经济物理-长程相互作用复杂系统研究前沿简介

长程相互作用复杂系统研究前沿简介

----以经济物理为例一、金融问题的物理对应二、布朗运动的表述三、中心极限定理的前提及金融问题四、统计物理的相关前沿研究五、现今金融主要解决方案六、重要参考资料一、金融问题的物理对应物理上的匀速运动金融价格（或者是股指等）是随着时间不断运动变化的……为了满足可加性：单位时间对数收益率――对应速度我们可以清楚地看到在价格取对数之后，金融问题的研究可以等效于在物理上对运动的研究。因此和金融对数价格变化规律类似的物理问题研究可以直接联系到金融问题研究上来。后面讨论的相关内容都是在价格取对数后作出的。二、布朗运动(BrownianMotion)的表述及金融对应1827年植物学家布朗发现水中悬浮的微粒不停地做无规则运动。布朗运动也数学上也被称为维纳过程，是一个随机过程。我们可以做这样一个简单的假设，金融产品的价格都随着时间不停地无规则变化着。1905年爱因斯坦根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。直至现在，大部分的统计理论都是基于爱因斯坦建立的扩散方程。各类金融成本的计算方法一般都有一个前提假设：波动呈现布朗过程。如被成为第二次华尔街革命的布莱克（Black）和斯科尔斯（Scholes）提出的关于期权定价问题的可行性解决方法的第一条就是假设金融价格波动服从维纳过程。这一成果荣获1997年诺贝尔经济学奖。通过爱因斯坦的扩散方程可以得到了两条最为重要的统计规律：位移平方的平均值于时间间隔的关系：应用到金融问题上，我们可以得到不同时间间隔下的对数收益率平均涨落满足的关系。如两个小时的平均收益率约等于一个小时平均收益率的1.41倍。2、位移的分布函数满足高斯分布形式（也被称为正态分布）：应用到金融问题上，假设我们知道一个小时的对数收益率平均涨落值（标准差）为a。则对数收益率处于区间[-a,a]的概率为68.3％，处在区间[-2a,2a]的概率为95.4％等等。通过扩散方程我们可以得到所有想得到系统变化规律，如前面提到的期权定价解决方法。上面只是先简单地介绍一下布朗运动的重要结论，然而后面我们将看到布朗运动并不能准确地描述金融价格的变化规律，上面的两条结论并不符合金融实际。接下去我将从布朗运动的前提假设和实证结果两方面来讲述这个问题。三、中心极限定理（CentralLimitTheorem）的前提及金融问题经过发展，爱因斯坦的扩散方程在1920s发展为数学上的中心极限定理。对于中心极限定理，数学上有严格的前提假设：1、独立同分布:金融表述：每一时刻的价格波动与其他时刻的价格波动无关，每个个体的金融行为与其他个体的金融行为无关等等。然而金融系统是长程相关和长时记忆的。金融问题：保险成本的计算――各个公司各个行业业绩无关联――导致次级债危机。2、高次矩发散:简单理解：在学校里面每天变化位置不超过1KM，坐火车飞机远超过100KM。金融表述：短时间内价格发生相对巨大的波动，金融行为突然间表现出极大的异常。然而金融行为异常波动的概率要远比高斯分布来得大得多。金融问题：对波动计算不足导致巨大损失。

在这里我们从前提上看到了布朗运动并不能准确地描述金融问题。我们在上面也可以看到，忽视前提而作出的结论可能会导致无法预计的灾难。然而要克服上述两条基本假设提出更为合理的理论是一件十分困难的任务，是各个相关学科都在关心的问题。四、统计物理的相关前沿研究现今大量现象表明，在具有长程相关与长时间记忆效应的系统里面，运动不再满足中心极限定理的表述方式，而改变为更加一般的形式：位移平方的平均值于时间间隔的关系：，满足之前的形式被成为正常扩散，满足上述形式的被成为反常扩散。自关联函数为：会引起整体的正相关或负相关效应。金融对应：价格波动的跟风效应，一定的可预测性。2.位移的分布函数满足q-高斯分布形式（也被称为TSALLIS分布）：，，分布函数简化幂律形式：既人们常说的二八分布。金融对应：实际波动情况被修正，可以精确计算结果。

简单的举几个例子说明上述现象：1995年标准普尔500指数对数波动扩散关系图：MantegnaRN,StanleyHE1996Nature383,587人的脑电波波动分布形式：PHYSICALREVIEWE76,061903（2007）地震振幅波动图PHYSICALREVIEWE75,055101（R）（2007）等离子体：PHYSICALREVIEWE75,016405（2007）十只最有价值的纽约证券交易所股票的对数价格波动分布图PhysicaA324(2003)89我们可以看到这些具有长程相关或长时记忆效果的系统，表现出来的性质不能被布朗过程所描述。我们还可以看到他们表现出很多和金融价格波动类似的规律，因而一定程度上可以借鉴来作为研究金融价格波动规律的参考。五、现今金融主要解决方案--GARCH(GeneralizedAutoregressiveconditionalheteroskedasticitymodel)及存在的问题罗伯特·恩格尔(RobertF.Engle)1982年提出ARCH模型，2003年诺贝尔经济学奖。波勒斯勒夫（TimBollerslev）1986年提出GARCH模型(GeneralizedARCH)：从布朗运动到GARCH过程，一定程度上解决了中心极限定理前提下有限相关的问题，能产生形状和Q-高斯类似的分布函数，然而并不能给出分布确切的表达式。但是，GARCH过程本质上是从布朗过程演变而来，无法解决二次矩发散问题，而且结果是正常扩散的，并不能描述反常扩散现象。金融描述：GARCH过程可以在一定程度上描述有限距离和时间内的价格波动关联，然而无法描述价格的急剧振荡现象和价格波动的跟风效应。六、重要的参考资料书：从抛物线谈起:混沌动力学引论(第2版)，郝柏林，2013经济物理学导论，曼特尼亚

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斯坦利

，2006金融物理学导论，周炜星，2007经济物理学，黄吉平，2013综述论文：计量经济学的地位、