计算机断层成像原理-成像参数描述课件

第4章X-CT成像参数主要内容

1、物质对X射线束的衰减2、衰减系数和CT数物质对X射线束的衰减

4.1

物质对X射线束的衰减

衰减的基本概念：就CT所用的X射线而言，入射X射线由于受到康普顿散射(高能端)和光电效应(低能端)的影响，沿入射方向的光子数逐渐减少(伴随光束硬化)，这种总的效应，叫X射线衰减，或称为物质对X射线产生了广义的“吸收”。

4.1.1单能X射线的衰减

单能X射线的衰减的衰减规律：入射X射线强度的减少与入射X射线光子数(强度)与射程长度成正比，并与介质的特性有关。其关系为： -dI=μI0dx或P=-dI/dx=μI0（4-1）

式中P是介质中由吸收和散射而吸收掉的X射线光子的吸收比率。I0是入射X射线的光子数(或近似叫强度)。μ是介质的X射线吸收系数，是反映介质特性的物理量。如果将吸收率表示为介质中X射线单位射程长度上的量，则μ的单位就是：1/长度，因而叫线吸收系数。

物质对X射线束的衰减对上式积分可得：（4-3）

I与x的半对数关系是一条直线，如图4-5所示。

4.1.2多能X射线的衰减在透射CT中，几乎没有单能辐射可用，因为只有放射性核素才有可能产生单能辐射，然而却难于得到CT所需的强度。因此，必须用X射线管产生X射线束，而这样产生的X射线的能谱是连续谱，最大能量为加于X射线的KVP值。多能X射线通过厚为X的介质薄片后的透射强度为：（4-4）

物质对X射线束的衰减上式中I0(E1),I0(E2)...等分别表示X射线束中n种不同能量的X射线光子各自的强度。μ(E1)，μ(E2),...等表示各自的线吸收系数。为简化记号。该表达式可写成：

(4-5)式中Σ为求和符号，K为求和变量从1到n顺序取值。μ(Ek)为第K种能量的X射线的吸收系数。一般说来，Ek越小，μ(Ek)越大。

4.1.3X射线束硬化效应在X射线束透过介质时，由于低能X射线被吸收量较多，所以X射线的平均能量随透入介质的深度而增加。能量的逐渐增加使透射X射线与介质厚度的关系的半对数图形偏离直线，如图4-6。X射线束的能量随深度的变化产生束硬化，在透射CT图像中产生硬化膺象。物质对X射线束的衰减4.1.4X射线的有效能量

X射线的有效能量的意思是：如果介质对多能X射线的吸收等效于某单能X射线的吸收时，就把该单能X射线的能量叫做对应的多能X射线的有效能量。在很多情况下，包括CT图像重组中，用有效能量来描述多能X射线束是很方便的。为了确定有效能量,①需测量X射线透过厚为x的薄层介质时的透射比I/I0,②由公式I/I0=e-μX计算有效线性衰减系数μ。③测出对同一介质有相同μ的单能X射线(用放射性核素或衍射分光法从多能X射线获得)的能量。或通过查表或测量找出对同一介质有同一μ值的单能X射线的能量。这样求得的单一的X射线的能量就是对应的多能束的有效能量。一般来说，有效能量约为KVP值的60%左右。对于在120～140KVP下运转的CT扫描机，有效能量一般为70～80KeV。110KVP时，有效能量为：66KeV。衰减系数和CT数4.2衰减系数和CT数

4.2.1CT数与线衰减系数的关系

在图像重组过程中，对一种材料计算的CT数与X射线束的有效能量在同种材料中的线衰减系数μ有关，其关系为：

式中CTN表示CT数，μw是同种有效能量的X射线在水中的线衰减系数。对于现代CT扫描机，常数K的值为1000，如果将CTN表示成豪斯菲尔德单位(HU：HounsfieldUnit),则上式变为：

(4-7)

在HU单位中，空气的CT数为-1000HU；水的CT数为0；致密的骨的CT数为几百个HU；金属(如外科摄)CT数为1000HU以上。在较早的扫描机中，K常数为另外的值(如早期的EMI扫描机中K=500)。

(4-6)

衰减系数和CT数4.2.2用CT数表示物质对X射线的吸收的优点

1、因为CT数表示被测材料和水的衰减系数之比，所以对不同的管压KVP值及X射线束的不同的过滤情况都变化不大。

2、对不同的CT扫描机都基本上是常数。

3、乘以比例因子1000，是要将CT数的数值放大，以避免像衰减系数那样堆积在一起。

4、CT数主要反映了物质的体电子密度(电子数/cm3)。CT数与物质的体电子密度有线性关系。

5、对肌肉和软组织CT数主要反映X射线的康普顿散射。

6、骨的CT数主要反映X射线的光电吸收。骨的CT数偏离了与体电子密度(电子数/cm3)的线性关系。衰减系数和CT数

7、对CT数的主要影响是吸收材料的物理性质，主要是材料的物理密度(g/cm3)。对CT数的第二个影响是质量电子密度(电子数/g)，因为大多数相互作用都属于康普顿散射，这种相互作用主要与介质的质量电子密度有关而与介质材料的原子序数无关，质量电子密度与物理密度之积叫介质的体电子密度。单位为电子数/cm3。CT数与介质体积电子密度的线性关系示于图4-7。除骨外，所有生物材料都遵从这种线性关系。在骨中，光电吸收的影响变得显著起来，介质的原子序数影响相互作用的几率。因此，骨中CT数偏离图4-7中的线性关系百分之几。衰减系数和CT数4.2.3衰减系数的进一步研究对受诊断X射线照射的任何材料，线衰减系数是经典散射系数η，光电吸收系数τ,及康普顿散射系数σ之和，即

μ=η+τ+σ（4-8）White及Fitzgerald指出，该式可改写为：μ=ρe(η1Z-1.69+η2Z-3.8+η3Z-0.03)（4-9）其中：ρe=ρm*d(=质量电子密度*物理密度)式中ρe是体积电子密度，η1、η2、及η3分别为经典散射、光电吸收及康普顿散射所占的比例，Z表示原子序数，ρm表示质量电子密度，d表示物理密度。在除致密骨外的大多数生物材料中，η1及η2小到可以忽略且有效原子序数基本相同。因此线性衰减系数μ与对应的CT数仅随体电子密度变化（图4-7）。将由White等提出的μ实际表达式代入CT数的表达式：

式中，可计算理想的CT数。表4-1中列出了Fullerton对几种材料计算的CT数。计算这些值时假定：(1)每一种生物材料只有唯一的CT数存在；(2)对某种特定组织得到的CT数可用以识别这种组织的成分，辨别正常或病理状态。衰减系数和CT数衰减系数和CT数各种软组织的CT数与质量密度间的关系第5章断层图象重建本章主要内容

1、CT成像的一般问题2、几种典型的图像重建算法

简单反投影法简单代数重组法迭代重组法

滤波反投影法5.1CT成像的一般问题

在研究人体透射的断面影像重建之前，先了解一些成像问题的背景知识。为产生物体的图像，我们必须把物体的信息传递给图像。从实际应用的角度看，成像模式要求保证形成图像上一点的信息来自于物体上的一个点，即物体与图像具有一对一的关系。但实际上，元素的其他邻近点也会对该点的成像产生一定量的信息，且离该元素位置越远，此信息量就会越小，称之为邻域原理(neighbourhoodprinciple)。这可以用一个点源响应函数(point-sourceresponsefunction，PSRF)来进行定量描述。对于成像效果好的系统，其邻域应限制在一个很小的区域，因而作用范围很窄。为了重建图像，我们就需要建立一个物体与图像之间的物理联系，在物理成像中，这种联系方式可以有多种形式，如γ照相中的γ射线光子，热成像中的红外光子以及X射线成像中的X射线光子。CT成像的一般问题

物体平面与影像平面之间的关联函数是空间变量点源响应函数(spacevariantpoint-sourceresponsefunction，SVPSRF)，在有些情况下该函数其实也是空间不变的．即对所有的位置值都相同。图像其实就是物体分布与PSRF函数的卷积，它携带了从物体平面信息到影像平面的信息，我们期望解卷积过程可以消除信号的畸变。由于两信号的卷积等于其傅里叶变换的乘积，注意在傅里叶空间中，物体可以按其空间频率分量进行分割。清晰图像所包含的空间频率比模糊图像中相应的频率要高。我们的目标是要得到人体每一个切片层面上的影像。为此先将每层切片分割成任意的正方形横截面区域或是体积等于切片层厚度的体积单元，简称为体元(voxels)。这是为了给每个体元赋予一个对x射线的线性衰减系数为μ的值，并用矩阵的形式进行显示，矩阵中的μ值即为最终成像中的各个像素(pixel)的灰度值。在将这些数据送到CRT屏幕显示以前．通常先将它们重新调整为CT数(CTnumber)的形式CT成像的一般问题矩阵中不同的灰度值构成一幅图像CT成像的一般问题

上式表明：任何组织的CT数都是它相对于水的线性衰减系数的差分因子。虽然大部分软组织的CT数通常接近于零(这些组织无法通过传统的x射线成像)，但CT仍可以很容易地将它们区分开来。此外，从显示的角度讲，CT数的微小差别可以通过增加显示的对比度进行光学放大，即操作者可以改变设定的CT数的亮度范围。通过这种方法，即使是CT数相差很小的组织，也可转换为黑和白之间的灰度图像(图7.27)。这种方法的重要性在于，它允许比那些由传统的采用胶片的x射线透视摄影的灰度系数(Γ)小100倍的目标物成像。CT成像的一般问题

当X射线束穿过人体时，它在任意一点的衰减由该点组织特性与射线束的能量分布决定。x射线CT中射线束的能量分布谱是多色谱的，它会在射线束穿过人体时改变(硬化)。这种改变的一个重要结果是射线束在任一点的衰减取决于射线束的入射方向。显然对于单色谱射线束的情况就不会这么复杂，我可以给人体每一点赋一个唯一的衰减值．这样衰减系数重建的问题也就解决了。每个体元的CT值是由组成该体元的组织特性决定的，它与体元在切片中的位置无关。

假定有一光子能量已知的单色谱X射线源，对于固定位置的线源和探测器对，我们可以测出由线源到达探测器的光子数，以此作为定标测量，并记此定标值为CM。如果对人体重复进行此测量，那么到达探测器的光子数目就会减少．并得到实际测量值AM，我们定义单色谱X射线束的总和m为CT成像的一般问题

将所有的线源与探测器对在不同位置上的m值的集合作为单色谱x射线投射数据的参考值，可以证明在一定能级范围内，切片内的相对线性衰减系数可以由单色谱投射的数据来准确估计。由于实际x射线源为有色谱的．如同在单色谱线定义方法一样。我们分别定义有色谱射线总和p、定标测量值CP、实际测量值AP，则有：

实测中，我们可以得到所有线源与探测器不同位置上的p值(多色谱投射数据)的集合。但由于我们需要的是m值，所以问题就在于p值能不能唯一地确定m值，通常情况下答案是不能。换一个思路是，能否用已知p值来近似m值从而得到满足临床需要的CT数?这个问题的答案看起来是肯定的，以下部分将说明具体的实现方法。为实现图像重建(reconstruction)，我们首先作以下简化的假设：CT成像的一般问题(1)切片无限薄。(2)对于每一个特定的射线源与探测器位置，所有的x射线光子沿同一直线行进，且位于无限薄的切片内。实际上，第一个假设是忽略了体素与像素的区别，因此最终得到的影像是以灰度水平代表了体素与体素之间的相对线性衰减。参考图7.28，可以得：CT成像的一般问题

由于μ(x,y)在重建区域之外的值为零．因此我们可以对式(7.33)的积分值进行任意扩展而不会使等式无效。现在问题是要简化由沿一系列直线的μ(x,y)积分值计算，即求单色投影数据。此问题的算法是基于1917年奥地利数学家拉东(Radon)提出的理论及公式。它全部由线性积分值来确定一幅图像。但我们能够提供的只是一组有限的投影或线性积分的集合，因此只能是估计值而不是精确值。此估计值受很多因素的影响，如X射线束的宽度、线束的硬化、光子统计分布以及探测器误差(即没有全部记录所有到达的光子数目)等。CT成像的一般问题

如图7.29所示．由于射线束的有限宽度局部体积效应会使μ(x,y)的估计产生较大的误差，假定图中的x射线为点光源单色谱的，x射线源照射直线段探测器，并由虚线将其分为两半。为简单说明问题，我们取扇形面图中单位长度元素的衰减系数为2(打点的区域)，其余部分均为零。如果有等数量的光子进入左右两侧的扇形区域，那么由于左侧的光子没有衰减．因而比值I/I0为l，而右半侧光子穿过单位长度的物质时．强度降低，比值I/I0=exp(-2)=0.135。虽然m的实际测量平均值为l，但用式(7.31)计算出的值为0.567，因此局部小块衰减材料的存在使得误差加大。5.2几种典型的图像重建算法5.2.1简单反投影法(SimplifiedBackprojection)假设通过球形物体的X射线透射数据是沿由两个相互垂直的视图上的很多条射线进行测量的。在每个视图上，这些测量组成特定角方位上X射线透射的轮廓。X射线透射轮廓示于图6-3。在获得X射线透射轮廓后，可用与数据积累过程相反的过程，形成球的大概图像。这个相反的过程叫反投影，不需很复杂的数学方法就可完成。例如，可用光学方法从在各不同的角方位上获得的光学图像完成简单反投影。在图6-3的例子中，如果能从不同的角方位获得更多的轮廓，则球形的图像就可得到改善。简单反投影法采用上述原理就可以提供CT图像的灰阶显示。然而，因为投影的衰减系数是沿整个射线的平均值，且不限于感兴趣的物体，故图像不满意。原始物体的周密区在重组图像中会形成辐射状的图纹，如图6-5。若用物体的很多视图来形成图像，辐射状的图纹就可减少，但随之而来的是产生图像的斑状模糊(星状伪迹)。这些辐射状图纹膺象的模糊限制了简单反投影方法在临床成像中的应用。以下用数学原理阐述简单反投影原理及星状伪迹产生的原理。投影反投影重建算法的一般步骤：原像取投影反投影重建重建后图像反投影重建算法投影重建算法的基本内容：“断层平面中某一点的密度值可看作这一平面内所有经过该点的射线投影之和（的平均值）”。式中xk表示象素的值，pk,i为经过象素的第i条射线投影。可以这样理解：其中f(x,y,z)是身体组织密度。反投影重建算法的物理概念算法举例123456算法举例根据反投影算法x1=p5=5 x6=p2+p3+p5=18 …平均化处理，除以投影线数目

xi=xi/6000005200100000056237181271108136250.8310.3300.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83反投影重建后原像素值再除以投影线数，平均化断层平面中某一点的密度值可看作这一平面内所有经过该点的射线投影之和的平均值123456星状伪迹反投影重建后，原来为0的点不再为0，形成伪迹00000520010000000.8310.330.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83原像素值再除以投影线数，平均化星状伪迹我们考虑孤立点源反投影重建，中心点A经n条投影线投影后，投影值均为1：

p1=p2=...=pn=1因此重建后而其他点均为1/n这类伪迹成为星状伪迹1/n1/n1/n1/n11/n1/n1/n1/n000010000星状伪迹产生星状伪迹的原因在于：反投影重建的本质是把取自有限物体空间的射线投影均匀地回抹(反投影)到射线所及的无限空间的各点之上，包括原先像素值为零的点反投影重建算法的数学描述我们设置一旋转坐标系统Xr-Yr,它绕原点转动使投影线总是沿着Yr方向。Xr-Yr的原点与X-Y的原点相重。两者的夹角为φ，不同的φ代表不同的投射方向。投影线的位置可由(Xr,φ)完全确定。空间的任一点的位置可用(X,Y),(Xr,Yr)或极坐标(r,θ)表出。反投影重建算法的数学描述先设φ为离散取值，则投影为根据反投影重建的定义式，点的图像在所述坐标系统表示为式中，,为投影数若在有限区间内射线增至不相重的无限条，即连续投影，则式(4.12)过渡到更一般的连续情况下的反投影表达式：在输入图像为点源的情况下，由式(4.10)及式(4.13)可得反投影重建算法的数学描述可见，反投影重建算法相应的系统的扩展函数不是δ函数，系统不是完美的．式定量地描述了反投影重建算法星状伟迹的本质．要除去反投影算法的星状伪迹，我们可以在输出端加一滤波器，使加了滤波器后的反投影重建成像系统PSF＝δ(x,y).使滤波器的PSF为q(x,y),相应的传递函数为Q(ξ,η),这里我们要求：反投影重建算法的数学描述＊＊表示二维卷积，对上式取二维傅立叶变换得或这是一只二维滤波器，实现起来比较麻烦．若ρ的变换范围可扩至∞，根本不能实现，但不管怎样，它提供了去除星状伪迹的一个努力方向．反投影重建算法的数学描述简单代数重组法5.2.2简单代数重组法(SimplifiedAlgebraicreconstruction)简单代数重组法是Hounsfield最初所用的方法。基本过程是收集完全的投影数据，然后解代数方程。如果投影数据少于未知数的个数，则产生病态问题。解决的方法是采用迭代法。简单代数重组法的示意图如图6-1。图中，假定每个体积元(voxel)的边长为X的立方体，P1～P6为6个方向的X射线投影数据，P0为X射线的初始值，μ1～μ4为各个体积元衰减系数。我们就需求这四个值。不能由P1～P4的投影数据立出4个方程而求出μ1～μ4，而必须寻求另外的投影，如P5。这样就可立出联立方程如下：图6-1代数重组法示意图

简单代数重组法因为P0为定值且可直接测量，为了方便假定为1。各投影P1～P6也是可测的。将方程(1)～(4)两边取对数可得：(lnP1)/x=-(μ1+μ2)(5)(lnP2)/x=-(μ3+μ4)(6)(lnP3)/x=-(μ1+μ3)(7)(lnP5)/x=-(μ1+μ4)(8)令(lnPi)/x=ni,则可得：

n1=-(μ1+μ2)(a)n2=-(μ3+μ4)(b)n3=-(μ1+μ3)(c)n5=-(μ1+μ4)(d)简单代数重组法最后可解得：μ1=(n2-n3-n5)/2(f)μ2=(n3+n5-n2)/2-n1(g)μ3=(n5-n2-n3)/2

(h)μ4=(n3-n2-n5)/2

(i)如果测量的投影数据(经变换)为：n1=-3，n2=-7，n3=-6，n5=-5，则可算得：μ1=2，μ2=1，μ3=4，μ4=3。就是说，由测得的投影数据就可重建物体对X射线的衰减系数矩阵，这就是图象。如果体积元取的大，即如果把4个体积元变成一个，则衰减系数为4者的均值：μ=(μ1+μ2+μ3+μ4)/4=2.5，这就模糊了细节，称为“部分体积效应”。迭代重组法5.2.3迭代重组法(IterativeReconstructionMethod)

解决反向投影重建缺点的途径之一是找到一种方法，去除我们所做的沿各X射线路径上的均匀密度分布或是μ为常量的不合理假设。早期CT中使用的一种概念上比较简单的方法是迭代方法(iterativemethods)，曾在豪斯费尔德研制的第一代CT中使用。这种方法尽管在现在的X射线CT中已不再使用，但在放射性同位素断层成像中仍在使用，该方法实质上是用迭代的方法求解方程：

这是一种逐步逼近法，初始值任意给定，然后利用修正值对每次计算的结果进行迭代，直到得出的解值与实验数据值相近为止。由于实际测量中空间位置是离散的，而且x射线笔射束的横断面是有限的，因此对式(7.36)中的积分其实就是求和。如图7.32所示，图像层面由像素(pixel)点组成，我们用X射线带代替X射线束。对图7.32中的第J条射线的射线积分可以表示为射线求和的形式：迭代重组法这里，wij为权重因子，它允许在同一条射线带上的不同像素对射线的吸收可以不同，其对投影图的贡献示于图7.32射线路径粗线表示的部分高度。事实上wij为第J束射线穿过第i个区域或像素的平均路径长度。这些系数值只需要计算一次，然后保存下来即可使用。实际设计中，式(7.37)代表约105个联立方程，它的解是在不断迭代中调整μi的值直到计算出的投影值PC与实验测得的投影P非常接近为止。把迭代的μi

值的最终结果作为解，也即是重构图像的像素值。图7.32像素矩阵叠加在所要成像的断面上(在射线j上的第i个像素对射线衰减的影响用wij表示，它在投影图上的贡献由粗实线表示在第j条射线带上测量的射线之和为投影图像的高度)迭代重组法这种求解方法得到的解并不唯一，一个原因就是通常方程数多于未知量，因而存在多重解。迭代算法中修正值的计算与应用也可采用不同方法，修正值可以以相加或相乘的方法应用，它们可以在计算后立即使用，或存储起来在每一次迭代后循环使用。此外，需要回答的一个问题是，重构物体的投影图像需要全部的视图还是可以选择最小数量的视图?如果物体只有一个点组成，那么显然两个视图或是两个角度上的投影即可。如果物体的复杂度增加，那么情况就不同了，如图7.33所示。图中8个点以不同的形式位于正方形网格中，但若仅从水平和垂直方向上得到完全相同的视图或投影上来看，这三个物体似乎完全相同；显然这时只需要在对角线方向增加一个视图．就可以将三个物体分开。因此我们期望在物体的复杂度与所需要的投影图数目之间存在某种关系，通常可以证明：图7.33由8个点组成的三个物体在不同视解得到的投影图迭代重组法(1)任何物体可由其投影图的连续集合来完整表示。(2)在每个投影图中包含有与物体相关的信息。如果使用平行线束扫描物体的圆截面并进行采样(图7.22)，则每个投影图上的采样点数Ns为式中，2a为圆形物体的直径，d为步进间距。这时考虑视角数Nφ：

采集时只需要将探测器旋转达到180°即可，大于180°的旋转仅仅是对原先保存的图像进行复制。将旋转角△φ调整到与物体周长的线性变化一致，即等于d，由式(7.38)和式(7.39)可以得到总的数据点数N：图7.22迭代重组法=？2=？3=？4=？迭代重组法算法思想目标：求解四个μ值。迭代重组法323243210000432164-22Guess1Guess0Guess2ErrorError迭代重组法算法思想迭代重组法

例：为了说明迭代重建算法，图7.34(a)画出了一个由9个点像素组成的物体(圆圈内)，已知它在四个方向的投影数(每个方向3个数)，而9个点的实际线性衰减系数(待求)尽管已列于小方格内，但测量者并不知道!迭代重组法

假定权重因数wij均为1，按顺时针方向分别进行处理，第一组线性衰减系数值分别由水平方向投影值除以像素点数3后得到，并将此结果作为第一个预测值，如图7.34(b)，但预测值在垂直方向上对各值求和得到的结果显然与投影值不符；于是将垂直方向误差平均(即误差除以3)后分配到垂直列的各点中即各点加(误差值偏小列)或减(误差值偏大列)误差，使其和投影值相符，这样就在垂直方向上，做了修正，如图7.34(c)。在两对角线上也重复此修正过程，从而完成第一次迭代。可以看出，第一次迭代结束后结果就已经与原线性衰减系数值非常接近了，但仍不完全相等。在迭代过程中误差由第一步的1.4减小到第四步的0.5，继续迭代最终可达到所要求的精度。滤波反投影法5.2.4滤波反投影法(FilteredBackProjection)

前面(5.2.1节)我们看到，仅由反投影方法获得的被测物体的影像是很模糊的，物体的各个点被星状斑纹所取代。斑纹上的辐射量根据它到几何中心距离的增大而减小。此斑纹，即点分布函数(pointspreadfunction，PSF)，使影像的质量严重下降因而在医学成像中无法应用。但由于点分布函数