆绘于对数幅相坐标中，可以提供这一方便条件。在对数幅相平面上，由等M圆和等N圆轨迹构成的曲线簇称为尼科尔斯图线。见下图。图中横坐标为开环系统的相角，以普通比例尺标度；纵坐标为开环系统的幅值，以对数比例尺标度。尼氏图线闭环频域性能指标

谐振峰值Mr、谐振频率ωr、带宽频率ωb谐振峰值Mr谐振峰值Mr是闭环系统幅频特性的最大值。通常，Mr越大，系统单位过渡过程的超调量δ%也越大。

谐振频率ωr谐振频率ωr是闭环系统幅频特性出现谐振峰值时的频率。

带宽频率ωb闭环系统频率特性幅值，由其初始值M(0)减小到0.707M(0)时的频率（或由

分贝的增益减低3分贝时的频率），称为带宽频率ωb

。频带越宽，上升时间越短，但对于高频干扰的过滤能力越差。

闭环系统频率特性与开环系统频率特性的关系

例

图中，在ω=35时与M=1.4dB的轨迹相切，所以闭环系统的谐振峰值为Mr=1.4dB（1.18），谐振频率为=35，而在