义务教育数学课程标准深度解读之一：从“双基”到“四基”(201311四川泸州)

义务教育数学课程标准深度解读之一西南大学

宋乃庆2013.11浙江师大从“双基”到“四基”问题与思考1、什么是数学课程标准？2、为什么反复学习数学课程标准？3、新课标有哪些改进和发展的地方？4、如何看待、评价原课标？5、你认为新课标还有哪些值得商榷的问题？数学课程标准是国家教育部对义务教育阶段数学学习的基本要求的纲领性文件。1.与大纲相比，很大进步，质的飞跃2.引领数学课程改革，促进课改平稳发展3.还存在商榷、修改的地方1.数学课程标准很重要（3个依据）；2.数学课程标准有较大修改；3.数学课程标准解读认识不一致；新课标的改进和发展（关注点）：理念、核心概念、四基、四能、内容标准、教学和自主学习。注：数学课程标准指义务教育数学课程标准，以下同；

新课标指《义务教育数学课程标准（2011年版）》，以下同；

原课标指《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，以下同。一、原课标的研制与实验

前言二、原课标的修订与发展

三、新课标的审议

义务教育数学课程标准研制与发展概述

（一）原课标的研制背景一、原课标的研制与实验

（1999.9-2012.7）（二）原课标的研制过程（四）如何评价原课标

（三）原课标的主要进步与特点（一）原课标的研制背景第七次基础教育课程改革（1990-1998）经验与教训1999年6月13日中共中央、国务院颁发了《关于深化教育改革,全面推进素质教育的决定》

《基础教育课程改革纲要（试行）》（2001）是制定《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的基本依据《21世纪中国数学教育展望》是《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的理论与实践基础五个基础性研究课题（1）数学科学与数学教育的发展（2）国际数学课程发展的最新趋势（3）数学学习与学生心理发展的关系（4）社会发展的数学需求（5）义务教育阶段学生数学学习现状调查

1987年以来，中国数学教育研究会、北京师范大学、原西南师范大学、华东师范大学、南京师范大学等高校参与了该课题的研究。（二）原课标的研制过程1999年初，国家正式启动基础教育课程改革。1999年3月11-12日，国家数学课程研制工作小组成立大会在北京师范大学新松公寓召开。1999年10月8-10日，在北京召开了“国家数学课程标准研制工作研讨会”。特别邀请了姜伯驹院士、严士健教授、梁国平研究员、张尧庭教授，以及数学教育家张孝达、张奠宙、王长沛等先生。姜伯驹，数学家，拓扑学家，中国科学院院士，北京大学教授严士健，北京师范大学教授，博导，原国务院数学学科组成员张孝达，教授，原人民教育出版社数学室主任王长沛，北京教育学院教授张奠宙，华东师范大学教授，教育部师范司高师教学改革指导委员会委员2000年3月，《全日制义务教育数学课程标准（征求意见稿）》完成，向社会广泛征求意见。2000年1-6月通过申报、评审，国家陆续成立了其它各个学科的课程标准研制组。2000年7月至2001年2月，各课程标准研制小组在专题研究的基础上形成了课程标准初稿。原课标主要研制人员马云鹏（东北师范大学）王尚志（首都师范大学）孔企平（华东师范大学）吕建生（北京师范大学出版集团）刘洁民（北京师范大学）孙晓天（中央民族大学）杨裕前（江苏常州教研室）张丹（北京教育学院）张奠宙（华东师范大学）唐复苏（苏州大学）鲍建生（华东师范大学）马复（南京师范大学）孔凡哲（东北师范大学）史炳星（北京教育学院）刘兼（教育部课程教材发展中心）刘晓玫（首都师范大学）杨妍梅（北京市教育科学研究院）严士健（北京师范大学）张春莉（北京师范大学）罗小伟（中央民族大学）黄翔（重庆师范大学）綦春霞（北京师范大学）（注：以姓氏笔画为序，共22人）主持人：刘兼以及孙晓天、马复顾问：严世健、张孝达、叶其孝、张梅玲、戴再平、董奇（三）原课标的主要进步与特点

1、与大纲相比，原课标有很大的进步，是质的飞跃基本理念：课程目标：课程内容：知识为本以人为本双基+三大能力三维目标关心教的内容和达到目标关心学、教、考、编的内容与程度教学大纲原课标大纲与原课标的主要结构比较

大纲一、教学目的二、教学内容的确定与安排三、教学中应该注意的几个问题四、教学内容和教学要求原课标一、前言二、课程目标三、内容标准四、课程实施建议大纲与原课标的主要学习领域比较大纲算术代数几何原课标数与代数空间与图形统计与概率实践与综合应用原课标加强的内容：更加重视发展学生的数感和符号感，重视口算、估算，提倡算法多样化；加强了“统计与概率”的内容，首次将“统计观念”作为义务教育阶段数学课程的重要目标之一；……原课标削弱的内容：控制计算的难度和速度，初中有理数的混合运算不超过3步；淡化单纯的公式记忆，降低了多项式计算、乘法公式和因式分解的要求；降低对论证过程形式化和证明技巧的要求；……（三）原课标的主要特点主要理念：以人为本。基本目标:

提高学生的数学素养。课程内容:

四大学习领域。课程实施:

倡导学生自主、合作、探究的学习方式。评价方法：提出发展性评价的理念与方法，注重信息技术的运用。

2、原课标的主要特点（四）对原课标的评价与大纲相比，有很大进步，是质的飞跃引领数学课程改革，促进课改平稳发展还存在商榷、修改的地方二、原课标的修订

（2005.5-2011.4）（二）原课标修订的主要过程（三）原课标修订的主要依据和原则（四）原课标修订的主要关注点（一）原课标修订的主要原因（五）新课标的主要特点原因1（主要）——

时代的需要知识经济以知识为基础，以人为本，以创新为灵魂国家间的竞争是综合国力的竞争，综合国力的竞争归根结底是创新人才的竞争。发达国家课程改革的不断发展创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中……---新课标原课标修订体现时代发展的需要发达国家原因2（主要）——政策文件的要求教育部为贯彻《中共中央国务院关于进一步加强和改进未成年人思想道德建设的若干意见》（2004）文件的《实施意见》减负提质；贴近实际、贴近生活、贴近未成年人《国家中长期教育改革和发展规划纲要》的研制和酝酿坚持德育为先坚持能力为重坚持全面发展调整教材内容、科学设计课程难度深入研究、确定不同教育阶段学生必须掌握的核心内容原因3（诱因）——

争鸣的促进

2005年3月初的“两会”：数学课改引起争论

“这个‘新课标’改革的方向有重大偏差，课程体系完全另起炉灶，在实践中已引起教学上的混乱。”

——

姜伯驹.新课标让数学课失去了什么光明日报，2005-3-16

“课程改革对教材的处理不外乎两种类型：一是体系几乎不变，内容修修补补；二是在保持原来基本内容的基础上，重新构建新体系。……既然第一种方式仍存在着那么多问题，我们为什么不可以“另起炉灶”呢？”

——

何小亚.回应“姜伯驹：新课标让数学课失去了什么”

广东教育，2006（11）原因3（诱因）——争鸣的促进消弱了逻辑推理能力培养拓展几何教学内容数学味被冲淡了数学与生活情境相联系接受式教学不能放弃自主合作探究知识体系被打乱螺旋式上升（二）原课标修订的主要过程修订组主要研制人员主持人：史宁中（东北师范大学）马复（南京师范大学）王尚志（首都师范大学）刘晓玫（首都师范大学）张丹（北京教育学院）张英伯（北京师范大学）顾沛（南开大学）储瑞年（北京师范大学附属中学）马云鹏（东北师范大学）史宁中（东北师范大学）李文林（中科院数学所）张思明（北京大学附属中学）杨裕前（常州教育研究室）柳彬（北京大学）黄翔（重庆师范大学）修订组根据有关法律法规，结合课程改革实施以来的经验、教训，结合争鸣的问题，开展修订工作。（注：以姓氏笔画为序，共14人）

修订组调研和征求意见工作程序：采取全体会议、分组研究、分工写作、广泛调研等深入调研对海口、韶关、青岛、无锡、咸阳、灵武等地实际考察和问卷调查多种形式征求意见2006年9月，邀请中科院院士和数学家座谈，征求对修改稿的意见姜伯驹院士等教育部陈小娅副部长（三）原课标修订主要依据和原则1、原课标修订的主要依据国务院教育行政部门根据适龄儿童、少年身心发展的状况和实际情况，确定教学制度、教育教学内容和课程设置，改革考试制度，并改进高级中等学校招生办法，推进实施素质教育。胡锦涛：“提高学生的创新精神和实践能力”《义务教育法》第三十五条……要全面推进基础教育课程改革，改进培养模式、教育内容、教育方法，激发学生发展的内在动力，……提高学生的创新精神和实践能力。

——2006年8月29日在政治局集体学习时的讲话2、原课标修订的原则坚持课改的大方向重视实践与调查实事求是的态度加强课标可操作性处理好四个关系推进素质教育，促进全面发展修改基础建立在调查研究基础上充分讨论、认真分析准确、规范、明了过程与结果讲授与自学面向全体与因材施教生活化与知识系统性（四）新课标修改的主要关注点理念核心概念四基四能内容标准教学和自主学习（五）新课标的主要特点课程理念的改变与发展

数学内涵的重新界定、大众数学、义务教育数学课程性质、数学素养

突出数学的文化价值，培养学生的数学思考、创新精神和实践能力强调对学生数学素养的整体培养

突出了过程性目标与结果性目标的共同达成

核心概念的变化双基四基两能四能内容及其要求的适当调整处理好教学和自主学习的关系三、新课标的审议及出台

（2011.3.28-2011.5）

2010年年底至2011年年初，教育部在全国范围内征集对辛苦的意见和建议。此次意见征集范围非常广泛，共涉及全国16个基础教育课程研究中心、10多个省（市/自治区）、10家出版社及国家基础教育工作委员会咨询委员。共收集意见1000余条，这些意见为送审稿的进一步修订提供了很好的基础。全国范围内广泛征集对新课标的意见审议前期工作审议组专家组员：王利民（西北师范大学）孙晓天（中央民族大学）

宋乃庆（西南大学）严士健（北京师范大学）杜鸿科（陕西师范大学）吴正宪（北京教育科学研究院）张恭庆（中科院院士）顾泠沅（上海市教育科学研究院）唐盛昌（上海中学）主持人：宋乃庆（西南大学）（注：以姓氏笔画为序，共9人）审议过程第一环节集中审议（2011年3月28-31日）：形成标准专家个人审读意见第二环节通讯审议（2011年4月1日-3日）：形成第一轮审议修改意见（2011年4月4日-6日）：形成第二轮审议修改意见（2011年4月16日-18日）：审议结论及专家个人投票第三环节国家审定（2011年5月-11月）：教育部和国务院审定通过、颁布（三）审议稿的主要进步

梳理了数学界、数学教育界及社会对数学课程标准（实验稿、送审稿）的评议和各种意见，进行了认真、激烈的讨论，在和送审稿专家交换意见的基础上，对送审稿又做了适当的修改。1.课标充分肯定了实验稿、修改稿的进步与发展2.全面对修改稿的理念、核心概念、四基、四能、内容及其要求、教学和自主学习间关系的处理等问题进行讨论、审议，适当降低了估算等课程内容的难度3.修改并调整了案例，突出案例的示范性4.对课标的语言表述反复推敲，使语言更科学和规范实验稿2011版发展与变化问题与思考1.什么是“双基”？2.“双基”存在哪些争议？3.为什么要从“双基”发展为“四基”？4.什么是“四基”？二、从“双基”到“四基”的背景意义内容提要三、从“双基”到“四基”的发展变化四、结束语

一、“双基”的缘起和发展

一、“双基”的缘起和发展1952年3月，教育部颁发的《中学暂行规程(草案)》提出，中学教育的目标之一是使学生获得“现代科学的基础知识和技能”。这是中国现代教育史上首次提出“双基”的要求。

1952年12月，教育部颁布了新中国历史上第一个中学数学教学大纲《中学数学教学大纲(草案)》，规定“中学数学教学的目的是教给学生以数学的基础知识，并培养他们应用这种知识来解决各种实际问题所必须的技能和熟练技巧”，这是中国现代数学教育史上首次对“双基”提出要求。1956年《中学数学教学大纲（修订草案）》提出：“教给学生有关算术、代数、几何和三角的基础知识，培养他们应用这些知识解决各种实际问题的技能和技巧，发展他们的逻辑思维能力和空间想象能力”。一、“双基”的缘起和发展1963年《全日制中学数学教学大纲（草案）》规定“中学数学教学的目的是：使学生牢固地掌握代数、平面几何、立体几何、三角和平面解析几何的基础知识，培养学生正确而且迅速的计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力，以适应参加生产劳动和进一步学习的需要。”这一时期的数学试用教材编写时强调：“（1）对于进一步学习和参加生产劳动必需的基础知识和基本技能的各个主要方面，注意不使遗漏……（3）删去了原来课本中某些脱离实际、用处不大以及对进一步学习和参加生产劳动关系不大的内容……”一、“双基”的缘起和发展1982年的《全日制六年制重点中学数学教学大纲（征求意见稿）》提出，“要注意能力的培养——通过数学基础知识的教学和基本技能的训练，要重视培养学生的运算能力、逻辑思维力和空间想象力。同时，要注意培养学生获得数学知识和运用数学知识的能力，使学生逐步掌握数学中的一些思想方法”.1986年的《全日制中学数学教学大纲》提出，数学教学要“使学生学好从事社会主义建设和进一步学习现代科学技术必须的数学基础知识和基本技能，培养学生的运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力，以逐步形成运用数学知识分析和解决问题的能力”。一、“双基”的缘起和发展1988年的《九年义义务务教育全日制初级级中学数学教学大纲（初审稿）》首次对“双基”给出了明确具体的界定，即基础知识包括“概念、法则、性质、公式、公理、定理等，以及由其内容反映出来的数学思想和方法”；基本技能是“按照一定的程序与步骤来进行运算、作图、画图、简单的推理”。此后至2000《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（实验修订版）》，基本沿用了数学“双基”的这一界定。一、“双基”的缘起和发展2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》提出，数学教学要使学生“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能；初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识”。课程目标包括“知识与技能”、“数学思考”、“解决问题”、“情感与态度”。一、“双基”的缘起和发展2011年颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出，数学教学要使学生“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。”课程目标包括“知识技能”、“数学思考”、“解决问题”、“情感态度”。二、从“双基”到“四基”的背景（一）时代发展的召唤（二）课程改革的完善（三）学生发展的需要二、从“双基”到“四基”的背景意义（一）时代发展的召唤经过长期探索，“双基”已是我国（数学）教育目标的重要组成部分,“双基”教学已成为我国（数学）教学的特色和优势。中国学生在TIMSS、PISA等国际测试中表现良好，国外多数认为这是中国教育“双基”优势的一种体现。但是，以“应试”为目的的“双基”过度训练和固化，导致学生课业负担过重，使数学课堂教学价值失衡。

成绩双基应试分数能力（一）时代发展的召唤

为深入推进课程改革和素质教育，国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010-2020年)在义务教育阶段明确提出要“减轻中小学生课业负担”。这需要我们“扬长避短”，发挥“双基”优势的同时，关注基本思想和活动经验，培养学生创新意识和实践能力，克服“双基”不足！知识与技能过程与方法情感态度价值观学生二、从“双基”到“四基”的背景意义二、从“双基”到“四基”的背景意义（二）课程改革的完善“双基”更多是对数学原理、定理、概念、公式，以及运算、推理和证明的程序等结论性知识的反映。但是，数学的本质不仅在于它的结论，更在于它的思想。数学课程不仅应仅教给学生结论，也应该要教给学生数学思想、精神和活动经验。结论性知识数学思想、活动经验双基原理定理概念公式...推理运算证明...二、从“双基”到“四基”的背景意义（二）课程改革的完善部分教师在实践中有时片面地理解“双基”，往往见物不见人。“双基”——更看重知识与技能的物质性！而教育必须以人为本，“数学思想”和“数学活动经验”直接与人相关，二者的提出更看重人的需求与发展。“四基”——更关注学生的切实需求与发展！二、从“双基”到“四基”的背景意义（二）课程改革的完善“双基”主要对应三维目标中的“知识与技能”。另外两个目标——“过程与方法”和“情感态度与价值观”的则对应着数学的基本思想和基本活动经验。知识与技能；过程与方法；情感态度和价值观。过程与方法情感态度与价值观基本思想三维目标“四基”“双基”基本活动经验知识与技能二、从“双基”到“四基”的背景意义（三）学生发展的需要学生创新意识和实践能力的培养不能停留于掌握必要的数学基础知识和基本技能，还要学会数学的思考，在多样化的数学活动中积累经验、发展经验、反思经验。学生数学素养的发展并不能通过单纯地接受数学事实来实现，更需要通过对数学思想方法的领悟,对数学活动经验的条理化以及对数学知识的自我组织等活动来实现。三、从“双基”到“四基”的变化基础知识基本技能基础知识基本技能

基本思想基本活动经验（一）基础知识基本技能（二）基本思想（三）基本活动经验

三、从“双基”到“四基”的变化（一）基础知识基本技能九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（实验修订版），2000基础知识：数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。基本技能：能够按照一定的程序与步骤进行运算、作图或画图、进行简单的推理。“双基”内容需要与时俱进，增添估算、算法、数感、符号感、统计初步等内容。只坚持““双基””难以培养创新型和实践型人才。（★案例：数感）课标（2011版）数感是关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。案例11200张纸大约有多厚？你的1200步大约有多长？1200名学生站成的队形需要多大场地？案例2：0的认识西师版（一上）数感三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想“基本思想”是指人们对数学及其形成发展过程的基本看法和理性认识。它是对数学活动中问题、语言、方法和命题等知识成分及其间关系的抽象与概括，是对数学发展所依赖之思想的理性认识。

思想：①思维活动的结果。属于理性认识。一般也称“观念”。人们的社会存在，决定人们的思想。②想法；念头。③进行思维活动。《辞海》三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想基本思想数学思想方法≠基本思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。数学思想方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。

“数学思想方法”更多地让人联想到的就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。如换元法、代入法、配方法等。三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想基本思想包括哪些方面？抽象从许多事或物中，单纯提取某一数学特性加以认识的过程。是形成概念的必要手段。推理从一个或几个已有数学事实或规则，运用特定方法或法则，推断出某些数学结论的思维过程。是数学的基本思维方式。模型根据特定目的和问题，采用数学语言表征所研究对象的主要特征、关系等的一种数学结构。是联系数学与外部世界的基本途径。审美对数学美（如简洁、和谐、统一、对称等）的感受、领会和欣赏。是认识和掌握数学的重要方式之一。三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想抽象从许多事或物中，单纯提取某一数学特性加以认识的过程。是形成概念的必要手段

。分类思想集合思想对应思想变中有不变思想符号化思想有限无限思想……手指记数VS.符号记数小学数学教科书中数的认识三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想抽象分类是指将对象按特定属性划分类别，使其更有规律。分类思想集合思想对应思想变中有不变思想符号化思想有限无限思想……案例1：说一说，可以怎样分？案例2：小数除法可分为几类？按除数分：除数是整数的小数除法和除数是小数的小数除法三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想抽象集合是指具有某种共同性质的数学对象的总体。分类思想集合思想对应思想变中有不变思想符号化思想有限无限思想……案例2：两种都喜欢案例1：12的因数有哪些？12

4

6

12三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想抽象对应是指一个集合中的任意元素，在特定法则的作用下，可得到另一集合中的一个（或多个）元素。分类思想集合思想对应思想变中有不变思想符号化思想有限无限思想……案例1：帽子少了吗？案例2：自然数和偶数一样多吗？三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想抽象变中不变即指一系列对象的某些属性是不同的，但其中有一些属性却是一致的。分类思想集合思想对应思想变中有不变思想符号化思想有限无限思想……案例2：三角形面积公式案例1：这都是“2”三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想抽象符号化即是用特定符号表述特定对象的某方面属性或规律的过程。可简化数学过程，加快思维速度，促进思想交流。分类思想集合思想对应思想变中有不变思想符号化思想有限无限思想……案例2：《九章算术》方程章第1问今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？案例1：你知道+、—、>、<……代表什么含义吗？三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想抽象无限只能通过有限而存在，但它不能归结为有限的简单的量的总和，而有限中则包含着无限

。分类思想集合思想对应思想变中有不变思想符号化思想有限无限思想……案例1：长城长？案例3：0.999……=1？案例2：直线有多长？怎么画直线？三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想推理归纳思想类比思想数形结合思想逐步逼近思想演绎思想化归思想运筹思想公理化思想……从一个或几个已有数学事实或规则，运用特定方法或法则，推断出某些数学结论的思维过程。是数学的基本思维方式。我们都可以是“福尔摩斯”三、从“双基”到“四基”的变化推理归纳是指由一系列具体事实概括出一般原理的一种推理形式。可完全归纳和不完全归纳。归纳思想类比思想数形结合思想逐步逼近思想演绎思想化归思想运筹思想公理化思想……凸n多边形的内角和是多少?案例：四边形2×180o五边形3×180o六边形4×180o……凸n边形（n-2）×180o（二）基本思想三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想推理类比指由系列对象某些相同的属性推断它们在其他属性上也可能相同的一种合情推理形式。归纳思想类比思想数形结合思想逐步逼近思想演绎思想化归思想运筹思想公理化思想……案例2：阴影部分的面积是多少？案例1：“底乘高”可类比吗？三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想推理数形结合是指把抽象的数学语言、数量关系等与直观的几何图形、位置关系等结合起来。归纳思想类比思想数形结合思想逐步逼近思想演绎思想化归思想运筹思想公理化思想……案例：平方差公式三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想推理逐步逼近是指由减弱的特殊情况开始，通过不断地发展和完善等，趋近真理的过程。归纳思想类比思想数形结合思想逐步逼近思想演绎思想化归思想运筹思想公理化思想……案例：圆的面积πr三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想推理演绎是从一些假设的命题或已有认识出发，运用逻辑的规则，导出另一命题的推理形式。归纳思想类比思想数形结合思想逐步逼近思想演绎思想化归思想运筹思想公理化思想……案例2：正多面体只有如下五种！

柏拉图将其朋友特埃特图斯告诉他的五种正多面体写在《蒂迈欧篇》(Timaeus)内。欧几里得将正多面体的作法收录于《几何原本》，并给出了几何证明。其证明有很多种！案例1：质数有无穷个？

三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想推理指面对特定数学问题时，通过某种（些）手段不断将问题简化，进而解决的思想。归纳思想类比思想数形结合思想逐步逼近思想演绎思想化归思想运筹思想公理化思想……同圆中相等的弧所对的圆周角等于圆心角的一半。案例2：案例1：4.2×6=？三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想推理运筹指为特定目的，在某些限制条件下寻求最优解决方案的筹划过程。归纳思想类比思想数形结合思想逐步逼近思想演绎思想化归思想运筹思想公理化思想……案例1：田忌赛马案例2：烙饼问题（小学数学四年级上）三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想推理公理化指从不加证明的原始命题（即公理）出发，按逻辑规则推导出其他命题，并建立演绎系统的过程。归纳思想类比思想数形结合思想逐步逼近思想演绎思想化归思想运筹思想公理化思想……案例：三角形全等的判定边边边(设为公理)角边角（定理）边角边（定理）三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想模型根据特定目的和问题，采用数学语言表征所研究对象的主要特征、关系等的一种数学结构。简化思想量化思想函数思想方程思想优化思想统计思想……案例1：爱因斯坦质量方程案例2：三角形面积=底×高÷2三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想模型简化是在不改变对象质的规定性、不降低对象功能的前提下，减少对象多样性、复杂性的过程。简化思想量化思想函数思想方程思想优化思想统计思想……案例：代数中解一元方程的简化路径例如三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想模型量化是指将事物或事物间关系用数量的形式加以度量和描述。简化思想量化思想函数思想方程思想优化思想统计思想……案例2：二进制与计算机案例1：曹冲称象三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想模型函数是指某变化过程所涉及的多个对象间存在的某种特殊对应关系。简化思想量化思想函数思想方程思想优化思想统计思想……案例1：小学的“映射”案例2：平面上，周长一定的长方形中，哪一个面积最大?三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想模型方程是表示两个数学式间相等关系的式子。简化思想量化思想函数思想方程思想优化思想统计思想……案例：一位中学毕业生在上海和平饭店当电工。他发现地下室控制的12楼房间空调器的温度和实际温度有差异。后发现原因在于连结控制室和12楼的三根导线不一样长，因而电阻不同。如何测出每根导线的电阻呢？三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想模型优化是在有限种或无限种可行方案(决策)中挑选最优的方案(决策)。简化思想量化思想函数思想方程思想优化思想统计思想……案例1：脸部的黄金分割案例2：算法多样化与算法优化三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想模型统计是指对与某一现象有关的数据的搜集、整理、计算和分析等。简化思想量化思想函数思想方程思想优化思想统计思想……案例1：最喜欢的球类活动案例2：课外兴趣小组人数三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想审美简洁思想统一思想和谐思想对称思想……对数学美（如简洁、和谐、统一、对称等）的感受、领会和欣赏。是认识和掌握数学的重要方式之一。分形之美自相似：部分与整体相似三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想审美简洁指没有多余、高效。简洁思想统一思想和谐思想对称思想……案例1：钱币只有1、2、5、10的面值!案例2：乘法口诀表与数学语言简洁美三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想审美统一即将众多对象按特定标准合为一体。简洁思想统一思想和谐思想对称思想……案例1:其中F为任一凸多面体的面数、V为顶点数、E为棱数。案例2:它们的体积都是底面积乘以高三、从“双基”到“四基”的变化（二）基本思想审美和谐是不同（甚至对立）事物之间在一定的条件下的辩证统一。简洁思想统一思想和谐思想对称思想……案例：欧拉公式（二）其中e为自然对数的底，π为圆周率，i