自动控制演示文稿8

自动控制原理

第八章线性采样系统的分析与综合

1引论

2采样系统的Z变换

3脉冲传递函数退出4线性采样系统的分析5线性采样系统的综合与校正退出8.1引论1．概述由于电子计算机进入自动控制领域，出现了数字计算机控制系统。微型机,小型机及微处理机的大量涌现,使计算实时控制技术的发展异常迅速。可以说计算机与自动控制的结合，使自动化技术进入了崭新的前所未有的发展阶段。出入数字计算机的信号都是断续的数字信号，故必须将原来的连续信号变成断续信号，即采样信号。从某种意义上理解，采样信号具有人为的性质。这样的控制系统必然在某一处或几处出现脉冲信号或数码信号，通常称之为采样控制系统。采样控制系统由于其控制对象本身是连续信号部退出件，因而它与离散系统有所区别；又由于其输出信号及控制作用的给定都是以数码形式出现的，因而它又与连续系统有所区别。总的来说，采样系统的分析与设计是按离散系统的方法来处理的，所以常常把它归结为离散系统。严格地说，这两者是有区别的，主要表现在采样信号与离散信号的描述上。采样信号（或函数）是在整个实数轴上取值，其定义域是一维数集，而离散信号（或函数）则是实数轴上取正整数，其定义域是孤立点集。离散信号是一类客观存在的信号，如雷达系统中的脉冲序列信号，数字系统中的二进制数码以及电报信号等，而采样信号是连续信号经采样器采样后人为地得到的，其周期可视实际需要而定。退出2.采样信号的表示连续信号经采样后成为采样信号,如图所示。退出借助于单位理想狄氏函数，可得采样信号表示为式中

退出3．采样信号的拉氏变换用什么方法来分析采样系统是一个首要问题。借助于函数这个有用的数学工具，可使仍是连续时间t的函数，从而可以进行拉氏变换。对式（1）去拉氏变换后得由式（2）可以看出，的拉氏变换式不是s的多项式，而是s的超越函数。退出4．信号的复现讨论信号的复现，首先从研究采样信号的频谱特性入手。为此，需要找出与之间的相互联系。经过简单的数学分析，找出了它们之间的关系式为

或

采样控制系统中的被控制对象，执行不见通常都是一些模拟部件，如执行电机，液压舵机等。它们都是靠模拟信号工作的。这样就需要将采样信号变成连续信号。退出一般说来，信号经采样得到采样信号，在信息上是有丢失的，造成了信号的失真。在什么条件下不能保证信息不失去，又能将采样信号恢复成连续信号？香农采样定理告诉我们，要从采样信号中完全复现出采样前的连续信号，必须满足采样频率大于或等于两信号的采样器输入连续信号频谱中的最高频率，即（5）在满足香农定理的条件下，要想不失真地重复采样器的输入信号，还需要一种理想的低通滤波器。在实际工作中，采用零阶保持器，可以近似地起到理想低通滤波器的作用。其传递函数为

退出退出8.2采样系统的z变换1.Z变换如果用拉氏变换来分析采样系统，则系统的输出必然是s的超越函数，求其拉氏反变换是一件十分麻烦的事。经过数学家们的努力，寻找了一种z变换法，在这种变换下，使原来的s超越方程变成了一个以z为算子的代数方程，这一方法的引入使采样系统的分析在理论上有了大的发展。Z变换与拉氏变换有类似之处。拉氏变换的每一种运算规则都有一个相应的z变换应用。通过这种类比，对理解和掌握z变换是有益的。退出Z变换的定义引入变量（7）式中s是拉氏算子，为采样周期，z是一个复数,通称之为Z变换算子。在式（2）中，令,可得（8）若上述级数收敛，则称为采样信号的z变换。为了书写方便，通常写成,但仍理解为是对取Z变换。退出（2）常用函数的Z变换和Z变换的性质1）常用普通时间函数的Z变换见表8-1表8-1Z变换表退出退出①线性性质若,,,为常数则②平移定理若则若时，有退出③复域微分定理若则④复域积分定理若则⑤初值定理若则或退出⑥终值定理若则或⑦迭值定理若,,且当则0，1，2，…

退出⑧乘以指数序列性质若a为整数，则⑨比例尺变换性质若则⑩卷积定理若则退出⑶Z变换的求法求采样信号的Z变换方法很多，常用的方法有：按定义求，部分分式法，留数计算法。1)按定义求例1（教材P320,例8-5）例2（教材P320,例8-6）上两结论，可当公式用。退出2）部分分式法设连续时间函数的拉氏变换为复变量s的有理函数，并且有如下形式：其中，及分别为复变量s的多项式，并且有以及.将展开成部分分式和的形式，即式中：为的零点，即的极点，且设为互异单极点;,为常系数.退出由拉氏变换知与项对应的原函数为，又根据,便可求得因此，函数的Z变换求得为例3（教材P320,例8-7）退出3）留数计算法已知连续时间函数的拉氏变换及其全部极点,则的z变换可通过下列留数计算式求得，即式中：重极点个数；彼此不等的极点个数。例4（教材P315,例8-8）退出2.Z反变换⑴Z反变换的定义由已知的Z变换求相应得离散时间序列或,称为的反变换，并表示为：⑵Z反变换的求法求Z反变换的方法很多，常用的方法有：长除法，部分分式法，留数计算法。作反变换时，仍假定信号序列是单边的，即，。退出1）长除法长除法（幂级数展开法）

Z变换函数,通常可表示为两个多项式之比，即。用综合除法将其展成的收敛的幂级数形式，即式中：就是在各采样时刻的值。例5（教材P323，例8-9）退出比较系数法设据Z变换定义，有即退出对上述恒等式，同次幂系数相等，注意到上式左端最高次项是,据此可以很方便地求出前项系数值。例6（教材P323，例8-10）2)部分分式法（查表法）这种方法的依据是Z变换的小线性性质，Z变换式通常是z的有理分式。只要将的有理分式展开为部分分式，逐项查Z变换表，就可以得到反变换式。这里与拉氏变换不同的是，不是直接将展开，而是将展开，道理是，在Z变换表上，基本变换式中普遍含有因子z，因此，若展开，即把中的因式z提出来，可保证分解后的各个分式都含有z因子。退出设先求出的特征根，即将其分母分解因式，形如：在工程上，多有极点都是一阶极点的情况，即分母多项式中无重根时，上式则可化为：其中系数,可由式决定：例7（教材P324,例8-11）退出3）留数计算法据z变换的定义，得：此式乃是复变函数的罗朗级数展开式的主部。按罗朗级数求系数的公式，项的系数为：故有：退出其积分曲线L包围的所有极点，设共有共m个极点，则根据柯西留数定理，上式可改写为：即等于的全部极点的留数之和。例8（教材P325,例8-12）退出3）三种z反变换法的比较部分分式法通过Z变换表8-1可方便地求得,留数计算法可以直接求出序列，因而容易求得。但这两种方法有一个共同的特点，都需要知道的全部极点,这意味着要求解高阶代数方程，这是一件困难的事，因此在应用上有一定的局限性，一般不宜用于高阶采样系统。而长除法却没有这种限制，通用性好。它的缺点是计算起来麻烦，而且往往得不到闭合的表示形式。退出脉冲传递函数1.线性采样系统得脉冲传递函数⑴脉冲传递函数的定义开环采样系统如图B所示，在零初始条件下，输出脉冲序列的Z变换与输入脉冲序列的Z变换之比,称为脉冲传递函数。要注意的是：输出端是连续信号，此时要在其输出端虚设一个理想同步采样开关。所谓零初始条件，是指t<0时，输入输出的采样值均为零。退出退出⑵求脉冲传递函数的一般步骤求得连续部分的传递函数;求得连续部分的脉冲瞬间响应;求得采样的脉冲传递函数的Z变换.例9（教材P328,例8-14）退出2.串联元件的脉冲传递函数⑴中间没有采样开关隔开的两个连续环节的串联如图C所示，为中间没有采样开关的两个连续环节相串联，其脉冲传递函数为：可以推广到一般情况，若n个串联环节之间元件同步开关隔开时，其脉冲传递函数为：退出退出⑵中间有采样开关隔开的两个连续环节的串联如果某系统带两个同步采样开关，如图D所示。其脉冲传递函数为：可以推广到一般情况，若n个串联环节之间有n个同步开关隔开时，其脉冲传递函数为：退出退出⑶具有零阶保持器的开环采样系统如果开环系统具有零阶保持器，如图E所示。其脉冲传递函数为：例10（教材P330,例8-15）退出3.闭环系统的脉冲传递函数采样开关在系统中的位置不同，其闭环传递函数的形式也不同，这里仅讨论单回路闭环采样系统脉冲传递函数的求法。在单回路闭环采样系统中，仍然可以定义闭环脉冲脉冲传递函数，它与连续系统中的定义稍有不同，以图F（a）所示系统为例。图F（b）为图F（a）的等效系统，这样在和之间可以定义闭环脉冲传递函数。在连续系统中，闭环传递函数的输入是对其指令输入信号而言的；而闭环线性采样系统的输入则不一定是系统的指令输入，而很可能是其经某种变换后的输入。退出退出在图F（b）所示闭环线性采样系统中，其输入就不是指令信号R(s),而是它经变换后，以信号的Z变换

作为该系统的输入，为了与连续系统相区别，用W(z)来表示在这种输入形式下的闭环采样的特性，称W(z)为等效闭环线性采样系统的回路脉冲传递函数，类似于连续系统中的。若闭环线性系统的输入为指令时，则该闭环系统脉冲传递函数仍用表示。实际上，只要单回路闭环线性采样系统的前向通道中存在一个实际的采样开关，它总可以等效成类似于图F（b）所示的形式（不同结构形式单回路闭环采样系统及其等效结构图见表8-2）。这样该系统得W（z）和C（z）是有意义的，也很容易求得。退出表8-2闭环采样系统的典型结构图退出退出有了上述的说明和理解之后，类似于连续系统中的的求法，W（z）（或）可方便的求得。以图F（b）为例，由图可得而所以故退出由脉冲传递函数的定义可得：因而：

（20）在采样线性系统的分析中，感兴趣的常常不是W（z）（或）的形式，而是系统的输出C（z）的表示式。下面着重讨论C（z）的计算方法。退出4、C（z）的计算公式（单回路梅森公式的推广）在上面的讨论中，输出C（z）是先定义W（z），然后按式（20）求得的。实际上，求闭环系统的输出C（z）完全不必先求W（z），也不必将系统化成类似图F（b）所示的形式，只要该系统前向通道中有一个实际采样开关存在，就可以根据该系统的结构形式，用视察法直接求出C（z）,通过归纳的方法，可得C（z）的计算公式为（21）退出式中，为开环脉冲传递函数。开环的定义与连续系统中的定义略有不同，不是从主反馈处断开，而是从任一采样开关处断开，沿信号方向走一周而构成的。既然是开环，便可按开环脉冲传递函数的定义求得。为前向通道中输出量的Z变换，它可看成是开环脉冲传递函数。如果将输入R（s）视为前向通道中的一个环节，则是包括输入R（s）在内的有输入至输出的前向通道的Z变换函数。故亦可按开环脉冲传递函数定义求得。退出综上所述，求闭环线性采样系统的输出Z变换C（z），归结为求两个开环脉冲传递函数和。需要指出的是，对于多回路闭环线性采样系统，目前尚无类似单回路梅森公式那样通用的计算公式去计算C（z）。使闭环采样系统得结构图如图G所示。对图G（a）所示的系统，从形式上看，似乎在r（t）与c（t）之间无采样开关，但实际上对输出c（t）进行了采样，其等效结构图如图G（b）和G（c）所示，这样的系统，W（z）和C（z）是有意义的，故C（z）可以求出。由图G（c）可以求得：。退出退出退出因此事实上，由图G（a）,用视察法可求得和。在采样系统的分析中，并不是所有的单回路闭环采样系统的C（z）都能计算出来。设闭环采样系统的结构图如图H所示，虽然在该系统中也有采样开关存在，也可称之为采样系统，但由于前向通道中无采样开关存在，现有的采样开关既不对输入的信号r（t）采样，也不对输出c（t）采样，因此，它无法化成图F（b）类似的等效系统，不能定义回路脉冲中传递函数W（z），故该系统的C（z）无定义。退出退出§8-4线性采样系统的分析1、线性采样系统的稳定性（1）一般概念稳定性是指线性采样系统的重要问题，一个系统只有稳定才能正常工作。在线性连续系统的分析中，我们曾经指出，稳定系统的特征方程的根全部位于s平面的左半部。这一概念也适用于线性采样系统。线性采样系统特征方程可以令脉冲传递函数的分母为零而得到，特征方程根的位置就确定了系统是否稳定。为了在z平面上讨论线性采样系统的稳定性，我们必须知道s平面和z平面的对应关系。退出（2）s平面与z平面的映射关系由于z变换中定义：，设则，，得这样就有如下图所示的s平面与z平面的映射关系又设，便可得到s平面，z平面，w平面互相影射的关系。退出退出退出（3）判稳方法①该系统稳定的充分必要条件为：系统闭环特征方程的根（）均分布在z平面上以原点为中心的单位圆内，即（）。例11（教材第328页例8-16）②推广的劳斯稳定判据：在线性采样系统中，对z的有理多项式，经的双线性变换，得到w的代数方程就可以应用劳斯判据判稳了。为了区别s平面下的劳斯判据，称w平面下的劳斯判据为推广的劳斯稳定判据。例12（教材第336页例8-17）退出③舒尔---柯恩稳定判据：通过线性采样系统的特征方程，构造行列式。是2k行2k列的行列式，把各阶行列式按顺序排成。系统稳定的充要条件是

（22）例13（教材第337页例8-18）k为奇数k为偶数退出2、线性采样系统的瞬态响应通过闭环脉冲传递函数，求出系统在典型输入信号作用下的输出响应，可以分析系统的动态性能。根据系统在z平面上的零、极点分布，也可以估计系统的动态性能。系统的瞬态响应与极点位置关系图如图K所示。退出退出3、稳态误差稳态性能是系统重要性能指标之一，通常用稳态误差表示。下面讨论一下稳态误差的求法。（1）通过查响应曲线根据线性采样系统的响应曲线或响应误差曲线，然后在情况下，由与的差值或直接由响应误差求取系统的稳态误差。这里为系统响应的过渡过程时间。注意：是从开始计算，使误差变量对于t的函数。在工程上，一般取（正好是采样点），或t略大于（不是采样点）的采样点，所对应的时间求稳态误差。退出（2）误差系数法求取误差系数（23）代入（24）在代入（25）例14（教材第337页例8-20）退出（3）应用终值定理求取如图L所示系统，e（t）为系统误差连续信号，为系统采样信号，由终值定理可以求出线性采样系统的稳态误差为

（26）例15（教材345页例8-21）退出退出§8-5线性采样系统的综合与校正一般说来，线性采样系统的综合与校正，可以分别在s域，z域或w域中进行，其综合与校正的方法可以应用对数频率法，根轨迹法和最少拍系统法等。前二者与连续系统综合与校正法类似，这里仅简单介绍最少拍系统的综合与校正方法。1、对数控制器的脉冲传递函数在图M所示线性采样系统中，设反馈通道传递函数,保持器和控制对象合在一起记为，称为广义控制对象，取得单位反馈线性采样系统的闭环脉冲传递函数为：（27）退出退出闭环误差脉冲传递函数为（28）其D（z）位数字控制器的脉冲传递函数，在计算机控制系统中，D（z）是由计算机实现的。由上两式，可分别求出数字控制器的脉冲传递函数为（29）（30）式（29）及式（30）表明，根据线性采样系统的连续部分脉冲传递函数G（z）及闭环脉冲传递函数或，可确定出数字控制器的脉冲传递函数D（z）.退出2、最少拍系统的脉冲传递函数（1）最少拍系统的定义它的定义是指：系统在典型的输入信号作用下，经过最少采样周期，使得输出稳态误差为零，达到完全跟踪。（2）最少拍系统的脉冲传递函数典型输入信号的一般形式为（31）由最少拍系统定义，得（32）若,得（33）退出（3）典型信号作用下的对不同类型的典型输入型号，最少拍系统的闭环脉冲传递函数如表8-3所示。表8-3典型信号作用下最少拍系统的退出3.零极点分布与最少拍系统的脉冲传递函数设广义被控制对象的脉冲传递函数为式中：是G（z）的零点；是G（z）的极点。退出则数字控制器的脉冲传递函数为

（34）由式（34）可见：①若D（z）中存在环节，则表示数字控制器应具有超前特性，即在环节施加信号之前个采样周期时，这样的超前环节是不可能实现的，所以G（z）分子中含有因子时，必须使闭环Z传递函数的分子含有因子，从而保证D（z）可实现。②在式（34）中，若中存在单位圆外退出的时，则D（z）是发散的，所以只能把G（z）中的零点作为的零点，从而保证D（z）的稳定性。③由式（34），得最少拍系统的闭环传递函数为若对象特性G（z）的极点中有单位圆上或圆外的极点时，为了保证系统的输出稳定，G（z）的单位圆上或圆外的极点不允许采用增加D（z）的零点来对消G（z）的不稳定极点的方法，因为被控制对象参数的微小飘移，将是可能对消不完全，造成输出的不稳定。因此，G（z）的不稳定极点，只能用的零点来对消。退出下面举例消化上述所讲的内容。例16设单位反馈线性采样系统的连续部分及零阶保持器的传递函数分别为已知采样周期，试基于最少拍系统概念设计能使给定系统响应的响应过程具有尽可能短的调整时间的数字控制器