2023年初三数学圆知识点总结与典型习题精练

圆一)【圆的定义及与圆相关的定义】ﻫ在一个平面内,一条线段

OA

绕着它固定的一个端点

O

旋转一周，另一个端点

A

所形成的图形叫做圆。固定的端点

O

叫做圆心，这个线段

OA

叫做半径,以点

O

为圆心的圆,记作

,读作“圆

O

”。圆是轴对称图形,任何一条过圆心的直线都是它的对称轴。如图，将半径为１的圆的边上的A点与数轴的原点重合，然后沿着数轴向右滚动，滚动一周得到点A′，则点A′表达的数为__＿＿_．弦:连接圆上任意两点间的线段叫做弦,通过圆心的弦叫做直径。弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。弧用符号“⌒”表达。二）【圆的拟定】三)【垂径定理及其应用】1.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论１:（1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（２)弦的垂直平分线通过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论２：圆的两条平行弦所夹的弧相等2.对于一个圆和一条直线，假如具有下列五个条件中的任意两个,那么一定具有其他三个：

（1）过圆心；

（2）垂直于弦;

(3)平分弦（直径)；

（4)平分弦所对的劣弧;

(5)平分弦所对的优弧，简记为“知二推三”。3.在垂径定理的运用中，常涉及弦长a、弦心距d(圆心到弦的距离）、半径ｒ及弓形高h(弦所对的弧的中点到弦中点的距离)这四者的关系，它们的关系为r2=d2+(a/2)2，r=ｄ+h。例2:如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,若∠COD=１2０°，OE=3厘米,则OD=_____:例3:如图，圆弧形桥拱的跨度AB=1２米,拱高ＣD＝4米，则拱桥的半径为(）

Ａ.6.5米B．9米C.13米D．15米例4:

等腰△ABＣ的三个顶点都在⊙O上，底边BC=8ｃｍ,⊙O半径为5cm，求Ｓ△ABC．分为两种情况：如图1，当O在△ＡBC外部时,连接AＯ,交BC于D，连接OB,∵⊙Ｏ是△AＢC的外接圆，ＡＢ＝ＡＣ,∴AＯ⊥ＢC,BD=CＤ＝×8cｍ=4cｍ，在Ｒt△OBＤ中，由勾股定理得：OD=（cm),∴AＤ=AO－OD=5cm-3ｃｍ=2ｃｍ，∴S△ＡBC=×BC×AＤ=×８ｃm×2cm＝8cm2;如图２,当Ｏ在△ＡBC内部时，连接AO，交ＢＣ于Ｄ,连接ＯB，∵ＡＤ=ＡO+OD=5cｍ+3cm=8cm,∴S△ABC=×BC×AD=×8cm×８cm＝32cm２四）【弧、弦、圆心角之间的关系】1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。例5:如图，OA⊥BＣ，∠AOＢ=70°，则∠AＯC的度数为__＿__，∠ＡDC的度数为___＿_．例６：

如图,AB是⊙O的直径,C、D是弧BＥ的两个等分点，∠ＣOＤ＝3５°,则∠ＡOＥ的度数为＿____度.五）【圆周角定理及推论】１、圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论２:半圆（或直径）所对的圆周角是直角;９0°的圆周角所对的弦是直径。推论３：假如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。例7:如图,点Ａ、B、C、D在⊙O上,若∠ＢDＣ=３0°，则∠BAC＝()度．例8:如图,△ＡＢC内接于⊙O，∠C=40°，则∠ABO＝____＿度例９：如图，已知△ABC内接于⊙Ｏ，∠C=45°，ＡB=４,则⊙O的半径为()六）【点和圆的位置关系】设⊙O的半径是r,点P到圆心O的距离为d，则有：

d<ｒ,点P在⊙O内;

ｄ=r,点Ｐ在⊙O上；

d＞r，点P在⊙Ｏ外。例10：在直角三角形ABＣ中，∠C=90°,ＡC=３，AB=5.若以点C为圆心，画一个半径为3的圆，则点A，点B和⊙Ｃ的互相位置关系为（）A.点A，点B均在⊙C内B.点A，点B均在⊙C外Ｃ.点Ａ,点B均在⊙Ｃ上Ｄ．点A在⊙C上,点Ｂ在⊙C外例11:如图,在Rt△ABC中∠ACＢ＝９0°，AＣ=6，CB＝8,ＣD是斜边AB上的中线，以ＡC为直径作⊙O,设线段CＤ的中点为P,则点P与⊙O的位置关系是__＿＿_.七）【直线与圆的位置关系】直线和圆有三种位置关系,具体如下：(1)相交：直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点;（2）相切:直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。假如⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线ｌ与⊙O相交d<r;直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离ｄ>r如何判断直线与圆的关系：方法①方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，运用判别式Δ来讨论位置关系.①Δ>０，直线和圆相交.②Δ=0,直线和圆相切.③Δ<0,直线和圆相离.方法②是几何的观点,即把圆心到直线的距离d和半径Ｒ的大小加以比较.①d<R，直线和圆相交.②ｄ=R,直线和圆相切.③ｄ>R，直线和圆相离．八)【圆和圆的位置关系】1、圆和圆的位置关系假如两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。假如两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种。假如两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3、圆和圆位置关系的性质与鉴定设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,那么两圆外离d>R+r两圆外切d＝R＋ｒ两圆相交R-r＜ｄ<R+r（R≥r)两圆内切d=R-ｒ(R＞r)两圆内含d<R-r(Ｒ>r)4、两圆相切、相交的重要性质假如两圆相切,那么切点一定在连心线上,它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。九)【相交弦定理】1．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点提成的两条线段长的积相等。(通过圆内一点引两条弦，各弦被这点所提成的两段的积相等)。

2.相交弦定理说明:若弦ＡB、CD交于点P,则ＰA·PＢ=PC·PD。例１2:如图，⊙Ｏ中弦AB，CD相交于点P,已知ＡP=３，ＢP=2,CＰ=1,则ＤP＝()例13：

如图点P为弦AB上一点，连接OP，过P作PC⊥PO，ＰC交⊙O于点C,若AＰ=4，PB=2,则PＣ的长为＿＿＿_＿十）【切线及切线长】切线的鉴定和性质1、切线的鉴定定理：通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。２、切线的性质定理：圆的切线垂直于通过切点的半径。在应用鉴定定理时注意：线必须满足两个条件：a、通过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的鉴定定理事实上是从“圆心到直线的距离等于半径时,直线和圆相切”这个结论直接得出来的.③在鉴定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该线段的长等于半径，可简朴的说成“无交点，作垂线段,证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线,可简朴地说成“有交点，作半径，证垂直”。切线长定理1、切线长:在通过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。十一）【三角形的外接圆与外心】三角形的外接圆:通过三角形三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。

三角形的外心是什么:三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心。

三角形的外接圆与外心的性质:

ﻫ(1)三角形的外心到三个顶点的距离相等,等于外接圆的半径；

ﻫ(2)一个三角形有且只有一个外接圆;

ﻫ（3)三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部。例14：如图,⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=60°,则∠ＣAO的度数是＝____＿度例15：如图，⊙O是△ABＣ的外接圆，∠C＝30°，AＢ＝2cｍ，则⊙O的半径为___＿＿＿cm．ﻫ作直径AD,连接ＢD,得:ﻫ∠ABＤ＝90°，∠D＝∠C=30°，∴AＤ＝4,即圆的半径是2．十二）【圆内接四边形】圆内接四边形的定义：假如一个多边形的所有定点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆。

圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。例16:已知如图,在圆内接四边形ＡBＣＤ中,∠Ｂ=30°，则∠Ｄ=_____.例17：

如图,四边形ＡBCＤ内接于⊙O，假如它的一个外角∠DCE=64°,那么∠BOD=（)例1８：如图,已知⊙Ｏ中,∠AOB的度数为80°，C是圆周上一点，则∠ACB的度数为()十三)【正多边形和圆的相关概念】一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形