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§3.4

函数的极值与最值定义3.4.1设f(x)

在区间(a,b)内有定义,都有极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.若存在1).,则称为函数的极大值.2).,则称为函数的极小值.3.4.1函数的极值及其求法xyo1注意

1)函数的极值概念是局部性的2)函数的极值可能有多个3)函数的极大值可能比极小值小4)函数的极值不在端点上取xy2由图所示,函数的极大值为:极小值为:函数的极值在单调区间的分界点处取得.xy3定理3.4.1（极值存在的必要条件）(费尔马定理)设函数在处可导并取得极值,则条件必要而不充分.即驻点未必是极值点.注意例y=x3在

x=0点导数为零，但不是极值点。1）导数不存在的点也可能是函数的极值点.若，称点为函数的驻点.2）极值点只可能在驻点或导数不存在的点取到。4定理3.4.2(极值存在的充分条件)当时,当时,(1)则在处取得极大值.当时,(2)当时,则在处取得极小值.(3)在的邻近两侧不变号,则在处没有极值.在点连续，在的某一邻域内可导（可除外）设函数xy5求函数极值的方法和步骤:(1).求出(2).求使的点(驻点),及使不存在的点;(3).利用定理3.4.2判别所找点是否极值点,并判别极大(小)值.例1.求函数的极值.解.得列表:极大值极小值增减增极大值为:极小值为:6定理3.4.3（充分条件）设函数处具有二阶导数,且在点则当时,为极大值;当时,为极小值.例2.求函数的极值.解:令,得所以有极小值:定理3.4.3失效,用定理3.4.2判断.当时,时,不是极值点当时,时,不是极值点7注意1)函数的最值概念是全局性的2)函数的最大值（最小值）唯一3)函数的最大值大于等于最小值4)函数的最值可在端点上取定义3.4.2设f(x)在D

上有定义,都有最大值与最小值统称为最值,使函数取得最值的点称为最值点.1).,则称为函数的最大值.2).,则称为函数的最小值.3.4.2函数的最值及其求法8若函数在上连续，上取得最大值、最小值.则必在xyo求最值的方法:2.若函数在内取得最值，则此点一定取得极值1、求出最值点的存在范畴：端点、驻点、导数不存在的点2.计算函数在这些点处的函数值;3.比较这些函数值的大小,其中最大者与最小者就是函数在区间上的最大值和最小值.x01.函数可能在端点取得最值。说明9例1.求函数在上的最大、小值.解令得当时,不存在.函数在上的最大值为:最小值为:10几种特殊情况:1.

若在上单调,则在端点处取得最值.2.

若在内只有一个极值点则当为极大(小)值点时,就是最大(小)值.3.在实际问题中,则按实际情况进行判断.当表示该实际问题的函数在所讨论的区间内只有一个可能的极值点时,则该实际问题一定在该点取得所求的最大值或最小值.11B20kmAC100km现要在AB上选定一点D向工厂C修筑一条公路例2.铁路线上A,B两地相距100公里,工厂C距A处20公里,AC垂直于AB.已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3:5.为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省,

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