第一章数学建模简介

1什么是数学建模2数学建模示例3数学建模的方法和步骤4数学建模竞赛简介第一章数学建模简介通过抽象和简化，使用数学语言对实际对象的刻画，以便于人们更深刻地了解所研究的对象,从而更有效地解决实际问题。建立数学模型的全过程（包括模型假设，模型表述、问题求解、结果解释、结论检验等）数学模型(MathematicalModel)数学建模（MathematicalModeling)1什么是数学建模你身边的数学模型：购房贷款作为房产公司的代理人，你要迅速准确回答客户各方面的问题。现在要制作一个软件，根据客户所选房屋的建筑面积、每平方米单价、首付比例，贷款种类、贷款期限、还款方式等信息计算下列信息：房款总额、首付款额、月还款额等。房地产：热了10多年时寒冰：中国应做好楼市崩盘的准备(2011-09-08)谢国忠：今年房价下跌25%未来三年或跌50%(2012-2-2)茅于轼：房地产已无药可救，房价下降50%不过分(2012-2-24)牛刀：房价泡沫正在破灭(2012-06-10)曹建海：2012年底若房价上涨是崩盘前奏(2012-08-25)任志强：中国房地产还要火20年(2012-10-23)张五常：中国房地产市场不存在泡沫(2012-12-16)王石:楼市泡沫太危险45倍年薪买房是灾难(2013-3-6)叶檀：中小城市楼市岌岌可危难逃泡沫崩溃(2014-2-17)郎咸平：今后的楼市必然是有涨有跌，多样化发展

(2014-9-9)分析与假设贷款种类:[1]商业[2]公积金[3]组合(一般)还款方式:等额本息,等额本金假设首付比例、贷款期限符合政府规定假设自借款日一个月后，每月固定时间还款不考虑贷款利率的变化（当前计算结果贷款利率改变以后失效）数学建模房款总额T=建筑面积S×每平方米单价R首付款额F=房款总额T×首付比例p考虑组合贷款(其他为特例)。设公积金贷款AT-F元，那么商业贷款为B=T-F-A元设后台变量：公积金贷款N1月，年利率r1，商业贷款N2月，年利率r2。月还款额怎么算？概念：月利率=年利率/12等额本息情形设公积金月还M元，第n个月公积金贷款欠款xn.那么xn=xn-1(1+r1/12)-M,计算得xn=xn-2(1+r1/12)2-M(1+r1/12)-M

=…=x0(1+r1/12)n-M[(1+r1/12)n-1+…+1]由于x0=A,xN1=0.那么A

(1+r1/12)N1-12M[(1+r1/12)N1-1]/r1=0这样M=Ar1(1+r1/12)N1

/12/[(1+r1/12)N1-1]同理可以计算商业贷款月还款额第n月还款额公式等额本金情形月还本贷款本金／还款月数，利息月月清月还款额＝（贷款本金／还款月数）＋（所欠本金×当月利率）第一个月公积金月还A/N1+Ar1/12第二个月公积金月还A/N1+(A-A/N1)r1/12….第N1个月公积金月还A/N1+A[1-(N1-1)/N1]r1/12第n月还款额公式后继工作/例子收集数据，编写软件(界面\计算)，写说明书。例子:80平米,单价15000元,首付30%,公积金40万,期限20年,第一套房商业利率6.55%*0.85,公积金利率4.5%(2012年7月6日至今).[T,F,M]=hmorgage2013(80,15000,0.3,400000,240,240,1)等额本息(1):5574元/月(总借84万，约还134万)等额本金(2):7041，7027，…,3515(约还127万)function[T,F,M]=hmorgage2013(S,R,p,A,N1,N2,type)r1=4.5/100;r2=6.55/100*0.85;T=S*R;F=T*p;B=T-F-AN=max(N1,N2);L=(1:N)';iftype==1,M1=A*r1/12*(1+r1/12)^N1/[(1+r1/12)^N1-1]M2=B*r2/12*(1+r2/12)^N2/[(1+r2/12)^N2-1]M=M1*(L<=N1)+M2*(L<=N2);elseiftype==2,M1=A*(1/N1+r1/12*(1-(L-1)/N1)).*(L<=N1);M2=B*(1/N2+r2/12*(1-(L-1)/N2)).*(L<=N2);M=M1+M2;endMatlab程序习题习题1:如果是第二套住房，且全部为商业贷款（基准利率*1.1）,等额本息每个月要付多少?习题2:如果原案例（第一套）是2013年3月1日贷款买房，并假设2014年底利率调整为：商业基准利率为6.14%，公积金利率4.05%，那么2015年的月还款将调整为多少？(提示：存量房贷利率每年1月1日调整一次)一句话小结只要你留意，数学建模就在你身边数学建模正在不断更新中场景2示例：

如何施救药物中毒两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量100mg/片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状.按照药品使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是100~200mg，儿童是3~5mg/kg.过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量)过高，浓度100μg/ml会出现严重中毒,浓度200μg/ml可致命.医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100~200μg/ml；如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案.调查与分析转移率正比于x排除率正比于y胃肠道血液系统口服药物体外认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型”

.药量x(t)药量y(t)血液系统对药物的吸收率和排除率可以由半衰期(下降一半所需时间)确定.半衰期可以从药品说明书上查到(氨茶碱被吸收的半衰期为5h，排除的半衰期为6h)

.通常，血液总量约为人体体重的7%

~8%，体重50~60kg的成年人有4000ml左右的血液.目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认为其血液总量约为2000ml.调查与分析血药浓度=药量/血液总量

口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率增加到原来（人体自身）的2倍.临床施救的办法：

体外血液透析，药物排除率可增加到原来的6倍，但是安全性不能得到充分保证.模型假设

1.胃肠道中药物向血液的转移率与x(t)成正比，比例系数λ(>0)，总剂量1100mg药物在t=0瞬间进入胃肠道,x(0)=1100.2.血液系统中药物的排除率与y(t)成正比，比例系数μ(>0)，t=0时血液中无药物,y(0)=0.3.氨茶碱被吸收的半衰期为5h，排除的半衰期为6h.4.孩子的血液总量为2000ml.胃肠道中药量x(t),血液系统中药量y(t)，时间t以孩子误服药的时刻为起点（t=0）.模型建立转移速率正比于x排除速率正比于y胃肠道血液系统口服药物体外药量x(t)药量y(t)???注意:药物的转移\排除并不是匀速的!模型建立x(t)下降速度与x(t)成正比(比例系数λ),转移速率正比于x排除速率正比于y胃肠道血液系统口服药物体外药量x(t)药量y(t)y(t)由吸收而增长的速度是λx，由排除而减少的速度与y(t)成正比(比例系数μ).血药浓度=药量/血液总量x(0)=1100y(0)=0模型求解

药物吸收的半衰期为5h药物排除的半衰期为6h只考虑血液对药物的排除血液总量2000ml血药浓度200μg/ml结果及分析胃肠道药量血液系统药量血药浓度100μg/mly(t)=200mg严重中毒y(t)=400mg致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，约3h后将有生命危险！y(2)=236.5施救方案

口服活性炭使药物排除率μ增至原来的2倍.

孩子到达医院(t=2)就开始施救，血液中药量记作z(t)λ=0.1386(不变)，μ=0.1155×2=0.2310注意：施救前的

μ与施救后的

μ不同，须分段计算！施救方案

t=5.26z=318

施救后血液中药量z(t)显著低于y(t).

z(t)最大值低于致命水平.

要使z(t)在施救后立即下降，可算出μ至少应为0.4885.若采用体外血液透析，μ可增至0.1155×6=0.693，血液中药量下降更快(习题)；临床上是否需要采取这种办法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定.一句话小结数学建模用数学方法可以帮助我们（以较低的成本）对情况的发展做预判，从而帮助我们做出正确的决策。数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对实际对象的刻画，以便于人们更深刻地了解所研究的对象,从而更有效地解决实际问题。习题姜启源等，数学模型（第四版），高等教育出版社，2011P21ex6：利用药物中毒施救模型确定对于孩子(血液容量为2000ml)以及成人(血液容量为4000ml)服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。

P21ex7：如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液中药量的变化并作图。3.数学建模的方法与步骤机理分析方法：初等分析、微积分、常微分方程、偏微分方程、运筹学（线性规划、非线性规划、整数规划、图论）、概率论等；数据拟合方法：层次分析、插值与拟合、统计分析(回归分析、时间序列、聚类)、神经网络等；计算机模拟方法：遍历法（枚举法）、随机模拟法（蒙特卡洛法）、遗传算法等。模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验模型应用数学建模的步骤数学应用题与数学建模的区别数学应用题数学建模问题来源数学教学实际背景问题条件明确清晰不完全明确，需要作进一步了解或假设解决方法多种多种问题结论有标准答案有参考解答但无标准答案。不同的假设下有不同的模型和结论4.数学建模竞赛简介1985年美国数学建模竞赛(MCM).1989年我国参加MCM.1992年中国大学生数学建模竞赛（CUMCM)

创办2004年全国研究生数学建模(NPMCM)竞赛创立2014年9月12-15日，全国及新加坡和美国1338所高校的25347支队伍的7万多名大学生参加CUMCM

。2014年9月19-22日，全国5000多队15000多研究生参加NPMCM.有哪些数学建模竞赛？美国数学建模竞赛（MCM和ICM）2月东华大学数学建模选拔赛（DHMCM）5月全国数学建模夏令营6-7月全国大学生数学建模竞赛（CUMCM）9月全国高校研究生数学建模竞赛9月华东地区部分高校大学生数学建模联赛4月数学中国杯数学建模挑战赛，每年4-6月举行数学建模竞赛的竞赛题竞赛的题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求预先掌握深入的专门知识，而具有较大的灵活性供参赛者发挥。数学建模竞赛题设计要求参赛选手运用数学、计算机技术和问题背景学科等方面知识，解决极富挑战性的实际问题。通常竞赛题有多题，各参赛队从中任选一题。数学建模竞赛的评奖没有事先设定的标准答案，多名专家从以下几个方面来综合评定（1）问题分析及假设的合理性10%；（2）模型的正确性和创造性40%；（3）运算结果的准确性20%；（4）结论和讨论的科学性20%；（5）摘要和论文表达的清晰性等10%。数学建模竞赛的参赛形式开卷形式的通讯比赛，可以使用任意图书资料和互联网，自由的收集资料、调查研究。由三名学生组成一队，各参赛队任选一竞赛题。在三、四天时间内，团结合作、奋力攻关，完成一篇数学建模全过程的论文。近年来的NPMCM题2014A小鼠视觉感受区电位信号研究2014B机动目标的跟踪与反跟踪2014C无线通信中的快时变信道建模2014D从人体营养健康角度研究中国果蔬发展战略2014E乘用车物流运输计划问题近年来的NPMCM题2013A变循环发动机部件法建模及优化2013B功率放大器非线性特性及预失真建模2013C微蜂窝环境中无线接收信号的特性分析2013D空气中PM2.5问题的研究2013E中等收入定位与人口度量模型研究2013F可持续的中国城乡居民养老保险体系的数学模型研究数学建模竞赛的意义培养选手进行科学研究的能力培养选手通过研究学习新知识的能力培养选手勇于创新、理论联系实际的学风培养选手相互协调、团结合作的精神给予选手高强度脑力劳动中挑战极限的体验成功参赛的要素