第5章 数字控制器的连续设计方法(改)

离散化设计方法（也称为直接设计方法）：将被控对象和保持器组成的连续部分离散化，直接应用离散控制理论的方法进行分析和综合，设计出满足控制指标的离散控制器，由计算机实现。连续化设计方法(也称模拟化设计方法)：忽略控制回路中所有的零阶保持器和采样器，在s域中按连续系统进行初步设计，求出连续控制器，再通过某种近似，将连续控制器变换为离散控制器，由计算机去实现。2/3/20231

将D(s)离散成D(z)的方法有多种，离散化的实质是求得一个等效的控制器脉冲传递函数，使之与连续域的控制器传递函数在很多方面是相似的

比如在脉冲响应特性、阶跃响应特性、频率特性、稳态增益和零、极点分布等方面

2/3/202326种常用的离散化方法一阶差分变换法（后向差分、前向差分）双线性变换法（突斯汀变换法）频率预畸变的双线性变换法脉冲响应不变法（即Z变换法）加零阶保持器的脉冲响应不变法零极点对应法2/3/20233一阶差分变换法（后向差分）（1）离散化公式Ts为采样周期2/3/20234

后向差分的近似式是：

等式左边取拉氏变换为：

等式右边取Z变换为：

这样可以得到变换关系：结论：2/3/20235后向差分法的映射关系分析S平面的虚轴映射为Z平面半径为1/2的圆S左半平面的映射特点：2、后向差分变换在ω从0→时，唯一映射到半径为1/2的圆上，因此没有出现频率混叠现象，但是频率被严重压缩了，不能保证频率特性不变，变换精度低，工程应用上受限制。优点是简单易做。图5-10后向差分法的映射关系1、(即表示S平面左半平面)，|z|<1,说明映射到Z平面的单位圆内，因此D(s)是稳定的，经后向差分变换后，D(z)也是稳定的。2/3/20236前向差分的近似式是：变换式为：或者一阶差分变换法（前向差分）结论：2/3/20237

图5-11前向差分变换法的映射关系

令则

S平面的虚轴，映射到Z平面是一条过实轴1，平行于虚轴的直线令

要使除外，还要较小时才行，可见这种变换会产生不稳定的前向差分法的映射关系分析则显见，前向差分变换法中稳定的D(s)不能保证变换成稳定的D(z)，要稳定采样周期缩小，且不能保证有相同的脉冲响应和频率响应。2/3/20238用后向差分变换法离散假设等效差分方程（控制算法）为：

2/3/20239双线性变换法梯形面积公式逼近积分运算原理

定积分

两边求拉氏变换

积分传递函数

图5-12梯形面积运算求Z变换

积分Z的传递函数离散化方法是：

**2/3/202310双线性变换的映射关系分析

变换式的另一种形式设则

说明:从

z的相角单调的从0变换到

s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内结论：从这样的映射关系可以看出，如果是稳定的，双线性变换后也是稳定的，并且不出现频率的混叠现象设则

s平面的虚轴，唯一映射到z平面的单位圆上2/3/202311[例4-4]

将

Ts=1s双线性变换成D(z)

等效差分方程（控制算法）为：结论：连续控制器零点少于极点数，经双线性变换后，零、极点数相等，这点可以做如下解释：由于双线性变换将整个S平面一一对应变换到Z平面，因此在无穷远处的零点，经双线性变换后被变换到z=-1处。2/3/202312应用：使用方便，有一定精度和好的特性，应用较为普遍。不需要校正稳态增益。但高频特性严重失真，主要用于低通环节的离散化。2/3/2023131.定义：

图5-8脉冲响应不变法脉冲响应不变法所谓脉冲响应不变是指所设计出的D(z)其单位脉冲响应与D(s)的单位脉冲响应h(t)的采样值相等

2/3/202314假设由连续设计求得（5-5）其脉冲响应为（5-6）

单位脉冲的响应离散时间值为

对D(z)求Z反变换得到，所以符合单位脉冲响应不变的条件，D(z)是D(s)的离散化。这一方法实质上是由D(s)直接求Z变换的方法，当D(s)很简单时，可以直接查Z变换表，如果D(s)较复杂，则必须先用部分分式展开成可查表的形式对上式求Z变换

（5-8）（5-7）2/3/202315[例5-1]用脉冲响应不变法将

离散成D(z)，假设采样周期Ts=1s

查Z变换表等效差分方程（控制算法）：2/3/202316

补充例子

已知模拟控制器

求数字控制器D(z)。解：控制算法为：

2/3/202317脉冲响应不变法的特点是：(1)D(z)与D(s)的脉冲响应相同(2)若D(s)稳定，则D(z)也稳定(3)D(z)不能保持D(s)的频率响应(4)D(z)将的整数倍频率变换到Z平面上的同一个点的频率，因而出现了频率混叠现象。注意！两种避免频率混叠现象发生的方法

①采样器前串联低通滤波器，以衰减高频分量②使用足够高的采样频率其应用范围是：连续控制器D(s)应具有部分分式结构或能较容易地分解为并联结构。D(s)具有陡衰减特性，且为有限带宽信号的场合。这时采样频率足够高，可减少频率混叠影响，从而保证D(z)的频率特性接近原连续控制器D(s)。2．特点及应用范围2/3/2023185.3.3加零阶保持器的脉冲响应不变法1.定义：保持器用于将离散模拟信号变换成连续模拟信号，当把零阶保持器加进D(s)再离散，虽然仍采用脉冲响应不变法，但等效D(s)输入的是连续的模拟信号，因此较单纯使用脉冲响应不变法离散D(s)更接近于连续系统。2.特点：(1)

D(s)是稳定的，变换后D(z)也是稳定的。(2)由于零阶保持器具有低通滤波特性，将使信号最大频率低些，因此频率混叠现象将比单纯采用脉冲响应不变法要有所改善。(3)

零阶保持器的引入将带来相位滞后，故稳定裕度要差些。图5-9加零阶保持器的脉冲响应不变法2/3/202319[例4-2]

用加零阶保持器的脉冲响应不变法离散离，假定采样周期Ts=1s

等效差分方程（控制算法）:

2/3/2023205.3.5频率预畸变的双线性变换法

经双线性变换后，模拟频率与离散频率两者之间存在着非线性关系将带入双线性变换式：与之间的非线性关系式

图5-13之间的非线性关系2/3/202321

在模拟频率和离散频率之间却存在非线性关系。当

取值0～π时，的值为0～∞。这意味着，模拟控制器的全部频率响应特性被压缩到离散控制器的的频率范围之内。这两种频率之间的非线性特性，使得由双线性变换所得的离散频率响应产生畸变，可以采用预畸变的办法来补偿频率特性的畸变。2/3/202322频率预畸变原理假设

当考虑频率响应时，将代入在临界频率

处有

将中的变换成则再实施双线性变换，代入当保证了临界频率处与有相同的特性

2/3/202323预畸变的双线性变换法步骤将所期望的极点和零点（s+a）,以a﹡代替a2.将D(s,a﹡)变换成D(z,a)3.调整增益，因为频率预畸变之后。零极点挪动，直流增益发生了变化，所以必须保证变化前后直流增益不变出发，进行增益调整。2/3/202324[例4-5]已知Ts=1s的临界频率用频率预畸变的双线性变换法变换成D(z)

1）进行频率预畸变2）对进行双线性变换2/3/202325（3）调整直流增益令等效差分方程(控制算法):（4）求的D(z)为2/3/202326(1)将S平面左半面映射到Z平面单位圆内预畸变双线性变换的特点：(2)稳定的D(s)变换成稳定的D(z)(3)没有频率混叠现象(4)D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。2/3/202327定义：S域中零极点的分布直接决定了系统的特性，Z域中亦然。因此，当S域转换到Z域时，应当保证零极点具有一一对应的映射关系，根据S域与Z域的转换关系z=eTs，可将S平面的零极点直接一一对应地映射到Z平面上，使D(z)的零极点与连续系统D(s)的零极点完全相匹配，这等效离散化方法称为“零极点对应法”或“根匹配法”。5.3.6极点零点对应法

2/3/202328将s平面的零点或极点用关系映射到Z平面上可以定义为下列变换关系：

对于复数极点或零点1同一个用极点零点对应法和脉冲响应不变法变换后的极点相同而零点不同。2通常D(s)的零点数小于极点数，D(s)的某些零点在无穷远处的映射关系，对于具有低通滤波特性的D(s)把无穷远处的零点映射到3要保证直流增益不变,即:不存在频率混叠现象；D(s)稳定，变换后D(z)稳定零极点对应法特点：2/3/202329(1)从上述各方法的原理看，除了前向差分外，只要原有的连续系统是稳定的，则变换以后得到的离散系统也是稳定的。(2)采样频率对设计结果有影响，当采样频率远远高于系统的截止频率时(100倍以上)，用任何一种设计方法所构成的系统特性与连续系统相差不大。随着采样频率的降低，各种方法就有差别。按设计结果的优劣进行排序，以双线性变换法为最好，即使在采样频率较低时，所得的结果还是稳定的。其次是零极点匹配法和后向差分。再次是脉冲响应不变法。各种离散化方法的比较2/3/202330(3)上述各种设计方法都有自己的特点，脉冲响应不变法可以保证离散系统的响应与连续系统相同。零极点匹配法能保证变换前后直流增益相同。双线性变换法可以保证变换前后持征频率不变。以上各种设计方法在实际工程中都有应用，可根据需要进行选择。(4)对连续传递函数D(s)=D1(s)D2(s)…Dn(s)，可分别对D1(s)、D2(s)、…、Dn(s)等效离散得到