2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册 向量数量积的坐标表示 课件

向量数量积的坐标表示新知探究平面向量数量积的坐标表示

数字化是当前社会的最大特色，任何一件事物都被数字化了，当然这里的数字化强调的是数码，向量的数量积的几何运算为我们展示的是一幅美丽的画卷，它解决了几何中与度量相关的角度、长度（距离）等问题，向量的坐标运算又是如何展示这些问题的呢？本节我们来探索这个问题．新知探究问题1

前面我们已经学习了向量的线性运算的坐标表示、数量积，已知向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），请你写出a±b的坐标运算以及数量积的定义．（1）a＋b＝（x1，y1）＋（x2，y2）＝（x1＋x2，y1＋y2）；（3）a·b＝｜a｜｜b｜cosθ．（2）a－b＝（x1，y1）－（x2，y2）＝（x1－x2，y1－y2）；新知探究问题2

已知两个向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用a与b的坐标表示a·b呢？设i，j分别是x轴、y轴方向上的单位向量，则a·b＝（x1i＋y1j）·（x2i＋y2j）．＝x1x2i2＋（x1y2＋x2y1）i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2．新知探究追问1：若a⊥b，a与b的夹角为θ，你又能得出什么结论？（1）若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；（2）若a与b的夹角为θ，则cosθ＝

．

新知探究问题3

若a＝（x，y），试将向量的模｜a｜用坐标表示．∵a＝xi＋yj，x，y∈R，∴a2＝（xi＋yj）2＝（xi）2＋2xy

i·j＋（yj）2＝x2i2＋2xy

i·j＋y2j2．又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴a2＝x2＋y2，∴｜a｜2＝x2＋y2，

新知探究

＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1），

新知探究问题4

已知a＝（2，－1），b＝（2，3），求（1）a·b；（2）｜a＋b｜；

（3）求a与b夹角θ的余弦值．（1）a·b＝2×2＋（－1）×3＝1；

（3）cosθ＝

初步应用例1

已知向量a和b同向，b＝（1，2），a·b＝10，求：解答：（1）设a＝λb＝（λ，2λ）（λ＞0）．

∴a＝（2，4）．（2）（a·c）·b＝［2×2＋4×（－1）］·b＝0·b＝0．（1）向量a的坐标；（2）若c＝（2，－1），求（a·c）·b．初步应用

（1）点P到直线AB的距离为

；

（详解参考教材P104例4的解析．）（2）点P（3，5）到直线l的距离

．

初步应用

即1×（m－3）＋2×2＝0，解得m＝－1．

课堂练习练习：教科书第105页练习1，2，3，4．归纳小结（1）这节课我们发现了什么新知识？我们是如何研究它的？（2）利用向量数量积运算有哪几种途径？问题3

本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：（1）我们发现了向量数量积的坐标表示，利用向量数量积公式进行推导、研究；（2）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：

一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；

二是先利用数量积的运算律将原式展开（3）困惑是：……（3）你有什么困惑吗？，再依据已知计算．作业布置作业：教科书第107页，A组1，2，6；B组2．1目标检测D已知向量a＝（1，k），b＝（2，2），且a＋b与a共线，则a·b的值为（）A．1C．3D．4B．2解析：a＋b＝（3，k＋2），由a＋b与a共线，可得3k－（k＋2）＝0，解得k＝1，则a＝（1，1），从而a·b＝1×2＋1×2＝4．2目标检测CA．（－3，0）C．（3，0）D．（4，0）B．（2，0）

3目标检测

解析：∵b＝（－2，－4）＝－2（1，2）＝－2a，

∵0≤θ≤π，∴θ＝

，

∴a＋b＝－a，∴（a＋b）·c＝－a·c＝

．

设a与c的夹角为θ，则cosθ＝

．

即a与c的夹角为

．

4目标检测已知a＝（4，3），b＝（－1，2）．（1）求a与b的夹角的余弦值；（2）若（a－λb）⊥（2a＋b），求实数λ的值．

解答：（1）∵a·b＝4×（－1）＋3×2＝2，（2）∵a－λb＝（4＋λ，3－2λ），2a