结构动力学之结构稳定计算

第八讲结构的稳定计算工程学院海洋工程系刘臻结构动力学结构的平衡状态

从稳定性角度考虑，平衡状态具有三种情况：（1）稳定平衡状态；（2）不稳定平衡状态；（3）中性平衡状态；结构的平衡状态

假设结构原来处于某个平衡状态，后来由于受到轻微扰动而稍微偏离原来位置。当干扰消失后1）若结构能够回到原来的平衡位置，

则原来的平衡状态成为稳定平衡状态。2）若结构继续偏离，不能够回到原来的平衡位置，

则原来的平衡状态成为不稳定平衡状态。3）结构由稳定平衡过渡到不稳定平衡的中间状态

则为中性平衡状态。稳定计算的两类问题

研究稳定问题是考虑变形后的状态来进行分析的，分析时有大变形和小变形两种理论。

稳定是指对结构施加一微小干扰，使其离开初始位置，当干扰力撤去以后，结构能恢复到原来的平衡位置。反之，若干扰力撤去以后不能回到原来的位置，则称结构失稳。

工程中通常有两类失稳问题，即第一类稳定问题和第二类稳定问题。对于没有缺陷的完善体系，属于第一类失稳问题；对于存在初弯曲或初偏心等缺陷的结构，其失稳时一般遵循第二类稳定问题的规律。中心压杆的荷载位移曲线第一类稳定问题（分支点失稳）特征：当荷载小于临界荷载时，结构无初始位移，受到干扰力作用时，变形可恢复；当荷载大于临界荷载时，结构受到一微小干扰就会突然产生较大的侧移而失稳。

Pcr称为临界荷载，它对应的状态称为临界状态，因为B点为稳定平衡与不稳定平衡的分支点，所以Pcr又称为分支荷载，又由于结构破坏的突然性，Pcr又称屈曲荷载。ABP<PcrP>PcrBAΔmB`不稳定平衡稳定平衡

压杆和梁等结构屈曲后所承担的荷载可略有增加，但由于变形迅速增大，故不考虑此部分承载力。P2POP1DΔPcrD'CAB稳定不稳定小挠度大挠度

第二类稳定问题应按大挠度理论建立应力应变关系，并且在荷载达到临界值之前，结构部分进入塑性状态，不在讨论之列。第二类稳定问题（极值点失稳）特征：结构受力开始就有变形，当力大于Pcr时，结构变形发展很快，在此过程中无突然变化，但是由于变形的增大或材料的应力超出许可值导致结构不能工作。

偏心受压杆及荷载--位移曲线(a)偏心受压杆ΔPePPPOPe(b)荷载——位移曲线（P—Δ

曲线）ΔPcrCAB稳定验算与强度验算区别稳定验算强度验算目的防止出现不稳定的平衡状态保证结构的实际最大应力不超过相应的强度指标内容研究结构同时存在的两种本质不同的平衡状态的最小荷载值，即临界荷载求解结构在荷载下的内力问题分析方法根据结构变形后的状态建立平衡方程求临界荷载采用未变形前的状态建立平衡方程及变形协调条件求内力实质是变形问题是应力问题结构的稳定计算

以下图所示单自由度体系为例研究

时，体系处于稳定平衡状态时，体系处于不稳定平衡状态lABP<Pcr（a）Lsinθθ（b）P>Pcrkθθ静力法结构变形后的平衡状态如图（b），由B点平衡得：方程有两解：1、当时，稳定平衡不稳定平衡随遇平衡按大挠度理论分析Lsinθθ（b）P>PcrθkθBAkθθP<kθ/l（a）θlsinθHdH’d稳定平衡不稳定平衡为求Pθ最大值，令即代入时式（1）可以得到：不考虑分枝点后P的增加，则时2、随遇平衡不稳定平衡稳定平衡PcrDABCPθO(1)因此，按大挠度理论分析

θ可以为任意值，即结构处于随意平衡状态。大小挠度理论求出的分枝点荷载临界值是相同的，但是失稳后的承载能力结论是不同的。按小挠度理论分析1、P为任意值，即无外界干扰时，结构无挠度，不会失稳。即有外界干扰时，结构失稳时的临界荷载为：2、由小挠度理论：平衡方程可以简化为：随遇平衡CABPθOPcr能量法求图示结构的临界荷载.PlkyP解:应变能外力势能结构势能由势能驻值原理得临界荷载无限自由度体系的稳定静力法无限自由度体系的典型代表：压杆稳定问题静力法解题思路：1）先对变形状态建立平衡方程；2）根据平衡形式的二重性建立特征方程；3）由特征方程求出临界荷载无限自由度体系的平衡方程为微分方程而不是代数方程，是区别于有限自由度体系的不同点无限自由度体系的稳定静力法pcryxxppcrM(x)yRl-x无限自由度体系的稳定静力法左式为“超越方程”解“超越方程”的两种方法：1、逐步逼近法（试算法）：2、图解法：

以l为自变量，分别绘出z=l和z=tgl的图形，求大于零的第一个交点，确定l。无限自由度体系的稳定静力法例14-1试求图示结构的临界荷载yxxpcrpcrM(x)yp无限自由度体系的稳定静力法无限自由度体系的稳定静力法（另法）试求图示结构的临界荷载yxxpcrpM(x)xy能量法（一）用能量原理建立的能量准则（适用于单自由度体系）2、解题思路1、三种平衡状态（1）稳定平衡：偏离平衡位置，总势能增加。（2）不稳定平衡：偏离平衡位置，总势能减少。（3）随遇平衡：偏离平衡位置，总势能不变。图1图2图3（1）当外力为保守力系时（2）当体系偏离平衡位置，发生微小移动时（3）直杆稳定（刚性杆）能量法能量法计算公式（单杆）xy（二）用势能原理建立的能量准则（适用于多自由度体系）设弹性曲线为多参数曲线：

依“势能驻值原理”：临界状态下真实的变形曲线应使体系的总势能为驻值。得：无限自由度体系的稳定

能量法

这就是计算临界荷载的特征方程，其展开式是关于P的n次线性方程组，可求出n个根，由最小根可确定临界荷载。得：令：简写为：无限自由度体系的稳定能量法弹性支承等截面直杆的稳定计算具有弹性支承的压杆的稳定问题。一般情况下有四类ΔMA=kθθABPcrxxyyEIPcrBxkΔlyxyΔEIMA=kθθAPcrxyyRBEIyθPcrBxkΔΔAEI一端固定、一端为弹性支座PcrBxkΔlyxyΔEI由边界条件：x=0处，y=y'=0；x=l处，y=Δ。得到：ΔMA=kθθABPcrxxyyEI一端自由、另一端为弹性抗转支座边界条件：平衡方程：稳定方程：一端铰支、另一端为弹性抗转支座边界条件：平衡方程：稳定方程：MA=kθθAPcrxyyRBEI一端铰支、另一端为弹性支座yθPcrBxkΔΔAEI考虑在小变形情况下，取sinθ=θ、cosθ=1，上式改写为弹簧的支反力临界荷载：

补充例题（1）试求图示结