等腰三角形性质与判定

几何证明举例等腰三角形的性质与判定1.如图，在△ABC中，（1）如果AB=AC，可得

,（2）如果∠B=∠C，可得

,∠B=∠CAB=AC预习检测☞2.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是

；3.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是

。4.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为_______。

ABC10cm或11cm19cm35°，35°1.进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。2.能用“公理”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。学习目标4.这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？1.我们学习了证明的相关知识，你还记得我们依据哪些基本事实，证明了哪些定理？你能说出来吗？

回顾与思考☞2.我们已经学习过等腰三角形，我们来回忆一下下列几个问题：(1)什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）(2)等腰三角形有哪些性质？等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（等腰三角形的三线合一）。3.上述性质你是怎么得到的？轴对称的性质合作与探究证明：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）已知：如图,在△ABC中,AB=AC.求证：∠B=∠C分析：常见辅助线做法（1）作顶角的平分线（2）作底边上的中线；ABCD12证明：等腰三角形的两个底角相等已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．求证：∠B＝∠C．ABCD怎么想怎么写要证∠B＝∠C．

只需证△ABD≌△ACD只需有 AB＝AC

∠

BAD＝

∠CADAD＝AD合作与探究证明：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D

D根据以上证明，我们还可以得到什么结论？结论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。ＡＢＣ已知：求证：△ABC中，AB＝AC∠Ｂ＝∠Ｃ即得到AD⊥BC和BD=CD

AB=AC(已知) ∠BAD=∠CAD(已证) AD=AD(公共边)∴△BAD≌△CAD(SAS)∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)∴∠BAD=∠CAD(角平分线定义)在△BAD与△CAD中∵ＡＢＣ已知：△ABC中，AB＝AC求证：∠Ｂ＝∠Ｃ证明：作BC边上的中线

AD

D

AB=AC(已知) BD=CD（已证）

AD=AD(公共边)∴△BAD≌△CAD(SSS)∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)∴BD=CD(中线定义)∵在△BAD与△CAD中即得到∠BAD=∠CAD和AD⊥BC根据以上证明，我们还可以得到什么结论？等腰三角形底边上的中线平分顶角并且垂直于底边。CBA等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等。在△ABC中，∵AC=AB（

）∴∠B=∠C(

）已知等边对等角通过证明我们发现:等腰三角形的两个底角相等是真命题。可以作为证明其他命题的依据。符号表示：通过证明我们不仅发现等要三角形的两底角相等成立，而且还得到如下结论也是成立的成立的。等腰三角形的顶角平分线﹑底边上的中线﹑底边上的高互相重合(简称“三线合一”).交流与发现这个结论是真命题，我们把它作为证明其他命题的依据，并且把它叫做等腰三角形的性质定理！ACBDACBD∥∥⑵∵AB=AC,图⑵图⑶∟12∥ACBD12性质定理2：等腰三角形的顶角平分线﹑底边上的中线﹑底边上的高互相重合(简称“三线合一”).∟符号语言⑴∵AB=AC,∴AD⊥BC,BD=CD.∠1=∠2,∴AD⊥BCBD=CD,∠1=∠2.⑶∵AB=AC,AD⊥BC∴BD=CD,∠1=∠2.图⑴∟∥12

写出“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题，如何证明这个逆命题是正确的？要求：（1）写出它的逆命题：＿＿＿＿＿＿。（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。

交流与发现如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.

(简称“等角对等边”).ABC求证：AB=AC.已知：如图,在△ABC中,∠B=∠C.D证明：作AD⊥BC,垂足为D,∠ADB=∠ADC=90°(已证)，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(AAS)∠B=∠C(已知)，AD=AD(公共边)，∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)∟如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称等角对等边）则∠ADB=∠ADC=90等腰三角形的判定定理:如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称等角对等边）CBA符号表示：在△ABC中，∵∠B=∠C

（

）∴AC=AB(等角对等边）已知例题解析例1.已知：如图：∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC.求证：AB=AC.ABCDE证明：（已知）（角平分线定义）（已知）（二直线平行，同位角相等）（二直线平行，内错角相等）（等量代换）（等角对等边）例2.求证：等边三角形的每个内角都等于60°.ABC证明：（已知）（等要三角形的两个底角相等）（等式的性质）（三角形的内角和定理）（等量代换）（等式的性质）

如果一个三角形的每个内角都等于600，那么这个三角形是等边三角形。

等边三角形判定定理：如果一个三角形的两个内角都等于600，那么这个三角形是等边三角形。逆命题是真命题：逆命题减少一个等于600角后,仍然是真命题.交流与探索

思考：等边三角形的每个内角都等于600的逆命题是什么？这个逆命题是真命题吗？你能把这个逆命题的条件适当减少,使它仍然是真命题吗？练习CBAD（1）名称图形概念性质与边角关系

判定

等腰三角形ABC有两边相等的三角形是等腰三角形。2.等边对等角,3.三线合一。4.是轴对称图形.2.等角对等边,1.两边相等。1.两腰相等.小结小结

在等腰三角形中，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高是常用的辅助线，通过添画辅助线，把一个等腰三角形分成一对全等三角形。等腰三角形的性质定理是一个三角形中由两边相等证明两角相等的依据；等腰三角形的判定定理，是一个由两角相等证明两边相等的依据。证明中常用的一种思考方法：从需要证明的结论出发，逆推出要使结论成立所需要的条件，再把这样的“条件”看作“结论”，一步一步逆推，直至归结为已知条件。等边三角形的性质定理：等边三角形的每个内角都等于600.等腰三角形的判定方法有下列几种：