结构力学课件-结构稳定计算

第十二章结构的稳定计算§12-2两类稳定问题计算简例§12-1两类稳定问题概述§12-3有限自由度体系的稳定——静力法和能量法§12-4无限自由度体系的稳定——静力法§12-5无限自由度体系的稳定——能量法1前面的各个章节讨论了各类结构在外因作用下内力和位移的计算方法。在结构设计中内力计算要确定结构是否有足够的强度，位移计算要确定结构是否有足够的刚度。工程设计的实践证明，在不少情况下，仅以以上两种计算，来判断结构的可靠性是不够的。对于由柔性杆件和压弯杆件所组成的结构，例如，梁、桁架、拱、薄壁结构等，尤其如此。即是说：结构可能强度安全但是稳定不安全。从现在的结构设计的发展趋势看，趋向于轻质的大跨形式(近代工程的优化设计)，对结构的稳定性要求非常严格，结构设计必须考虑三个方面：强度、刚度和稳定。§12-1两类稳定问题概述在材料力学课中大家已经对“压杆的稳定问题”进行过讨论，在此，我们对杆件结构的各种稳定问题作进一步的讨论。在结构设计中，应当对结构进行强度验算和稳定验算。强度验算是最基本的必不可少的，而稳定验算则是在某些情况下显得重要。如薄壁结构(与厚壁结构相比)、高强度材料的结构(与低强度材料的结构－砖石结构、混凝土结构相比)、主要受压的结构(与主要受拉的结构相比)容易丧失稳定，稳定验算对这些结构显得更为重要。一、结构的三种平衡状态结构的三种平衡状态(从稳定性角度考察)：稳定平衡状态、不稳定平衡状态和中性平衡状态。解释：设结构处于某个平衡状态，受到轻微干扰而稍微偏离其原来位置。1、稳定平衡状态：当干扰消失后，如结构回到原来位置，则原来的平衡状态称为稳定平衡状态。2、不稳定平衡状态：当干扰消失后，结构继续偏离，不能回到原来位置，则原来的平衡状态称为不稳定平衡状态。3、中性平衡状态：结构由稳定平衡到不稳定平衡过渡的状态称为中性平衡状态。三种不同的平衡状态：稳定平衡状态、不稳定平衡状态和中性平衡状态。二、结构稳定计算理论1、小挠度理论采用小挠度理论计算可以用比较简单的方法得到基本正确的结论。工程上通常采用小挠度理论进行计算。2、大挠度理论大挠度理论是比较复杂的理论，利用其计算可以得到更为精确的结论。但是，计算的难度相当大，用到比较高深的数学知识。三、结构的失稳结构失稳：随着荷载的增大，结构的原始平衡状态可能由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态。这时原始平衡状态丧失其稳定性，简称失稳。失稳的两种基本形式：分支点失稳、极值点失稳。1、分支点失稳(1)基本情况：图a所示的简支压杆的完善体系(理想体系)，杆件轴线是理想的直线(没有初曲率)，荷载FP是理想的中心受压荷载(没有偏心)。(a)FPl/2l/2(2)P-曲线随着P的逐渐增大，P与中间点挠度的关系曲线称为P-曲线(平衡路径)。见图(b)(3)过程分析当FP1<FPcr=2EI/l2时，压杆只是单纯受压。不发生弯曲变形(挠度=0)，压杆处于直线形式的平衡状态(称为原始平衡状态)。其FP-曲线用直线OAB表示，称为原始平衡路径。(b)FPCBAODDI(稳定)II(小挠度理论)II(大挠度理论)I(不稳定)FP1FP2FPcr此时，若压杆受到轻微干扰而发生弯曲，偏离原始平衡状态，则当干扰消失后，压杆仍又回到原始平衡状态。故，当FP1<FPcr时，原始平衡状态是稳定的。亦即是说，在原始平衡路径I，点A所对应的平衡状态是稳定的。这时，原始平衡形式是唯一的平衡形式。当FP2>FPcr=2EI/l2时，原始的平衡形式不再是唯一的平衡形式，压杆既可处于直线形式的平衡状态，还可处于弯曲形式的平衡状态。亦即是说：这时存在两种形式的平衡状态。与此相应，在图b中有两条不同的FP-曲线：原始平衡路径I(BC)和第二条平衡路径II(根据大挠度理论，由曲线BD表示；如果采用小挠度理论进行近似计算，则曲线BD退化为水平直线BD)。(b)FPCBAODDI(稳定)II(小挠度理论)II(大挠度理论)I(不稳定)FP1FP2FPcr可以看出：这时原始平衡状态(C点)是不稳定的。即：若压杆受到干扰而弯曲，则当干扰消失后，压杆并不能回到C点的原始平衡状态，而是继续弯曲，直到D点对应的弯曲形式的平衡状态为止。所以，当FP2>FPcr=2EI/l2时，在原始的平衡路径I上，点C对应的平衡状态是不稳定的。(b)FPCBAODDI(稳定)II(小挠度理论)II(大挠度理论)I(不稳定)FP1FP2FPcr分支点：两条平衡路径I和II的交点称为分支点。分支点的意义：分支点B将原始平衡路径I分为两段：OB段上的点属于稳定平衡。BC段上的点属于不稳定平衡。(4)分支点即：在分支点B上原始平衡路径I和新平衡路径II同时并存，出现平衡形式的二重性，原始平衡路径I由稳定平衡转为不稳定平衡，出现稳定性的转变。分支点失稳：具有原始平衡路径由稳定平衡转为不稳定平衡特征的失稳形式称为分支点失稳。临界荷载和临界状态：分支点对应的荷载称为临界荷载，分支点对应的状态称为临界状态。(5)分支点失稳现象举例(见下图a、b、c)特征：在分支点P=Pcr处，原始平衡形式由稳定转为不稳定，并出现新的平衡形式。(c)FPcr(a)承受结点荷载的门式刚架：在原始平衡形式中，各柱单纯受压，刚架无弯曲变形；在新的平衡形式中，刚架产生侧移，出现弯曲变形。(a)FPcrFPcr(b)qcr(b)承受水压力的圆拱，在原始平衡形式中，拱单纯受压，拱轴保持为圆形；在新的平衡形式中，拱轴不再保持为圆形，出现压弯组合变形。(c)端部受荷载作用的悬臂窄条梁，在原始平衡形式中，梁处于平面弯曲状态；在新的平衡形式中，梁处于斜弯曲和扭转状态。2、极值点失稳(1)基本情况：非完善体系。压杆具有初曲率和承受偏心荷载(图a、b)。(a)FP(b)FPFPB(极值点)FPeACFPcrO(c)非完善压杆从一开始加载就处于弯曲平衡状态。(2)FP-曲线小挠度理论：其FP-曲线见图c的曲线OA。初始阶段挠度增加较慢，以后逐渐变快，当FP接近中心压杆的欧拉临界荷载FPe时，挠度趋于无穷大。

按大挠度理论：其FP-曲线见图c的曲线OBC。(3)极值点和极值点失稳B点为极值点，在极值点荷载达到极大值。在极值点前的曲线段OB，其平衡状态是稳定的；在极值点后的曲线段BC，其相应的荷载反而下降，平衡状态是不稳定的；在极值点处，平衡路径由稳定平衡转变为不稳定平衡。FPB(极值点)FPeACFPcrO(c)极值点失稳：在极值点处，平衡路径由稳定平衡转变为不稳定平衡的失稳形式称为极值点失稳。极值点失稳的特征：平衡形式不会出现分支现象，而其FP-曲线具有极值点。一般说来，非完善体系的失稳形式是极值点失稳。(4)特例扁拱式结构失稳时可能伴随有“跳跃”现象。图a所示的扁桁架，矢高为f，高跨比f/l<<1。在跨度中点作用竖向荷载FP，产生竖向位移。其FP-曲线如图b所示。(a)FPl/2l/2f(b)FPABCEDFGFPcr-FPcr(c)ffffA点FP=0FPcrB点FP=0FP=0C点E点F点D点FPcrFPcr(b)FPABCEDFGFPcr-FPcr这里我们设想通过一个控制机构进行加载，FP值可为正值或负值(图c)。初始阶段，平衡路径由图b中的实线AB表示，平衡状态是稳定的，在A点，FPA=0，在B点荷载极值为FPB=FPcr。(c)ffffA点FP=0FPcrB点FP=0FP=0C点E点F点D点FPcrFPcr(b)FPABCEDFGFPcr-FPcr极值点B以后，平衡路径由虚线BCD表示，荷载的代数值减少，C点的FPC=0，在D点出现下极限点，FPD=-FPcr。BCD线上的点对应于不稳定平衡。下极限点D以后，荷载的代数值又上升，E点的FPE=0，F点的FPF=FPcr。若无控制机构，则实际的FP-曲线应为ABFG，在极值点B以后有一段水平线BF，结构发生跳跃后，达到F点对应的新平衡位置。F点以后的平衡路径FG又属于稳定平衡。在本例中，通过人为控制进行加载，解释了扁桁架在荷载FP的作用下，由稳定平衡状态到新的稳定平衡状态的跳跃现象。目的是告诉我们，实际工程结构一般不允许发生跳跃，应取极值点B相应的荷载为临界荷载。§12-2两类稳定问题计算简例主要内容：(1)用单自由度体系说明两类失稳问题的具体分析方法；(2)分析完善体系的分支点失稳问题；(3)分析非完善体系的极值点失稳问题；(4)用大挠度理论得出精确结果；(5)用小挠度理论得出近似结果。一、单自由度完善体系的分支点失稳基本情况：单自由度完善体系。图a所示的刚性压杆，承受中心压力FP，底端A为铰支座，顶端B有水平弹簧支承，其刚度系数为k。(1)按大挠度理论分析原始平衡形式(图a)：杆AB处于竖直位置时，体系能够处于平衡。(a)kBFPlA(b)BFPABFRl问题：考察图b所示的倾斜位置是否还存在新的平衡形式。图b状态的平衡条件：MA=0(a)式中，弹簧的反力FR为：即可得出：(b)方程(b)有两个解：(c)(d)(b)BFPABFRl(c)解代表原始平衡形式，其FP-曲线由直线OAB表示，称为原始平衡路径I；(d)解代表新的平衡形式，其FP-曲线由曲线AC表示，此即为第二平衡路径II。ABI(不稳定)II(不稳定)I(稳定)OCFPcr=klFP讨论分支点：A点是两条路径的交点。A点所对应荷载称为临界荷载。临界荷载为：(e)A点将原始平衡路径I分为两段：OA上的点属于稳定平衡，AB上的点属于不稳定平衡。第二路径II，当增大时，荷载反而减小；路径II上的点属于不稳定平衡。分支点A处的临界平衡状态也是不稳定的。ABI(不稳定)II(不稳定)I(稳定)OCFPcr=klFP注意：对这类具有不稳定分支点的完善体系，在进行稳定验算时要特别小心，一般应当考虑初始缺陷(初曲率、偏心)的影响，按非完善体系进行验算。(2)按小挠度理论分析设<<1，则式(a)、(b)简化为(f)(g)其第一个解仍为式(c)，第二个解为：分析：两条平衡路径I和II如右图所示。(h)ABI(不稳定)II(随遇平衡)I(稳定)OCFPcr=klFP与大挠度理论分析的结果比较可以看出：小挠度理论能够得出临界荷载的正确结果[见式(e)]，但是未能反映当较大时平衡路径II的下降趋势；而平衡路径II对应于随遇平衡状态的结论，则是由于采用假定而带来的一种假象。路径II简化为水平直线，因而路径II上的点对应随遇平衡状态。二、单自由度非完善体系的极值点失稳基本情况：图a所示的单自由度非完善体系，杆AB有初倾角，其余同前。(a)kBFPlA(b)BFPABFRl(1)按大挠度理论分析加载一开始，杆件就进一步倾斜，见图b。弹簧的反力为：平衡条件为：MA=0可求得：(i)讨论不同初倾角时的FP-曲线(图a)。其中=0为完善体系。观察FP-曲线，其具有极值点。(a)=0.1=0=0=0.1=0.2=0.2令，得：相应的极值荷载为(j)其FPcr-曲线见图b。(b)0.6950.5360.4150.30.20.10分析可知：这个非完善体系的失稳形式是极值点失稳。临界荷载FPcr随初倾角而变，越大，则FPcr越小。(k)(l)右图给出FP-曲线。设：<<1，<<1，则式(i)和(j)简化为：=0=0.1=0.2=010.80.60.40.200.40.81.21.6(2)按小挠度理论分析可知：各条曲线都以水平直线FP/(kl)=1为渐近线，并得出相同的临界荷载值。与大挠度理论的结果相比可知：对于非完善体系，小挠度理论未能得出随着的增大FPcr逐渐减小的结论。三、几点认识(1)结构的失稳存在两种基本形式，一般说来，完善体系是分支点失稳；非完善体系是极值点失稳。(2)分支点失稳的特征是：存在不同平衡路径的交叉，在交叉点处出现平衡形式的二重性。极值点失稳形式的特征：虽然只存在一个平衡路径，但平衡路径上出现极值点。(3)只有根据大挠度理论才能得出结构稳定问题的精确结论，小挠度理论也有其优点(能正确得出分支点失稳问题临界荷载值)，但也应注意它的局限性。特别指出：后面只讨论完善体系分支点失稳问题，并根据小挠度理论求临界荷载。(1)结构的失稳存在两种基本形式，一般说来，完善体系是分支点失稳；非完善体系是极值点失稳。(2)分支点失稳的特征是：存在不同平衡路径的交叉，在交叉点处出现平衡形式的二重性。§12-3有限自由度体系的稳定

——静力法和能量法内容：有限自由度体系分支点失稳问题，按小挠度理论求其临界荷载。确定临界荷载的两类方法：(1)静力法：根据临界状态的静力特征提出的方法；(2)能量法：根据临界状态的能量特征提出的方法。本节以单自由度体系说明以上两种解法。图a的单自由度体系，AB是刚性压杆，A端为弹性支承，转动刚度系数为k。求：临界荷载FPcr。(a)BFPlAk(b)BFPlAMA=kB一、静力法已知：分支点失稳临界状态的静力特征是平衡形式的二重性。要点：寻求分支点，确定临界荷载。分支点：原始平衡路径I和新平衡路径II的交叉点。新的平衡形式：杆AB处于倾斜位置时的新的平衡形式，见图b。新的平衡形式的确定：根据小挠度理论，图b体系的平衡方程为：MA=0(b)BFPlAMA=kB因为弹性支座的反力矩为MA=k，所以由式(a)得：齐次方程有两类解：零解和非零解。零解：=0，对应于原始路径I。非零解：不为零，对应于新的平衡形式。(a)(b)方程(b)是以为未知量的齐次方程。为了得到非零解，方程(b)的系数应为零，即：式(c)称为特征方程。(c)由特征方程可知，第二平衡路径II为水平直线。由两条路径的交点得到分支点，分支点对应的荷载为临界荷载。因此，临界荷载为(d)二、能量法前述图(a)所示的体系，把荷载FP看作重量；体系的势能EP为弹簧应变能U与荷载势能UP之和。由图b可知：(b)BFPlAMA=kB弹簧应变能为注意：是静荷载做功荷载势能为这里为B点的竖向位移：因此有体系的势能为(e)应用势能驻值条件，可得式(f)和式(b)等价，也说是说，势能驻值条件等价于用位移表示的平衡方程。由(f)式可根据位移有非零解的条件导出特征方程(c)，从而求得临界荷载FPcr。综上可知：在分支点失稳问题中，临界状态的能量特征是：势能为驻值，且位移有非零解。能量法是根据临界状态的能量特征求临界荷载的。进一步讨论势能EP由式(e)可以看出：势能EP是位移的二次式，其关系曲线是抛物线。(f)若FP<k/l，刚关系曲线如右图a所示。(e)(a)EPOFP<FPcr当为任意非零值时，势能EP恒为正值，即势能是正定的。当体系处于原始平衡状态(=0)时，势能EP为极小，因而原始平衡状态是稳定平衡状态。若FP=k/l，刚关系曲线如右图b所示。(b)EPOFP=FPcr当为任意非零值时，势能EP恒为零，体系处于中性平衡状态，即临界状态，这时的荷载称为临界荷载，即FPcr=k/l。这个结果与静力法所得的相同。若FP>k/l，则关系曲线如图c所示。当为任意非零值时，势能EP恒为负值，即势能是负定的。当体系处于原始平衡状态时，势能EP为极大，因而原始平衡状态是不稳定平衡状态。(c)EPOFP>FPcr因此，临界状态的的能量特征还可表述为：在荷载达到临界值的前后，势能EP由正定过渡到非正定，对于单自由度体系，则由正定过渡到负定。例12-1-1图a所示是一个具有两个变形自由度的体系，其中AB、BC、CD各杆为刚性杆，在铰结点B和C处为弹性支承，其刚度系数都为k。体系在D端有压力FP作用。试用两种方法求其临界荷载FPcr。例12-1-1图a所示是一个具有两个变形自由度的体系，其中AB、BC、CD各杆为刚性杆，在铰结点B和C处为弹性支承，其刚度系数都为k。体系在D端有压力FP作用。试用两种方法求其临界荷载FPcr。(a)ABCDFPlllkk(b)ABCDFPFxABCDy1y2FR2FR1FyAFyD解：(1)静力法设体系由原始平衡状态(水平位置)转到任意变形状态(图b)，设B点和C点的竖向位移分别为y1和y2，相应的支座反力分别为同时，A点和D点的支座反力为注：对B'点左侧取矩求FyA；对C'点右侧取矩求FyD变形状态的平衡条件为(C左)(B右)即(a)式(a)是关于y1和y2的齐次方程。如果系数行列式不等于零，即则零解(即y1和y2全为零)是齐次方程(a)的唯一解。也就是说，原始平衡形式是唯一的平衡形式。(b)ABCDFPFxABCDy1y2FR2FR1FyAFyD如果系数行列式等于零，即(b)则除零解外，齐次方程(a)还有非零解。也就是说，除原始平衡形式外，体系还存在新的平衡形式。这样，平衡形式即具有二重性，这就是体系处于临界状态的静力特征。方程(b)就是稳定问题的特征方程。展开式(b)，得由此解得两个特征值：其中最小的特征值叫做临界荷载，即将特征值代回式(a)，可得y1和y2的比值。这时位移y1、y2组成的向量称为特征向量。如将FP=kl/3代回，则得y1=-y2，相应的变形曲线如下图a所示。如将FP=kl代回，则得y1=y2，相应的变形曲线如下图b所示。(a)y1FP=kl/3y2=-y1(b)y1FP=kly2=y1(2)能量法讨论临界荷载的能量特征。图b中D点的水平位移为(b)ABCDFPFxABCDy1y2FR2FR1FyAFyD(c)弹性支座的应变能为(d)荷载势能为(e)体系的势能为(f)即应用势能驻值条件：得：(g)式(g)就是前面导出的式(a)。势能驻值条件等价于用位移表示的平衡方程。能量法求多自由度体系临界荷载FPcr的步骤：(1)写出势能表达式，建立势能驻值条件。(2)应用位移有非零解的条件，得出特征方程，求出荷载的特征值FPi(i=1、2、…、n)。(3)在FPi中选取最小值，即得到临界荷载FPcr。定性讨论：式(f)可改写为可见，势能EP是位移y1和y2的二次式。

下面针对不同的FP值，分别说明势能EP的特征。若FP<kl/3，势能EP是正定的；若FP=kl/3=FPcr，EP是半正定的(y1=-y2时，EP=0)；若kl/3<FP<kl，EP是不定的；若FP=kl，势能EP是半负定的(y1=y2时，EP=0)；若FP>kl，则势能EP是负定的。例12-1-2

用静力法分析图示结构，求临界荷载。FPEI1=aEIahABDC(a)EIFPABDC(b)BB'FP(c)BFP解：设体系转到任意变形状态(图b)。由得设A点转角为，则有，隔离体受力图见图c。非零解为：即：注意：灵活运用以下情况的转动刚度计算公式。a)

SAB=4ib)

SAB=3id)

SAB=0c)

SAB=iSABiABSABiABSABiABSABiAB其中：A端为近端，B端为远端，。例12-1-3

用能量法求图示结构的临界荷载FPcr。解：设体系转到任意变形状态(图b)。FPEI1=EIhABC(a)EA=DFPABC(b)BxB'D'DDy

ByFP(c)BFN设A点转角为，则有，。隔离体受力图见图c。FP(c)BFN(d)Dx

=BxFN由图d可知：支杆的弹性应变能为：荷载势能为：因此，总势能为：应用势能驻值条件：得：故临界荷载为：例12-1-4设各杆I=，弹性铰相对转动刚度系数为k，见图a。试求其临界荷载FPcr。(a)ABCDFPlllkk(b)ADFPFxABCDy1y2FyAFyDkk12解：(1)

静力法新平衡位置见图b。设B、C点竖向位移分别为y1和y2，则支座反力为(b)ADFPFxABCDy1y2FyAFyDkk12由图b可得：AFPBk1FPCDFPk2对AB'隔离体图，由可得：对C'D'隔离体图，由可得：联立①、②式可得关于y1、y2的齐次方程：其特征方程为：即：所以：(b)ADFPFxABCDy1y2FyAFyDkk12解：(2)

能量法讨论临界荷载的能量特征。图b中D点的水平位移为弹性铰的应变能为荷载势能为体系的势能为即应用势能驻值条件：得：与用静力法计算的结果相同。其特征方程为：整理后得：§12-4无限自由度体系的稳定

——静力法注意：无限自由度体系，其平衡方程是微分方程。一、方法例题(2)受力分析与平衡方程的建立临界状态下，体系出现新的平衡形式(图中虚线)，柱顶水平反力FR，弹性曲线的微分方程为EIlFP(1)基本情况：图示等截面压杆，用静力法求临界荷载。xFRyyy<0xEIlFPxFRyyy<0x(3)微分方程的解上式可改写为材料力学知识方程的解为：常数A、B和反力FR可由边界条件确定。(4)确定常数A、B，建立特征方程当x=0时，y=0，可得A=0。当x=l时，y=0和y'=0，由此得出：(a)因为y(x)不恒等于零，所以A、B和FR不全为零。可知，式(a)中的系数行列式应等于零，即：展开行列式可得超越方程：可用试算法或图解法求解该超越方程。(5)本题采用图解法求解，作y=l和y=tgl两组线，其交点即为方程的解答，可知有无穷多个解。如何选解？因弹性杆有无限个自由度，所以有无穷多个特征荷载值，其中最小的一个是临界荷载FPcr(利用FP=2EI来求)。由(l)min=4.493，可求得二、例题例12-4-1

下页图所示等截面压杆，试用静力法求其临界荷载。EIlFPxFRyyx解：(1)

受力分析与平衡方程的建立在临界状态下，体系出现新的平衡形式(图中虚线)。弹性曲线的微分方程为(2)微分方程的解上式可改写为这是一个二阶常系数线性齐次微分方程。其通解为：FR=0常数A、B可由边界条件确定。(3)确定常数A、B，建立特征方程当x=0时，y=0，可得：A=0。当x=l时，y=0，可得：Bsinl=0因为y(x)不恒等于零，故A、B不全为零。所以有sinl=0计算可得：l=n(n=1、2、…)由此得当n=1时有两端铰支、细长压杆的临界荷载公式，即欧拉公式。例12-4-2

求排架的临界荷载和柱AB的计算长度。(a)BFP刚性杆I1lACI2=nI1D(c)BAFPcryyI1xy<0xFR在临界状态下，杆AB的变形如图c所示，这时在柱顶处有未知的水平力FR，弹性曲线的微分方程为解：图b所示为此排架的计算简图。这里，柱AB在B点具有弹性支座，它反映柱CD所起的支承作用，弹性支座的刚度系数为：。(b)BAFPk可改写为上式的解为求导可得常数A、B和未知力FR可由边界条件确定。当x=0时，y=0，由此求得A=0。当x=l时，y=和y=0，有：由于FR=k，即=FR/k，所以上式变为因为y(x)不恒等于零，所以A、B和FR不全为零。可知上式的系数行列式应等于零，即：展开上式得利用FP=2EI1并化简，得到如下的超越方程(a)下面讨论给定三种k值(即给出I1/I2的比值)的解：(1)

I2=0，则k=0，这时方程(a)变为当EI1为有限值时，因为，若EI1为有限值则也为有限值，即l，所以这个方程的最小根为因此悬臂柱，计算长度(与两端铰支的细长压杆对比)为l0=2l。(2)

I2=，则k=，这时方程(a)变为这个方程的最小根为因此相当于上端铰支、下端固定的情况，计算长度为l0=0.7l。(3)一般情况是k在0~的范围内，l在/2~4.493范围内变化。当I2=I1时，则。方程(a)变为下面用试算法求解。先将上式表示为如下形式：当l=2.4时，tgl=-0.916，D=1.192当l=2.0时，tgl=-2.185，D=-1.518当l=2.2时，tgl=-1.374，D=-0.025当l=2.21时，tgl=-1.345，D0由此求得l=2.21，因此所以，当I2=I1时，计算长度为l0=1.42l。§12-5无限自由度体系的稳定

——能量法解题思路：(1)对于满足位移边界条件的任一可能位移状态，可求得势能EP；(2)由势能的驻值条件EP=0，可得包含待定参数的齐次方程组；(3)由齐次方程组非零解条件，知其系数行列式的值应为零，由此可求得特征荷载值，临界荷载FPcr是特征值中的最小值。具体算法以下页图a所示压杆为例说明。(a)FPlBAxydx设压杆有任意可能位移，变形曲线为(a)其中i(x)是满足位移边界条件的已知