上海七年级数学下期末（压轴60题16个考点）分析版

上海七年级下期末精选（压轴60题16个考点专练）

一.平行线的性质（共3小题）

1.（2023春•闵行区期中）（1）如图1,E是直线AB,内部一点，AB//CD,连接EA,ED.

①当/A=60。,/。=32°,则乙4皮＞=92

②猜想图1中/AED，ZA,的关系并验证;

（2）如图2,AB//CD,已知NE+/G=a,ZB=p,求/F+/D的度数.（用含有a,0代数式表示）

（3）如图3,射线也与平行四边形ABC。的边交于点E,与边CD交于点R图3中a,万分别是

被射线EE隔开的2个区域（不含边界），P是位于以上两个区域内的一点，猜想/PEB,ZPFC,ZEPF

的关系.（不要求说明理由）

【分析】（1）如图所示，过点E作E/〃A3,根据平行线的性质即可求解①，②；

（2）如图所示，分别过点E,F,G作FN//AB,GH//AB,根据平行线的性质即可求解；

（3）由（1）,（2）的证明方法，分类讨论即可求解.

【解答】解：（1）①60°+32°=92°,

AZAED=92°；

②猜想，ZA+ZD^ZAED,证明过程如下,

如图所示，过点£作所〃

图1

'.'AB//CD,

：.AB//EF//CD,

：.ZA=Z1,ND=N2,

・•・NA+N0=Z1+N2=NAED,

：.ZA+ZD=ZAED；

(2)如图所示，分别过点E,F,G作EM〃A8,FN//AB,GH//AB,

图2

\*AB//CD,

：.AB//EM//FN//GH//CD,

・•・由(1)可知，ZB+ZNFE=ZBEF,/NFG+/D=/FGD,ZEFN+ZNFG=ZEFG,

：./B+/NFE+/NFG+/D=NBEF+/FDG,

VZE+ZG=a,N3=B，即NBEF+NDG/=a,

・•・NB+/EFG+/D=NBEF+/FGD,

:・/EFG+/D=NBEF+NFGD-ZB=a-p,

ZF+ZZ)=a-p；

(3)根据题意，

①如图所示，当点尸在〃区域时，过点尸作尸。〃

图3

・・・四边形ABCD是平行四边形，

：.AB//CD,

C.AB//PQ//CD,

；・/PEB+/EPQ=180°,ZPFC+ZFPQ=180°,ZEPQ+ZFPQ=ZEPF,

：.ZPEB+ZEPQ+ZPFC+ZFPQ=ZPEB+ZEPF+ZPFC=360°,

；・NPEB+/PFC+/EPF=36b°；

②如图所示，当点尸在匕区域时，过点尸作PH〃A8,

图3

:四边形ABCD是平行四边形，

：.AB//CD,

：.AB//PR//CD,

：.ZPEB=ZEPR,ZPFC=ZFPR,NEPR+/FPR=/EPF,

：./PEB+NPFC=ZEPF；

综上所述，点尸在a区域时，ZPEB+ZPFC+ZEPF^360°；点尸在6区域时，ZPEB+ZPFC=ZEPF.

【点评】本题主要考查平行线的性质，理解并掌握平行线的性质是解题的关键.

2.（2018春•金山区期中）问题情境：如图1,AB//CD,ZP4B=130°,ZPCD=120°.求NAPC度数.

小明的思路是：如图2,过P作PE〃AB,通过平行线性质，可得/APC=110。.

问题迁移：如图3,AD〃8C,点尸在射线0M上运动，ZADP=Za,ZBCP=Z^.

（1）当点尸在A、8两点之间运动时，ZCPD,/a、N0之间有何数量关系？请说明理由.

（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点尸与点4、B、。三点不重合），请你直接写出NCP。、Na、

之间的数量关系.

【分析】过尸作构造同旁内角，通过平行线性质，可得NAPC=50°+60°=110°.

（1）过P作尸E〃A。交CD于£,推出AD〃PE〃BC,根据平行线的性质得出Na=/ZJPE,Zp=Z

CPE,即可得出答案；

（2）画出图形（分两种情况：①点尸在氏4的延长线上，②点P在48的延长线上），根据平行线的性质

得出Na=/OPE,Zp=ZCPE,即可得出答案.

【解答】解：过尸作PE〃A2,

"."AB//CD,

J.PE//AB//CD,

ZAPE=180°-ZA=50°,ZCPE=180°-ZC=60°,

AZAPC=500+60°=110°,

故答案为：110。；

(1)ZCPZ)=Za+Zp,理由如下：

如图3,过尸作P£〃AO交CO于E,

U：AD//BC,

J.AD//PE//BC,

：.Za=ZDPE,/B=NCPE,

：.ZCPD=ZDPE+ZCPE=Za+Z^；

(2)当尸在BA延长线时，ZCPD=Z^-Za；

理由：如图4,过P作PE〃AO交CO于E,

'：AD//BC,

J.AD//PE//BC,

:・/a=/DPE,NB=NCPE,

：.ZCPD=ZCPE-ZDPE=Z^-Na；

理由：如图5,过尸作PE〃A。交CD于E,

'.'AD//BC,

J.AD//PE//BC,

：.Za=ZDPE,/B=/CPE,

：.ZCPD=ZDPE-ZCPE=Za-Zp.

【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助

线构造内错角以及同旁内角.

3.（2018春•奉贤区期中）已知：AB//DE.

（1）如图1,点C是夹在AB和。E之间的一点，当ACLC。时，垂足为点C,你知道/A+/。是多少

吗？这一题的解决方法有很多，

例如（力过点C作A8的平行线；

3)过点C作。E的平行线;

(山)连接AD；

(zv)延长AC、相交于一点.

请你选择一种方法(可以不选上述四种)，并说明理由.

(2)如图2,点Ci、C2是夹在和。E之间的两点，请想一想：/A+NCI+2C2+/£>=540度,

并说明理由.

(3)如图3,随着与CD之间点增加，那么NA+NC1+/C2+……+/C〃+i+/£>=1805+2)度.(不

必说明理由)

【分析】(1)过点C作AB的平行线CT,利用平行线的性质，即可得到/A+/ACO+/O=180°X2=

360°,再根据AC_LCD,即可得出/A+NQ=360°-90°=270°；

(2)过Ci作CiF〃AB,过C2作C2G〃OE,则利用平行线的性质，即可得到/A+NC1+NC2+/。的度

数；

(2)利用规律即可得到/A+NC1+/C2+……+ZCn+i+ZD的度数.

【解答】解：(1)如图1,过点C作AB的平行线CR

'：AB//DE,

J.CF//DE,

：.ZA+ZACF=180°,ZZ)CF+ZD=180°,

/.ZA+ZACD+ZZ>=180°X2=360°,

XVAC1CZ),

AZA+ZD=360°-90°=270°；

(2)如图2,过Ci作Ci尸〃A3,过C2作C"G"DE,则

,JAB//DE,

：.C1F//AB//C1G//DE,

：.ZA+ZACiF=180°,NFC1C2+/C1C2G=180°,ZGC2D+Z0=180°,

ZA+ZACiC2+ZCiC2Z)+Zr>=180°X3=540°,

故答案为：540；

（3）如图3,ZA+ZC1+ZC2++ZCn+i+ZZ)=180oX(n+2),

故答案为：180（力+2）.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补.

--平行线的判定（共2小题）

4.（2018春•浦东新区期末）如图，是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，已知：Nl=50°,N2=50°,

Z3=130°.找出图中所有的平行线，并说明理由.

【分析】根据平行线的判定方法即可解决问题；

【解答】解：:/1=50°,Z2=50°,

.\Z1=Z2,

J.BF//CE,

VZ2=50°,N3=130°,

.\Z2+Z3=180°,

J.BC//EF.

【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，属于中考常考题型.

5.（2018春•闵行区期末）如图，已知NABE+/CEB=180°,Z1=Z2,请说明B/〃EG的理由.

（请写出每一步的依据）

E

【分析】直接利用平行线的判定与性质得出/BEG,进而得出答案.

【解答】解：VZABE+ZC£B=180°,

：.AB//CD（同旁内角互补，两直线平行），

；./ABE=/BED（两直线平行，内错角相等），

VZ1=Z2,

AABE-N1=NBED-Z2（等式的基本性质）,

?.ZFBE=/BEG（等量代换）,

...86〃EG（内错角相等，两直线平行）.

【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，得出即是解题关键.

三.平行线的判定与性质（共2小题）

6.（2021春•思明区校级期中）已知AM〃CN,点8为平面内一点，于8.

（1）如图1,直接写出//和NC之间的数量关系NA+NC=90°

（2）如图2,过点8作于点。，求证：ZABD=ZC；

（3）如图3,在（2）间的条件下，点E、/在。M上，连接BE、BF、CF,8尸平分/OBC,BE平分/

ABD,若NFCB+/NCF：求NEBC的度数.

【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可;

（2）先过点2作根据同角的余角相等，得出NA8£）=NCBG,再根据平行线的性质，得出/

C=/CBG,即可得到/A3Z）=NC；

（3）先过点8作根据角平分线的定义，得出再设ZABF=p,

tg®ZCBF+ZBFC+ZBCF=180°,可得（2a+0）+3a+（3a+0）=180°,根据AB_LBC,可得0+0+2a

=90°,最后解方程组即可得到/ABE=15°,进而得出NEBC=NABE+NABC=15°+90°=105°.

【解答】解：（1）如图1,AM与8C的交点记作点O,

'JAM//CN,

；.NC=ZAOB,

VABXBC,

・・・NA+NAO8=90°,

AZA+ZC=90°,

故答案为：NA+NC=90°；

(2)如图2,过点8作3G〃0M,

*：BD±AMf

：.DB±BG,BPZAB£>+ZABG=90°,

XVABXBC,

：.ZCBG+ZABG=90°,

/ABD=NCBG,

*：AM//CN,BG//AM,

：.CN//BG,

：.ZC=ZCBG.

：.ZABD=ZC；

(3)如图3,过点3作5G〃0M,

TB尸平分ND5C,5万平分NA5O,

ZDBF=ZCBF,ZDBE=NABE,

由(2)可得NA8D=NC8G,

ZABF=ZGBF,

设NQBE=a,ZABF=p,贝U

ZABE=a,NABD=2a=NCBG,ZGBF=^=ZAFB,NBFC=3NDBE=3cc,

/.ZAFC=3a+P，

VZAFC+ZNCF=180°,ZFCB+ZNCF=180°,

・・・ZFCB=ZAFC=3a+P，

△8C/中，由NC3/+NBR7+N3b=180°,可得

(2a+p)+3a+(3a+0)=180°,①

由A5_LBC,可得

p+P+2a=90°,②

由①②联立方程组，解得a=15°,

AZABE=15°,

AZEBC=ZABE+ZABC=150+90°=105°.

【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余

角（补角）相等进行推导.余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联.解题时注意

方程思想的运用.

7.（2021春•徐汇区校级期中）已知BC//GF,EF//DC,EF//AB,猜想/A与NC的关系如何？

并说明理由.

解：因为AE〃GRBC〃GF（已知）

所以8c（在同一平面内内，平行于同一直线的两直线平行）：

所以//+/B=180°（两直线平行，同旁内角互补）；

同理，NC+NB=180°；

所以（同角的补角相等）.

【分析】根据平行线的判定与性质、平行公理、补角的性质填空即可.

【解答】解：因为BC//GF（B^D）

所以AE〃2C（在同一平面内内，平行于同一直线的两直线平行）；

所以/A+NE=180。（两直线平行，同旁内角互补）；

同理，ZC+ZB=180°；

所以NA=/C.（同角的补角相等）；

故答案为：在同一平面内内，平行于同一直线的两直线平行；B；两直线平行，同旁内角互补；&ZA=

ZC；同角的补角相等.

【点评】此题考查了平行线的判定与性质，用到的知识点是平行线的判定与性质、平行公理、补角的性

质，关键是综合运用有关性质进行证明.

四.三角形的面积（共1小题）

8.(2023春•松江区期中)如图，已知△A3C的面积是60,请完成下列问题：

(1)如图1,ZXABC中，若AO是5C边上的中线，则△A3。的面积=△AC。的面积(填“〉”、

“V”或“=”)；

(2)如图2,若C。、此分别是△ABC的A3、AC边上的中线，求四边形A0OE的面积可以用如下方

法：

连接AO,由AD=DB得SAADO=SABDO,

同理，可得S^CEO=SZVIEO.

设S^ADO=XJS/^AEO=yj贝！JS/\BDO=XJS/\CEO=y•

由题意得心48£：=/近痂=30,SAADC=^S/\ABC=30.

可列方程组［2乂切=30,解得_(x=10_,

Ix+2y=30—ly=10-

通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为20；

(3)如图3,AD：£)5=1：3,CE：AE=2：3,请直接写出四边形AOOE的面积2更.(不用书写

—17―

过程)

【分析】(1)根据等底等高的两个三角形面积相等知，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分,

所以S^ABD=S/\ACD；

(2)根据三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，即可得到结果；

(3)连接AO,由A£＞：DB=1：3,得至!j5.。。=」5会。。，同理可得S4CEO=2S^A£：O,设SAAOO=X,

33

S4CEO=y,贝1J&BQO=3X,由题意得列方程组即可得到结果.

【解答】解：(1)如图1,过A作A”_L3C于“，

*：AD是△ABC的BC边上的中线，

:・BD=CD,

**,SAABD=7BD，AH，SAACD*D・AH，

••S/\ABD=S/\ACD,

故答案为：=;

(2)解方程组得］x=l0,

1Y=IO

SAAOD=SABOD=10,

*,*S四边形A/)OB=SaAOZ)+Sz\AOE=10+10=20,

故答案为：卜=1°,20；

ly=10

(3)如图3,连接AO,

VAD：DB=1：3,

S/xADO~--S/^BDO)

3

,/CE：AE=2：3,

2

SACEO=—SAAEOJ

3

、3

设S^ADO=XfS丛CEO=y,贝USABDO=3X,Sz\AEO==y,

oi

由题思得：SAABE=—SAABC=40,S/\ADC=—S/^ABC=15>

54

3

4x-^-y=40

可列方程组为：

x+yy=15

V---1-5-5-

17

解得：

40

.3=915

S四边形AZ)OE=Sz\ADO+Sz\AEO=x+―y---•

217

故答案为：—.

17

A

O

B

图3

A

【点评】本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，熟练掌

握这个结论是解题的关键.

五.坐标与图形性质（共1小题）

9.（2017春•杨浦区校级期末）如图，以直角三角形AOC的直角顶点。为原点，以OC、OA所在直线为x

轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0,a）,C（b,0）满足“a-2b+|6-2|=0.

（1）则C点的坐标为（2,0）；A点的坐标为（0,4）.

（2）已知坐标轴上有两动点P、。同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度

匀速移动，。点从。点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点。到达A点整个运动随之

结束.AC的中点。的坐标是（1,2）,设运动时间为秒.问：是否存在这样的使

△ODQ?若存在，请求出f的值；若不存在，请说明理由

（3）点尸是线段AC上一点，满足NR?C=/PC。，点G是第二象限中一点，连。G,使得NAOG=N

A。尺点E是线段。4上一动点，连CE交OF于点H,当点E在线段。4上运动的过程中,

Z0EC

【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得。，6的值即可；

（2）先得出CP=f,OP—2-t,0Q—2t,AQ—4-It,再根据SAODP=SAODQ,列出关于Z■的方程，求得

f的值即可；

（3）过H点作AC的平行线，交无轴于P,先判定OG〃AC,再根据角的和差关系以及平行线的性质，

得出NP80=NG0P=/l+N2,/OHC=NOHP+/PHC=/GOF+/4=/I+/2+/4,最后代入

NOHC+/ACE进彳亍计算即可.

ZOEC

【解答】解：(1)vVa-2b+|^-2|=0,

.,.a-2b—0,b-2=0,

解得a=4,b=2,

：.A(0,4),C(2,0)；

(2)由条件可知：尸点从C点运动到。点时间为2秒，。点从。点运动到A点时间为2秒,

；.0<rW2时，点。在线段上，

即CP=t,OP=2-t,OQ=2t,AQ=4-2t,

OPy(2t)x2=2-t，SOQXDX2TX1=T，

•*,SADOp4''i>4'"ADOQ4'""2'

,:SAODP=S/\ODQ，

・・2-t~~t,

:.t=1；

(3)/匕AC耳的值不变,其值为2.

Z0EC

VZ2+Z3=90°,

又・.,N1=N2,/3=/FCO,

：.ZGOC+ZACO=180°,

・•・OG//AC,

：.Z1=ZCAO,

：.NOEC=NCAO+N4=Z1+Z4,

如图，过“点作AC的平行线，交工轴于P,则N4=NPHC,PH//OG,

：./PHO=NGOF=/

；・/OHC=/OHP+/PHC=/GOF+N4=/T+/2+/4,

.ZOHC+ZACEZ1+Z2+Z4+Z42(Z1+Z4)n

ZOECZ1+Z4Z1+Z4

【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键值作辅助线构造平行线.解题时注意：任意

一个数的绝对值都是非负数，算术平方根具有非负性，非负数之和等于。时，各项都等于0.

六.三角形三边关系（共1小题）

10.（2022春•徐汇区校级期末）周长为30,各边互不相等且都是整数的三角形共有」2_个.

【分析】不妨设三角形三边为。、b、c,且。由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值

范围，以此作为解题的突破口.

【解答】解：设三角形三边为a、b、c,且a<6<c.

*.*tz+/?+c=30,a+b>c

：.10<c<15

•••c为整数

；.c为11,12,13,14

•①当c为14时，有5个三角形，分别是：14,13,3；14,12,4；14,11,5；14,10,6；14,9,

7；

②当c为13时，有4个三角形，分别是：13,12,5；13,11,6；13,10,7；13,9,8；

③当C为12时，有2个三角形，分别是：12,H,7；12,10,8；

④当c为11时，有1个三角形，分别是：11,10,9；

故答案为：12个.

【点评】此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力.

七.三角形内角和定理（共4小题）

11.（2017春•浦东新区期末）（1）己知：如图1,尸是直角三角板ABC斜边AB上的一个动点，CD、CE分

别是/AC尸和/BCP的平分线，试探究：当点尸在斜边4B上移动时，NQCE的大小是否会发生变化，

请说明你的理由.

（2）把直角二角板的直角顶点C放在直尺的一边上，点A和点8在直线的上方（如图2）,此

时NACM与/BCN的数量关系是NACM+/8CN=90°；当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A

在直线MN的下方，点B仍然在直线MN的上方时（如图3）,NACM与/8CN的数量关系是/BCN

-NACM=90°；当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时（如图4）,

ZACM与ZBCN的数量关系是NACM+/BCN=270°.

【分析】（1）根据角平分线定义得出/QCP=」NACP,NPCE=Z/BCP,那么，ZDCE=ZDCP+Z

22

PCE=-^ZACP+^ZBCP=-^ZACB=45°；

222

（2）当点A和点8在直线MN的上方时，根据平角的定义易得/ACM+N8CN=90；

当点A在直线MN的下方，点B仍然在直线MN的上方时，由/8CN=180°-ZBCM,ZACM=9Q°

-ZBCM,可得/BCN-/ACM=90°；

当点A和点8都在直线MN的下方时，由NBCN=180°-ZBCM,ZACM=90°+ZBCM,可得/ACM+

/BCN=27G.

【解答】解：（1）如图1,/OCE的大小不会发生变化，理由如下：

•:CD、CE分别是/ACP和/BCP的平分线，

：.ZDCP=^-ZACP,/PCE=L/BCP,

22

ZDCE=ZDCP+ZPCE=-lzACP+-lzBCP=^ZACB=45°；

222

(2)当点A和点B在直线MN的上方时(如图2),ZACM+ZBCN^ISO°-ZACB=180°-90°=

90°；

当点A在直线MN的下方，点B仍然在直线MN的上方时(如图3),

'：ZBCN=1SO°-ZBCM,ZACM=90°-ZBCM,

：.ZBCN-ZACM=(180°-ZBCM)-(90°-NBCM)=90°；

当点A和点B都在直线MN的下方时(如图4),

VZBC7V=18O°-ZBCM,ZACM=9Q°+ZBCM,

：.ZACM+ZBCN^(180°-/BCM)+(90°+ZBCM)=270°.

故答案为90°,ZBCN-ZACM=90°,NACM+/BCN=270°.

【点评】本题考查了角平分线定义，平角的定义，角的和差计算，准确识图是解题的关键.

12.（2019春•金山区期中）已知：如图，AABC

求证：ZA+ZB+ZC=180°.

证明：如图，作BC的延长线CD,过点C作CE〃AB,

CE//AB,

•••Zl=NB（两条直线平行，同位角相等）

/2=/A（两直线平行，内错角相等），

VZl+Z2+ZACB=180°（平角的定义），

AZA+ZB+ZACB=180°（等量代换）.

BCD

【分析】作BC的延长线CD,过点C作CE〃氏1,根据平行线的性质得到=Z2=ZA,由平角

的定义得到/l+/2+/ACB=180°,等量代换即可得到结论.

【解答】解：•"£〃"，（已知）

/.Z1=ZB,（两条直线平行，同位角相等）.

/2=NA,（两直线平行，内错角相等）.

VZ1+Z2+ZACB=18O°,（平角的定义），

AZA+ZB+ZACB=180°,（等量代换）.

故答案为：己知；两条直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；平角的定义；等量代换

【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键.

13.（2019春•徐汇区校级期中）如图，已知NA=NC,BE平分/ABD,DF平分NBDC.说明/1=/2的

理由.

解：因为NA=NC（已知），

所以（内错角相等两直线平行）.

所以（两直线平行内错角相等）.

因为BE平分NA8。（已知），

所以N1,NABD（角平分线的定义）.

同理

所以/1=/2（等量代换）.

【分析】根据平行线的判定和性质即可解决问题;

【解答】解：因为NA=/C（已知），

所以42〃。。（内错角相等两直线平行），

所以（两直线平行内错角相等），

因为8E平分（已知），

所以N1蒋/ABD（角平分线的定义），

同理N2-1NBD0

所以N1=N2（等量代换）.

故答案为内错角相等两直线平行，两直线平行内错角相等，角平分线的定义，等量代换；

【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，

属于中考常考题型.

14.（2017春•普陀区期中）如图1,ZAiBC,N4CM的角平分线助2、CA2相交于点A2,

（1）如果/4=68°,那么/A2的度数是多少，试说明理由；

（2）如图2,如果/A2BC、NA2CM的角平分线BA3、相交于点人3,请直接写出乙心的度数；

（3）如图2,重复上述过程，ZAn-iBC.N4/CM的角平分线BA”、CA”相交于点4得到乙4”,设N

Ai=e,请用。表示（直接写出答案）

解：（1）结论：442=34度.说理如下：因为胡2、CA2平分N4BC和N4CM（己知），

所以/48C=2/1,ZAiCM=2Z2（角平分线的定义）.

因为,N2=/l+/a（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个

内角的和）,

（完成以下说理过程）

44

【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质即可求解;

（2）根据（1）的解法即可直接求解；

（3）利用（1）的结论求解.

【解答】解：⑴结论：/上=34度.

说理如下：因为8A2、CA2平分/A18C和/ACM（已知），

所以N4BC=2N1,ZAiCM=2Z2（角平分线的意义）.

因为N4CM=NALBC+NAI,N2=N1+/A2,（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）,

所以/42=工/4,

2

因为NAi=68°,

所以乙42=34°,

故答案为：34；角平分线的定义；Ai；A2；

(2)ZA3=17°.

(3)ZAn―—―

2n-1

【点评】本题考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的

两个内角的和，正确解决（1）,读懂题意是关键.

八.三角形的外角性质（共3小题）

15.（2021春•徐汇区校级期末）将一副三角尺叠放在一起：

（1）如图①，若Nl=4/2,请计算出NC4E的度数；

（2）如图②，若/ACE=2/BCD,请求出NACD的度数.

【分析】（1）根据/氏4c=90°列出关于Nl、Z2的方程求解即可得到N2的度数，再根据同角的余角

相等求出/CAE=/2,从而得解；

（2）根据NACB和/DCE的度数列出等式求出/ACE-N8CD=30°,再结合已知条件求出/BCD,

然后根据。代入数据计算即可得解.

【解答】解：（1）,：ZBAC=90°,

；.N1+/2=9O°,

VZ1=4Z2,

.\4Z2+Z2=90°,

；./2=18°,

XVZDAE=90°，

.*.Z1+ZCAE=Z2+Z1=9O°,

：.ZCAE=Z2=IS°；

（2）VZACE+ZBCE^90°,

ZBCD+ZBCE^60°,

：.ZACE-ZBCD=30°,

又/ACE=2/BCD,

：.2/BCD-/BCD=3U°,

ZBCD=30°,

/.ZACD=ZACB+ZBCD^9Q°+30°=120°.

【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，准确识图理清图中各角度之间的关系是

解题的关键.

16.（2018春•浦东新区期末）阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知点。、E分别在△ABC的边

AB、AC上，且延长DE与BC的延长线交于点F,ZBAC和NBFD的角平分线交于点

G.那么AG与尸G的位置关系如何？为什么？

解：AGLFG.将AG、OF的交点记为点P,延长AG交BC于点Q.

因为AG、BG分别平分4BAC和即（已知）

所以/BAG=NC4G,/PFG=NQFG（角平分线定义）

又因为/用。=/C4G+/4££>,/FOG=/BAG+/B

（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）

ZAED=ZB（已知）

所以/尸尸。=/FOG（等式性质）

（请完成以下说理过程）

【分析】根据角平分线的定义得到/54G=NC4G,NPFG=/QFG,根据三角形的外角的性质得到/

EPQ=/PQG得至ijFP=F。，根据等腰三角形的三线合一证明.

【解答】解：AGLFG.将AG、。尸的交点记为点P,延长AG交8C于点Q.

因为AG、PG分别平分/8AC和/8阳（已知）

所以/54G=/CAG,NPFG=/QFG（角平分线定义）

又因为N"Q=NC4G+NAE。，NPQG=NBAG+NB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的

和）

ZAED=ZB（已知）

所以NFPQ=NFQG（等式性质）

所以厂?=f。（等角对等边）

又因为/PFG=/QFG

所以AGLBG（等腰三角形三线合一）.

故答案为：/CAG；ZPFG=ZQFG；ZCAG；ZFQG；ZBAG；ZFQG.

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的外角的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的

关键.

17.（2018春•普陀区期中）如图，已知△ABC中，NBAC=70°,ZB=30°,点尸是AB上一点，且NBCF

=25°,点。在边C4的延长线上，AE平分NBA。，说明CP〃AE的理由.

解:因为点。在边CA的延长线上（已知），

所以/BAC+/3AD=180°（邻补角定义）.

因为/8AC=70°（已知），

所以/54。=180°-ZBAC=110°（等式性质）.

因为AE平分（已知），

所以/胡2=工/54。=55°（角平分线定义）.

2

因为/AFC=NB+/BCF=55°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）,

所以/AFC=NEAB（等量代换）.

所以CF//AE（内错角相等，两直线平行）.

D

E

BC

【分析】求出NBA。和/EAB的度数，求出/AFC的度数，推出/AFC=/EA8,根据平行线的判定得

出即可.

【解答】解：：点。在边CA的延长线上（已知），

：.ZBAC+ZBAD=18Q（邻补角定义），

VZBAC=70°（已知），

/.ZBAD=180°-ZBAC=110°（等式性质）.

YAE平分乙BA。（已知），

ZEAB=ZEAB=1-ZBAD=55°（角平分线定义），

2

VZAFC=ZB+ZBCF=55°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），

；./AFC=/EAB（等量代换），

.♦•CF〃AE（内错角相等，两直线平行），

故答案为：邻补角定义，角平分线定义，/B,ZBCF,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的

和，ZAFC,NEAB,内错角相等，两直线平行.

【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能求出是解此题的关键.

九.全等三角形的判定（共2小题）

18.（2022春•徐汇区校级期末）已知△ABC中，4B=8CWAC,作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC

全等的三角形，这样的三角形一共能作出7个.

【分析】只要满足三边对应相等就能保证作出的三角形与原三角形全等，以腰为公共边时有6个，以底

为公共边时有一个，答案可得.

【解答】解：以为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一个，

所以一共能作出7个.

故答案为：7.

【点评】本题考查了全等三角形的作法；做三角形时要根据全等的判断方法的要求，正确对每种情况进

行讨论是解决本题的关键.

19.（2019春•浦东新区期末）公园里有一条“Z"字形道路ABC。，如图所示，其中A8〃C£）,在AB,CD,

8C三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且M是8C的中点，试说明三只石凳E,F,M恰好

在一条直线上.（提示：可通过证明NEM尸=180°）

【分析】先根据SAS判定△BEN名从而得出通过角之间的转换可得到E,M,

尸在一条直线上.

【解答】证明：连接ME,MF.

.•.乙B=/C（两线平行内错角相等）.

BE=CF（已知）

在和△CEW中，＜NB=NC（已证）

,BM=CM仲点定义）

；.ABEMmACFM（SAS）.

:./BME=NCMF,

：.ZEMF=ZBME+ZBMF=ZCMF+ZBMF=ZBMC=180°,

：.E,M,尸在一条直线上.

【点评】此题主要考查了学生对全等三角形的判定的掌握情况，注意共线的证明方法.

一十.全等三角形的判定与性质（共26小题）

20.（2021秋•奉贤区校级期末）已知，点尸是直角三角形ABC斜边上一动点（不与A,8重合），分别

过A,8向直线CP作垂线，垂足分别为E,F,。为斜边A8的中点.

（1）如图1,当点尸与点Q重合时，AE与BF的位置关系是,QE与QF的数量关系式

OE=OF；

（2）如图2,当点尸在线段A8上不与点。重合时，试判断与。P的数量关系，并给予证明；

（3）如图3,当点尸在线段（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给

予证明.

【分析】（1）证义ZVIEQ即可；

（2）延长BQ交AE于证△EBQg△D4Q,推出。尸=QD根据直角三角形斜边上中线性质求出即

可；

（3）延长E0、FB交于D,证△AEQ0推出。0=。£,根据直角三角形斜边上中线性质求出即

可.

【解答】解：（1）AE//BF,QE=QF,

理由是：如图1,

•.•。为A8中点，

：.AQ^BQ,

"：BF.LCP,AE±CP,

：.BF//AE,ZBFQ=ZAEQ=90°,

在△8FQ和△AE。中

,ZBFQ=ZAEQ

-ZBQF=ZAQE

BQ=AQ

J.ABFQ^AAEQ（AAS）,

：.QE=QF,

故答案为：AE//BF；QE=QF.

⑵QE=QF,

证明：如图2,延长尸0交AE于。，

:,。为A2中点，

：.AQ=BQ,

'JBFLCP,AELCP,

J.BF//AE,

：.ZQAD=ZFBQ,

在△FBQ和△ZMQ中

，ZFBQ=ZDAQ

•BQ=AQ

ZBQF=ZAQD

：./\FBQ^/\DAQ(ASA),

:.QF=QD,

'：AE1CP,

E。是直角三角形DEF斜边上的中线，

:.QE=QF=QD,

即QE=QF.

(3)(2)中的结论仍然成立，

证明：如图3所示，延长EQ、FB交于D,

'JBFLCP,AELCP,

C.DF//AE,

：.Z1=ZD,

在和△EAQ中，

'AQ=BQ

'Z1=ZD-

Z2=Z3

:.△DBgXEAQ(AAS),

：.QE=QD,

•:/EFD=90°

：.FQ是RtAEFD斜边DE上的中线,

：.QE=QF.

D

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：①全等三角

形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,②全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相

等.

21.（2021春•浦东新区期末）如图，在△ABC和中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°.

Cl)当点。在AC上时，如图①，线段2。，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；

(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转a(0。<a<90°),如图②，线段B。，CE有怎样的数量关

系和位置关系？请说明理由.

E

【分析】(1)延长交CE于R易证△EAC乌△ZMB,可得BD=CE,ZABD^AACE,根据NAEC+

ZACE=90°,PTZABD+ZAEC=90°,即可解题；

(2)延长3D交CE于R易证NA4O=NEAC,即可证明△EAC丝△D4B,可得B£)=CE,/ABD=N

ACE,根据NABC+NACB=90°,可以求得/CBF+/BCF=90°,即可解题.

【解答】证明：(1)延长8。交CE于尸，

在△EAC和△ZMB中，

'AE=AD

<ZEAC=ZDAB>

AC=AB

.♦.△EAC名ADAB(SAS),

：.BD=CE,ZABD=ZACE,

'：ZAEC+ZACE=90a,

/.ZABD+ZAEC^9Q°,

ZBF£=90°,即ECLBD-,

(2)延长8。交CE于凡

B图②C

'：ZBAD+ZCAD=90°,ZCAD+ZEAC=9Q°,

：.ZBAD=ZEAC,

•.•在△EAC和△D4B中，

，AD=AE

,ZBAD=ZEAC-

AB=AC

.".AEAC^ADAB(SAS),

：.BD=CE,ZABD=ZACE,

VZABC+ZACB^90°,

：.ZCBF+ZBCF=ZABC-ZABD+ZACB+ZACE=90°,

ZBFC=90°,即ECLBD.

【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△

EAC^^DAB是解题的关键.

22.(2