自动控制原理原理第8章

第8章非线性系统分析8．1非线性系统概述8.1.1典型非线性特性1.饱和特性不再随输入的的绝对值增大到某一值后，输出当输入变化而变化，即输出达到饱和，这种现象称为饱和。如晶体管放大器、电机的转速与控制电压的关系都具有饱和特性的，如图。实际饱和特性理想饱和特性≤a饱和特性对系统性能的影响：（1）由于饱和区等效增益的减小，提高了暂态响应的平稳性，即有抑制系统振荡的作用。（2）由于饱和区等效增益的减小，使稳态控制精度下降。2.死区特性（不灵敏区）死区特性当输入信号的绝对值小于死区范围时，输出为零；当输入信号的绝对值大于死区范围时，输出信号才随输入信号线性变化。其数学表达式为≥≤

控制系统中的测量元件、执行部件以及放大器都存在着不灵敏区。

死区特性元件等效于一个变增益元件，在死区范围内，等效增益为零，大于死区后，等效增益随输入信号的增大在增大，但等效增益总是小于原来的值。

第8章非线性系统分析死区特性对系统性能的影响：（1）由于等效增益的减小，增大了系统的稳态误差，降低了稳态控制精度。（2）由于等效增益的减小，提高了系统暂态响应的平稳性，使振荡性能减弱。（3）因为死区可以滤掉小幅值的干扰信号，所以使系统的抗扰能力提高。3.间隙特性（回环特性）间隙特性形成的原因常常是由于滞后的作用造成的。如磁性材料的滞后现象，所以回环特性又叫磁滞特性。在机械传动装置中，由于传动间隙或干摩擦也造成回环特性。如图。第8章非线性系统分析间隙特性间隙特性对系统性能的影响：（1）间隙会引起系统的不稳定或自振荡。由于输出总是滞后于输入的，从频率特性上看相当于系统中引入了一个相位滞后环节，使系统相位裕量减小，暂态响应振荡性能加剧。（2）由于滞后原因间隙会降低系统稳态精度。继电器理想继电器死区继电器带滞环的继电器4.继电器特性第8章非线性系统分析继电器特性对系统总是不利的。第8章非线性系统分析8.1.2非线性系统的特点1．稳定性线性系统的稳定性只与系统本身的结构和参数有关，而与初始条件及输入量无关。非线性系统的稳定性除了与系统本身的结构和参数有关外，还与初始条件及输入量有关。例8-1

有非线性系统，其微分方程为试分析在不同的初始状态下（如、和）系统的稳定性。解：（1）当时，项的系数，微分方程的特征根为负，系统稳定，其动态过程按指数规律衰减。如图。不同初始状态下的动态过程第8章非线性系统分析项的系数（2）当时，，微分方程变为保持恒值。如图。（3）当时，项的系数，为正，系统不稳定，其动态过程微分方程的特征根按指数规律发散。如图。2．自持振荡（自振）对于非线性系统，除了稳定和不稳定这两种运动状态以外，还有一种稳定的持续振荡状态，即自持振荡或自激振荡（简称自振）。第8章非线性系统分析自振就是在没有外加信号时，系统产生的不衰减的周期振荡。

在很多情况下不希望系统产生自振，因为强烈的振荡会使设备损坏。但有时也可以利用自振改善系统性能，如用高频小振幅的颤振克服摩擦或间隙对系统的影响。所以自振的分析研究是非线性系统研究的一个重要问题。3．叠加原理不适用非线性系统的暂态特性是与初始条件有关的，当初始偏差小时单调变化，初始偏差大时很可能就出现振荡。所以，叠加原理不适用。

鉴于非线性系统的特点，其研究的重点和方法与线性系统有所不同，一般主要研究非线性系统的稳定性和自振荡问题，决定它的稳定范围，自振的振幅和频率等。第8章非线性系统分析8．2描述函数法描述函数法是在频率域中分析非线性系统的一种工程近似方法，是频率法在一定假设条件下在非线性系统中的推广应用。8.2.1描述函数的基本概念1．谐波线性化谐波线性化就是在输入正弦函数的情况下，将非线性元件输出的非正弦周期信号用其中的基波分量来代替，而略去信号中的高次谐波。设一个非线性元件，其输出输入关系表示为，

时

输入为，输出为，它是一个非正弦的周期函数。展成富氏级数：第8章非线性系统分析其中：

设非线性特性均为对称奇函数，，忽略高次谐波，则第8章非线性系统分析2．描述函数定义非线性元件在正弦输入时，输出的基波分量与输入正弦量的复数比，称为该非线性元件的描述函数。表示，即描述函数用符号如果非线性元件不包含储能机构，即描述，描述函数只是输入正弦信号幅值的函数，即而与频率无关。

的特性可以用代数方程描述函数可看作是一个“复放大系数”或“复增益”。8.2.2典型非线性特性的描述函数非线性特性的描述函数计算步骤：（1）设输入为，根据非线性输入输出特性，画出其输出

波形并写出其表达式。第8章非线性系统分析（2）计算输出的基波分量（设非线性特性具有斜对称）。特性，即（3）根据描述函数的定义式求出该非线性特性的描述函数。1．饱和特性的描述函数输入、输出特性如图。（1）在正弦输入信号作用下，其输出波形如图。

写出输出表达式为

≤≤≤≤第8章非线性系统分析饱和特性及输入、输出波形（b）（a）（c）第8章非线性系统分析（2）由于饱和特性为单值斜对称，所以，由图知，当时，，所以，。

（3）其描述函数为第8章非线性系统分析2．死区特性的描述函数死区特性的输入、输出特性及在正弦函数输入时的输出波形如图。死区特性及输入、输出波形第8章非线性系统分析≤≤≤≤其输出表达式为死区特性为单值斜对称，故第8章非线性系统分析死区特性描述函数为

3．间隙特性的描述函数间隙特性的输入、输出特性及在正弦函数输入时的输出波形如图。其输出表达式为第8章非线性系统分析间隙特性及输入、输出波形第8章非线性系统分析≤≤≤≤由图可得，所以，

由于间隙特性为非单值斜对称，所以、均不为零。第8章非线性系统分析间隙特性的描述函数为这是一个与输入正弦函数的振幅有关的复函数，说明输出的基波分量对输入是有相位差的，输出滞后于输入。

第8章非线性系统分析4．继电器特性的描述函数继电器特性的输入、输出特性及在正弦函数输入时的输出波形如图。继电器特性及输入、输出波形maa第8章非线性系统分析其输出表达式为

≤≤≤≤；；≤≤由图可得：

因继电器特性为非单值斜对称，所以，，

第8章非线性系统分析继电器特性的描述函数为当m和a取不同值时，可得到其它几种继电特性的描述函数。当时，为理想继电器特性，

其描述函数为第8章非线性系统分析当时，为带死区的继电器特性，其描述函数为

当时，为带滞环的继电器特性，其描述函数为

当系统中有两个或多个非线性元件并联的结构时，可以等效为一个非线性环节，其等效描述函数为各并联非线性特性描述函数之和。或者一个复杂的非线性特性可以分解为几个简单非线性特性的叠加。第8章非线性系统分析8.2.3描述函数法分析非线性系统描述函数法主要用来研究非线性系统的稳定性问题、是否产生自振、产生自振时的振幅和频率的确定，以及如何抑制自振等。1．系统的典型结构及描述函数法应用的基本条件非线性系统的典型结构图：

NW考虑只分析系统的稳定性及自振问题，令外部作用量为零。可通过对非线性系统的变换和归化和非线性部分的串联而形成的回路。

得到，表示为线性部分基于谐波线性化，系统处于自振时，非线性部分和线性部分的输入输出均为同频率的正弦量，在此条件下，非线性部分的特性可用描述函数表示，线性部分的特性可用频率特性表示，其典型结构等效为第8章非线性系统分析这就是分析非线性系统自振时的理论模型，以后的分析是基于此模型的。

描述函数法应用的基本假设条件：（1）非线性系统为典型结构图形式。（3）线性部分具有良好的低通滤波特性。2．非线性系统的稳定性分析设非线性系统为典型结构图形式，仿线性系统的奈氏稳定判据，写出系统闭环特征方程为或写成

（2）对于非线性②无惯性；③其输入输出静特性是斜对称的（即为对称奇函来说，①其输出的高次谐波振幅小于基波振幅；数）。

第8章非线性系统分析对于线性系统而言，，复平面上（-1，j0）点是判断线性系统稳定性的参考点。

对于非线性系统，由于，特征方程的右边为

现仍假设线性部分为最小相位系统，那么，判断系统稳定性的不再。是参考点（-1，j0），而是一条参考线（线，即负倒描述函数曲线）。表明系统有正的特征根，系统会出现增幅振荡，不稳定。和判断线性系统稳定性相似，①如果曲线包围了线，如图。

则系统稳定。

③如果两线有交点，表明系统有可能产生自持振荡。是否产生自持振荡，要判断交点是具有收敛特性还是发散特性。

②如果曲线不包围线，如图。

第8章非线性系统分析3．自振分析当曲线和线相交时，系统有可能产生稳定的自振荡，是否产生自振要判断交点的特性。以上右图为例讨论。如果交点具有发散特性，如P点。不可能产生稳定的自振荡。如果交点具有收敛特性，如Q点。会产生稳定的自振荡。其振幅和频率由交点处线上的值和线上的值确定。

该系统的工作状态根据初始振幅不同会有两种状态存在：第8章非线性系统分析①当初始振幅（设P点振幅为XP）时，系统稳定，的增长而衰减振荡，直至衰减到零。

状态随时间

不同初始振幅情况下的状态变化曲线如图。②当时，

系统最终会稳定在Q点作自振荡，自振的振幅和频率分别为Q点的和。第8章非线性系统分析4．应用描述函数法分析非线性系统举例例8-2具有饱和特性的非线性系统如图所示，试（1）判断当

线性部分时，系统是否产生自振？如产生自振，求自振的频率和振幅。（2）确定系统临界稳定时，的取值。

解：（1）饱和非线性特性的描述函数为

由非线性特性知，，，代入上式可得负倒描述函数为第8章非线性系统分析因饱和特性为单值斜对称特性，其和为实函数。

当振幅在（1～∞）范围变化时，变化范围为（-0.5～-∞）。

曲线如图。

线性部分频率特性为

将代入并绘制其幅相频率特性曲线如图。

两线交点计算如下：

解得：令：代入其实部得：第8章非线性系统分析曲线与曲线的交点即为（-1，j0）点，可判断此交点具有收敛特性，故产生自振。

自振的频率即为两线交点处的频率，即线上的振幅，计算如下：，自振的振幅即为两线交点处令

即解得，即为自振的振幅。

（2）当曲线与曲线没有交点时就不会产生自振，

并且曲线时，系统是稳定的。

曲线不包围第8章非线性系统分析值即为临界稳定值。即当时的解得为临界稳定值，

当时系统稳定。

例8-3非线性系统结构图如图。

非线性特性的参数自振，若存在自振，计算自振的频率和振幅。

。试分析该系统是否存在解：带死区的继电器特性的描述函数为0.750.7570.760.950.9911.11.71.8431.9-0.97-0.92-0.90-0.65-0.65-0.65-0.66-0.86-0.92-0.94第8章非线性系统分析则负倒描述函数为将代入得：根据式计算一组数据如表：

根据表数据可画出曲线如图。

时，达到最大。

150180190200250300500-0.36-0.10-0.0400.100.120.07-1.55-1.13-1.02-0.92-0.57-0.37-0.09第8章非线性系统分析线性部分的频率特性为

计算一组数据如表：

根据上表数据可画出线性部分幅相频率特性如图。

，

可看出，线与线有两个交点A和B可判断交点A具有发散特性，交点B具有收敛特性，所以系统在B点会产生自振。第8章非线性系统分析计算交点上的频率和振幅：交点A和交点B上的频率相同，但振幅不同。解得，代入其实部得令：线与线的交点即为（-0.92，j0）。

交点上的振荡频率即为计算交点A和交点B的振幅：令：解得：

第8章非线性系统分析当初始振幅时，系统稳定；

当初始振幅时，会在B点产生稳定的自振，其振荡的频率为，振幅为。

例8-4系统结构图如图所示。非线性特性为带滞环的继电器特性，其中的参数

，，试判断该系统是否存在自振，若存在自振，计算自振的频率和振幅。

解：带滞环的继电器特性的描述函数为其负倒描述函数为

第8章非线性系统分析代入参数，，得可画出曲线如图。

线性部分的频率特性为

可计算一组数据画出线性部分幅相频率特性如图。

第8章非线性系统分析可看出，线与线有一个交点，且具有收敛特性，所以系统存在自振。

令在交点处的和的实部和虚部分别相等，可求得自振的频率和振幅。即

解得：，。即自振的频率为，振幅为。

第8章非线性系统分析8．3相平面法设二阶系统微分方程的一般形式为

是和的线性或非线性函数。

状态变量为

和。在任一瞬间，可用这两个状态变量来描述该系统的运动状态。

将二阶微分方程式转换成两个一阶微分方程：

把时间变量作为参变量消去，可得上三式是等价的，

（1）（2）（3）即式（1）的解既可用和的关系来表示，和的关系来表示。

也可用把直角坐标和系统的某一状态在相平面上对应确定出一个点，称为相点（或表示点、描述点）。

的平面叫做相平面。相平面：相点：第8章非线性系统分析随着时间的变化，状态也相应变化，在平面上便描绘出一条轨迹，叫做相轨迹。

相轨迹：如果以各种可能初始状态为起始点，则可以得到一族相轨迹。把相平面和相轨迹曲线族总称为相平面图。

相平面图：相平面法：就是利用相平面图来分析研究系统暂态特性的一种方法。

相平面法是一种时域分析法，也是一种图解法，但只适用于二阶系统。

8.3.1相轨迹的特征以线性二阶系统为例来讨论相轨迹的特征。其微分方程为

只研究其暂态解，考虑齐次方程

第8章非线性系统分析令得将其化为两个一阶微分方程式

把时间变量作为参变量消去，得到和之间的关系方程，即为相轨迹方程。

在相平面上画出的关系曲线即为相轨迹曲线。

和消去得上式即为相轨迹斜率方程，用解析法或图解法求解即可求出的关系曲线（即相轨迹）。

和第8章非线性系统分析下面分六种可能的情况来讨论相轨迹的特征及与时间函数之间的关系。

1．无阻尼（）情况微分方程式的特征根为一对共轭虚根，如图。

相轨迹斜率方程变为采用积分法求解并整理得式中，是由初始条件（）决定的常数。

此式即为相轨迹方程，是一个椭圆方程。

当初始条件不同时，相轨迹为一族同心的椭圆，

如图。第8章非线性系统分析无阻尼（）情况设初始位置在点，相应的状态变化曲线如图。

2．欠阻尼（）情况微分方程式的特征根为一对负实部的共轭复根，见图。

其解为

其中，，和由初始条件确定。

其相轨迹为向心螺旋线见图。

第8章非线性系统分析欠阻尼（）情况设初始位置为，相应的状态变化曲线如图。

呈现为衰减振荡过程。

3．过阻尼（）情况微分方程式的特征根为两个负实根，如图。

第8章非线性系统分析过阻尼（）情况即：图8-22过阻尼（微分方程式的解为

其中，A1和A2由初始条件确定。对应的相平面图如图。

设初始位置分别在M1和M2点，对应的状态x(t)变化曲线如图。第8章非线性系统分析4．负阻尼情况一（）微分方程式的特征根为一对正实部的共轭复根，如图

。负阻尼（）情况相轨迹也为螺旋线，只是相轨迹移动方向随着时间t的增长向外发散的，如图。状态变化曲线如图，呈增幅振荡过程。

第8章非线性系统分析5．负阻尼情况二（）微分方程式的特征根为两个正实根，如图（a）。

负阻尼（）情况相平面图如图（b）。设初始位置位于M1或M2区域，对应的状态变化曲线如图（c）呈发散过程。第8章非线性系统分析6．正反馈的情况变正反馈时系统微分方程为特征根为两个异号实根，即

如图（a）

两个异号实根情况第8章非线性系统分析微分方程式的解为

A1和A2由初始条件确定。其相平面图如图（b），为一族“双曲线”。设初始位置在M0，对应的状态x(t)的变化曲线如图（c）。

当时，两个特征根为数值相等的异号实根，双曲线变为等边双曲线。

相轨迹的特征：

（1）奇点

奇点就是系统的平衡点。在相平面上就是相轨迹是相交的点。在奇点上满足：

根据此式可确定奇点的位置。根据奇点附近的相轨迹形状不同把奇点分为六类：第8章非线性系统分析s稳定焦点稳定节点不稳定节点鞍点中心点不稳定焦点第8章非线性系统分析

确定奇点类型的方法：

设奇点位置在坐标原点（如不在原点先变换到原点）。首先将非线性微分方程在原点附近线性化处理，再根据线性化微分方程的特征方程式的根在复平面上的位置来确定奇点的类型。设线性化后微分方程的特征方程为

和为常数，其根设为和，存在六种情况如下：

①为一对负实部的共轭复根，相应的奇点为稳定焦点。和②为一对正实部的共轭复根，相应的奇点为不稳定焦点和③

和均为负实根，相应的奇点为稳定节点。④

均为正实根，相应的奇点为不稳定节点。和和⑤

和为一对共轭虚根，相应的奇点为中心点。⑥为两个异号实根，相应的奇点为鞍点。①如果奇点不在坐标原点，可通过变量代换先移动到坐标原点，再进行线性化处理，然后再利用上述方法判断奇点类型。②当线性化后的特征方程的根至少有一个为零时，则不能用上述方法判断奇点类型。因为此时系统的稳定性取决于泰勒级数展开式的高阶项。注意：对于线性系统来说，奇点只有一个，零输入条件时，奇点即为坐标原点。而对于非线性系统，两线交点有可能不只一个，可能会有多个。例8-5绘制下面微分方程所描述系统的相平面图。解：（1）计算奇点位置奇点应满足的条件

第8章非线性系统分析代入微分方程得第8章非线性系统分析解得奇点为和

两个奇点。

（2）判断奇点类型先判断奇点（0，0）的类型。在原点附近将原微分方程线性化得：

特征方程为，求其特征根为

为一对负实部的共轭复根，奇点(0,0)类型为稳定焦点。对于奇点(-2,0)，先进行变量代换，将其移动到坐标原点，再线性化处理判断奇点类型。第8章非线性系统分析，即令

，

将其代入原微分方程，变为则在坐标系中，奇点即为(0,0)。然后线性化处理得特征方程为特征根为为两个异号实根，所以奇点（-1，0）类型为鞍点。相平面图如图所示。第8章非线性系统分析可看出当初始位置位于内部稳定区域时，系统将收敛到奇点(0,0)，否则，系统是发散的。（2）相轨迹不相交除奇点外，相轨迹是不会相交的。（3）特征区奇点附近的相轨迹除中心点情况外，所有描述点不是沿相轨迹趋于奇点（叫吸引），就是沿相轨迹离开奇点（叫发散）。说明在奇点周围，相轨迹具有共性，形成一个特征区（叫做吸引区或发散区）。（4）相轨迹的运动方向

在相平面的上半平面，相轨迹的运动方向为向右；

在相平面的下半平面，相轨迹的运动方向为向左。

第8章非线性系统分析（5）相轨迹通过x轴的斜率。

当相轨迹通过x轴时，相轨迹通常是垂直通过的。在x

轴上的各点，满足，除奇点外，相轨迹斜率为，所以相轨迹总是垂直通过x

轴的。（6）极限环极限环在相平面上具有特殊的几何图形，即是一个孤立的封闭曲线。极限环表示一个等幅振荡。ⅠⅡⅢ假设相平面被划分为三个线性区域，如图。如果给定区域（如Ⅰ区）它的相轨迹具有的奇点在本区域内，则称为实奇点。实奇点：

如果奇点位于给定区域之外（如在Ⅱ区或Ⅲ区），则称为虚奇点。虚奇点：第8章非线性系统分析判断极限环存在的一个充分条件：当具有不稳定的实奇点和稳定的虚奇点时，系统必然存在极限环。系统从某一状态过渡到另一状态所经历的时间（即调节时间）可利用相轨迹求得。（7）调节时间设状态从状态过渡到状态，其调节时间计算公式为：如果已知相轨迹方程，可通过积分即可计算出调节时间。①积分计算法②图解计算法已知相轨迹如图，由相轨迹可得到与的关系曲线，如图。

第8章非线性系统分析（a）（b）则曲线所包围的面积s即为调节时间。8.3.2相轨迹的绘制相轨迹的绘制方法解析法图解法1．解析法解析法包括直接积分法和消t法两种方法。（1）直接积分法

由微分方程式转换成两个一阶微分方程得到相轨迹斜率方程，即：第8章非线性系统分析┅┅（*）直接对（*）式进行积分可求得相轨迹方程，再根据此式就可在相平面上绘制相轨迹了。（2）消t法

根据微分方程式先求解出状态和函数，然后消去时间变量得到相轨迹方程

，再根据此式画相轨迹。例8-6绘制

所描述系统的相平面图。解：采用解析法（1）直接积分法。即

两边积分得即为相轨迹方程，A为积分常数，由初始条件确定。

原方程可变换为第8章非线性系统分析其相平面图如图。为开口向左的一族抛物线。2．图解法工程中常用的图解法有：等斜线法和法。

等斜线法的基本思想：将相轨迹的曲线形式用一系列短的折线近似代替。等斜线是指相平面上相轨迹斜率相等的各点的连线。相轨迹斜率方程为令：得等斜线的方程为

为相轨迹斜率，为常数。

给定一组的值，便可得到一族等斜线。相轨迹通过每条不同的等斜线时，其斜率均为该条等斜线所对应的值。

第8章非线性系统分析当给定初始条件确定出相轨迹的初始位置后，由该点出发的相轨迹画法如下：按照初始位置所在的等斜线上相轨迹的斜率c方向画一个小线段，交于下一条等斜线上一点；再由这一点出发，按照此条等斜线上相轨迹的斜率c方向画一个小线段，交于再下一条等斜线上一点。依次连续画下去，就可以画出一条从给定初始条件出发的相轨迹。以线性二阶系统为例应用等斜线法画相轨迹。相轨迹斜率方程为

令相轨迹斜率为常数c，即第8章非线性系统分析得等斜线方程为

令得等斜线方程为

当c取一组数据可作等斜线族如图。

等斜线画出后，绘制相轨迹：（1）根据初始条件确定相轨迹的起始位置，设为点。

（2）过A点按A点所在等斜线上的c值（c=-1）画一斜率为c的直线段与下一条等斜线交于一点B。线段即为相轨迹上的一段；然后再从B点出发按B点所在等斜线上的c值（c=-1.2）画一斜率为c的直线段与下一条等斜线交于一点c。依次类推绘制下去，一条相轨迹就画出来了，如图。更精确一些，可按相邻等斜线上所标c值的平均值作为斜率画直线段。第8章非线性系统分析例8-7用等斜线法绘制下述微分方程所描述系统的相平面图。解：

分区域绘制。（1）≥的区域。

微分方程为

相轨迹斜率方程为

令其等于常数c，得等斜线方程为画出右半平面等斜线如图。

（2）的区域。

微分方程为相轨迹斜率方程为

令其等于常数c，得等斜线方程为

画出左半平面等斜线如图。

第8章非线性系统分析（3）绘制相轨迹。

取不同的初始位置为相轨迹起点，按等斜线法绘制相轨迹，即可得到该系统的相平面图，如图。该系统相轨迹存在两条渐近线，讨论如下。

相轨迹的渐近线为一条特殊的等斜线，即当等斜线的斜率与相轨迹的斜率相等的那条等斜线即为相轨迹的渐近线。左半平面的等斜线方程为令其斜率等于相轨迹的斜率c，即，可解得和两个根，再代入等斜线方程，得即为相轨迹渐近线的方程。第8章非线性系统分析8.3.3非线性系统的相平面分析相平面法分析非线性系统的一般步骤：（1）将非线性特性分成若干个线性段，分别写出其数学表达式。（2）选择相平面合适的坐标。一般选择和非线性元件输入信号有关的量。

（3）根据每个区域的线性微分方程确定奇点的位置及类型。（4）在各区域内画出各自的相轨迹。（5）把相邻区域的相轨迹在区域边界上作适当的连接。例8-8一非线性系统结构图如图。试画相平面图并分析系统的暂态特性。第8章非线性系统分析解：（1）将死区非线性特性分段线性表示，写出其数学表达式为（2）选相平面坐标为（，）。

由非线性特性知可将相平面分为三个线性区域，如图。设系统输入信号为零，即。由系统结构图写出其微分方程为Ⅰ区域（）：

该区域的线性微分方程为第8章非线性系统分析ⅡⅢⅠⅡ区域（）：

该区域的线性微分方程为Ⅲ区域（）：

该区域的线性微分方程为设。（3）确定各区域奇点的位置及类型。①Ⅰ区域：根据奇点应满足的条件由微分方程得

解得奇点位置为（0，0）。

判断奇点类型。其特征方程为第8章非线性系统分析解得其根为

或为两个右半平面的共轭复根，或为两个正实根。所以奇点（0，0）或为不稳定焦点或为不稳定节点。如设为不稳定焦点。

②Ⅱ区域：用同样的方法可求得奇点为（，0），奇点类型或为稳定焦点或为稳定节点（设为稳定焦点）。为虚奇点。

③Ⅲ区域：同样可求得奇点为（，0），为稳定焦点或为稳定节点（同样设为稳定焦点），为虚奇点。

（4）绘制各区域的相轨迹。Ⅰ区域的相轨迹为向外发散的螺旋线，Ⅱ区域和Ⅲ区域的相轨迹均为向内收敛的螺旋线。如图。（5）在区域边界把相轨迹作适当的连接。相平面图如图。第8章非线性系统分析例8-9具有饱和非线性特性的系统如图。试绘制相平面图。解：（1）饱和非线性特性的分段线性表达式如下：（2）选相平面坐标为（，）。相平面分为三个线性区域，如图。

由结构图可写出描述系统的微分方程为

即有设输入为阶跃函数，则在时间时有得：（3）分区域画相轨迹第8章非线性系统分析ⅢⅠⅡ为分界线和①在Ⅰ区域（）：

得微分方程为根据奇点应满足的条件

由微分方程得

即奇点位置为（0，0）。特征方程为解得其根为或为两个左半平面的共轭复根，或为两个负实根。奇点（0，0）或为稳定焦点或为稳定节点。设为稳定焦点，其相轨迹见图。72第8章非线性系统分析②在Ⅱ区域（），微分方程为

不存在奇点，但存在渐近线。将代入上式，得相轨迹斜率

令其等于常数c，得等斜线方程可看出，当相轨迹斜率c取不同值时，等斜线为一族水平线，其斜率均为0。所以当相轨迹斜率c与等斜线斜率（为0）相等时的那条等斜线即为相轨迹的渐近线。即令代入等斜线方程得相轨迹的渐近线方程：相轨迹如图。）

③同理，在Ⅲ区域（，该区域微分方程等斜线方程为第8章非线性系统分析令得相轨迹渐近线：，该区域的相轨