模糊数学的基础知识

模糊数学模型指导老师:宋荣荣日期：5.112014数学模型培训第一讲一、什么是数学建模？根据背景知识（已知条件）和查找资料，选择正确的方法建立模型，通过计算机编程计算模型的结果，利用结果回答要解决的问题。数学建模的简要介绍1、全国数学建模比赛官方网站/home/2、美国数学建模比赛官方网站/undergraduate/contests二、两个重要的比赛三、参加数学建模的意义1、提高学生的综合能力分析和解决复杂问题的能力、查找资料的能力、合作的能力、吃苦耐劳的能力、写作的能力、领导的能力、协调的能力、科研能力2、给学生带来很多荣誉加分、保研、发奖金、出国留学第

1章模糊数学的基本概念生活中的现象用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律性靠经典数学去刻画；2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律性靠概率统计去刻画;3.模糊现象：如“今天天气很热”，“小伙子很帅”，…等等。模糊数学产生的必然性1、多少粒种子是一堆?2、秃子问题：所有人都是秃头。确定性的知识无法解决模糊现象。模糊数学的创始人1965年，L.A.Zadeh（扎德）发表了文章《模糊集》

(FuzzySets，InformationandControl,8,338-353)模糊数学的基本思想用属于程度代替属于或不属于。某个人属于秃子的程度为0.8,另一个人属于秃子的程度为0.3等.

课堂主要内容一、基本概念二、主要应用1.模糊聚类分析（模糊关系）——对所研究的事物按一定标准进行分类模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性状，对土壤进行分类。2.模糊识别（贴近度）——已知某类事物的若干标准模型，给出一个具体的对象，确定把它归于哪一类模型。例如：苹果分级问题苹果，有{I级，II级，III级，IV级}四个等级。现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。3.模糊决策(权重)——把事物按照优劣进行排序，或者选出“令人满意的最佳事物”。例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价从{清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰}四方面给出{很好，较好，一般，不好}四层次的评价最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。4.模糊线性规划（普通线性规划）——将线性规划的约束条件或目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优解称为原问题的模糊最优解5.模糊系统控制（模糊规则）——模糊系统是一种基于知识或基于规则的系统。它的核心就是由所谓的IF—THEN规则所组成的控制器。一个IF—THEN规则就是一个用连续的隶属度函数对所描述的某些句子所做的ＩＦ—ＴＨＥＮ形式的陈述。（一）经典集合确定性；无重复性；互异性

集合的表示法：

(1)枚举法，A={x1,x2,…,xn}；

(2)描述法，A={x|P(x)}.

AB若xA，则xB；

AB若xB，则xA；

A=BAB且AB.

（3）图示法一、经典集合的性质

集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集，记为(A).并集A∪B={x|xA或xB}；交集A∩B={x|xA且xB}；余集Ac

={x|xA}.集合的运算规律幂等律：A∪A=A，A∩A=A；交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；

吸收律：A∪(A∩B)

=A，A∩(A∪B)

=A；分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U

，A∩U=A

；

A∪=A

，A∩=

；还原律：(Ac)c=A

；对偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，(A∩B)c=Ac∪Bc；

排中律：A∪Ac

=U，A∩Ac

=；U为全集，为空集.集合的直积：

XY={(x,y)|xX,yY

}.二、映射1、映射f：XY特征函数满足（证明）

取大运算,如2∨3=3取大运算,如2∧3=22、集合A的特征函数：三、二元关系

XY的子集R称为从X到Y的二元关系，特别地，当X=Y时，称之为X上的二元关系.二元关系简称为关系.

若(x,y)R，则称x与y有关系，记为R(x,y)=1；

若(x,y)R，则称x与y没有关系，记为R(x,y)=0.

映射R:XY{0,1}实际上是XY的子集R上的特征函数.关系的三大特性：

设R为X上的关系

(1)自反性：若X上的任何元素都与自己有关系R，即R(x,x)=1，则称关系R具有自反性；

(2)对称性：对于X上的任意两个元素x,y，若x与y有关系R时，则y与x也有关系R，即若R(x,y)=1，则R(y,x)=1，那么称关系R具有对称性；

(3)传递性：对于X上的任意三个元素x,y,z，若x与y有关系R，y与z也有关系R时，则x与z也有关系R，即若R(x,y)=1，R(y,z)=1，则R(x,z)=1，那么称关系R具有传递性.

关系的矩阵表示法

设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,yn}，R为从X到Y的二元关系，记rij=R(xi,yj)，R=(rij)m×n，则R为布尔矩阵(Boole)，称为R的关系矩阵.

布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.关系三大特性的矩阵表示法：

设R为X={x1,x2,…,xn}

上的关系，则其关系矩阵R=(rij)n×n

为n阶方阵.(1)R具有自反性I≤R；(2)R具有对称性RT

=R

；(3)R具有传递性R2≤R

.

若R具有自反性，则

I≤R≤R2≤R3

≤…关系合成的矩阵表示法

设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y的关系R1=(aik)m×s，Y到Z的关系R2=(bkj)s×n，则X到Z的关系可表示为矩阵的合成：R1°

R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.

例设X={1,2,3,4},Y={2,3,4},Z={1,2,3},R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,R1={(x,y)|x+y=6}={(2,4),(3,3),(4,2)},R2={(x,y)|y–z=1}={(2,1),(3,2),(4,3)},则R1与R2的合成R1°

R2={(x,y)|x+z=5}={(2,3),(3,2),(4,1)}.合成(°

)运算的性质：性质1：(A°B)°

C=A°(B°C)；性质2：Ak

°Al

=Ak+l，(Am)n=Amn；性质3：A°

(B∪C)

=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性质4：O°A=A°O=O，I°A=A°I=A；性质5：A≤B，C≤DA°C≤B°D.其中O为零矩阵，I为n阶单位方阵.A≤B

aij≤bij

.集合上的等价关系

设

X上的关系R具有自反性、对称性、传递性，则称R为X上的等价关系.

若x与y有等价关系R，则记为xy.集合上的等价类

设

R是X上的等价关系，xX.定义x的等价类：[x]R={y|yX

，yx}.相似关系

设

X上的关系R具有自反性、对称性，则称R为X上的相似关系.集合上的相似类设

R是X上的相似关系，若C

X，任取x，yC，有x

Ry则称C是由相似关系R产生的相似类，记为[x]R.（二）模糊集合一、模糊集合的定义

设U是论域，称映射A(x)：U→[0,1]确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.

使A(x)=0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性.例

设论域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为也可用Zadeh表示法：二、模糊集的运算相等：A=B

A(x)=

B(x)；包含：AB

A(x)≤B(x)；并：A∪B的隶属函数为

(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；交：A∩B的隶属函数为

(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；余：Ac的隶属函数为Ac(x)=1-

A(x).

例设论域U={x1,x2,x3,x4,x5}(商品集)，在U上定义两个模糊集：A=“商品质量好”，B=“商品质量坏”，并设A

=(0.8,0.55,0,0.3,1).B

=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).则Ac=“商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可见Ac

B,

Bc

A.

又A∪Ac

=(0.8,0.55,1,0.7,1)U,

A∩Ac

=(0.2,0.45,0,0.3,0)

.模糊集的运算律

幂等律：A∪A=A，A∩A=A；交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；

分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U，A∩U=A；

A∪

=A，A∩

=

；还原律：(Ac)c=A

；对偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，