第七章应力状态及强度理论

材料力学中国地质大学工程学院力学课部

石奎§9–１应力状态的概念一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？PP铸铁拉伸

P铸铁压缩M铸铁低碳钢2、组合变形杆将怎样破坏？MP三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。

单元体的性质——a、每个平面上应力均匀分布；

b、任一平行平面上应力相等。二、一点的应力状态：

过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态。xyz四、普遍状态下的应力表示

五、剪应力互等定理:

过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。xyztzx六、原始单元体（已知单元体）：例1

画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxztxytyx七、主单元体、主面、主应力：主单元体(Principalbidy)：

各侧面上剪应力均为零的单元体。主平面(PrincipalPlane)：

剪应力为零的截面。主应力(PrincipalStress

）：

主平面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，单向应力状态：

一个主应力不为零的应力状态。

平面应力状态（二向应力状态）：

一个主应力为零的应力状态。空间应力状态(三向应力状态)

：

三个主应力都不为零的应力状态。AsxsxtzxsxsxBtxz研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力状态可以：

1.

了解材料发生破坏的力学上的原因，例如：低碳钢拉伸时的屈服(yield)现象是由于在切应力最大的45˚

斜截面上材料发生滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭转破坏是由于在45˚

方向拉应力最大从而使材料发生断裂(fracture)所致。

2.

在不可能总是通过实验测定材料极限应力的复杂应力状态下，如图所示,应力状态分析是建立关于材料破坏规律的假设(称为强度理论)(theoryofstrength,failurecriterion)的基础。§9–2平面应力状态分析——解析法sxtxysyxyzxysxtxysyO左上图中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef以它的外法线n与x轴的夹角a定义。一、任意斜截面上的应力规定：

截面外法线同向为正；ta使研究对象顺时针转为正；a逆时针为正。sxxytxysyOefsytyxsxsataaxyOtnefbtxy设：斜截面ef的面积为dA，则体元左侧面eb的面积为dA·cosa，而底面bf

的面积为dA·sina，由分离体平衡得：

sytyxsxsataaxyOtnefbtxyxysxtxysyO考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：sytyxsxsataaxyOtnefbtxy二、极值应力xysxtxysyO´´xysxtxysyO在剪应力相对的项限内，且偏向于x

及y大的一侧。222xyyxminmaxtsstt+-±=îíì

¢

¢）（试求（1）斜面上的应力；

（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例题1：一点处的平面应力状态如图所示。已知解：（1）斜面上的应力（2）主应力、主平面主平面的方位：代入表达式可知主应力方向：主应力方向：（3）主应力单元体：例2

分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原始单元体求极值应力txyCtyxMCxyOtxytyx破坏分析低碳钢铸铁讨论低碳钢和铸铁的破坏！§9–3

平面应力状态分析——图解法对上述方程消去参数（2），得：一、应力圆（

StressCircle）xysxtxysyO此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：OttoMohr引入）sytyxsxsataaxyOtnefbtxy建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法在坐标系内画出点A(x，xy)和B(y，yx)

AB与sa

轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力(，)

应力圆上一点(，)面的法线应力圆的半径两面夹角两半径夹角2

；且转向一致。四、在应力圆上标出极值应力OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3例:用应力圆法求：1)a=30o斜截面上的应力；2)主应力及其方位；3)极值剪应力。403020单位：MPaxasatasOtD(30,-20)D'(-40,20)C60o(29.8,20.3)35.3-45.329.8o40.3-40.3例3

求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)解：主应力坐标系如图AB的垂直平分线与sa

轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆AB

120s3s1s2BAC2

0sata(MPa)(MPa)O20MPa在坐标系内画出点s3s1s2BAC20sata(MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图

102AB解法2—解析法：分析——建立坐标系如图60°xyO§9–4三向应力状态研究——应力圆法s2s1xyzs31、空间应力状态例如图a中所示垂直于主应力s3所在平面的斜截面，其上的应力由图b所示分离体可知，它们与s3无关，因而显示这类斜截面上应力的点必落在以s1和s2作出的应力圆上(参见图c)。(b)(c)221112s3s2s2s1s1s3s1s2s3C1C3s1s2t12t23t13C2s3Otss2s1xyzs3弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b整个单元体内的最大剪应力为：tmaxs2s1xyzs3应变分量的正负为了与应力分量的正负相一致，规定：

1、线应变：

ex,ey,ez以伸长变形为正，

2、切应变：

gxy,gyz,gzx以使单元体的直角∠xoy,∠yoz,∠zox减小为正。§9–5复杂应力状态下的应力--应变关系

——（广义虎克定律）本节讨论在线弹性范围内，且为小变形的条件下，应力分量与应变分量之间的关系。一、单拉下的应力--应变关系二、纯剪的应力--应变关系xyzsxxyz

x

y三、复杂状态下的应力---应变关系依叠加原理,得:

xyzszsytxysx主应力---主应变关系四、平面状态下的应力---应变关系:方向一致s1s3s2主应力与主应变方向一致?主应变：指一点处各方位线应变中的最大与最小值。五、体积应变与应力分量间的关系体积应变：体积应变与应力分量间的关系:s1s3s2a1a2a3例

已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6，

2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。所以，该点处的平面应力状态。变形比能（讨论线弹性情况）在三向应力状态下，弹性变形能仍等于外力的功，且只取决于外力和变形的最终值，与中间过程无关。变形比能u：单位体积的变形能在单向拉伸情况下，力从

0

F，变形由

0

DL，变形能(外力所做的功)

：U=FDL/2。

F-DL曲线DLFFDL/2§9－6复杂应力状态下的变形比能可假定三个主应力按比例同时从零增加到最终值，则弹性变形比能u可写为：利用广义虎克定理，有：类似有：体积改变比能和形状改变比能

变形比能形状改变比能体积改变比能得到变形比能为：三向等拉的情况

只有体积改变由上式有：231图a

mmm图b2

31-

m-m-m图c形状改变比能(一般情况)为：231图a

mmm图b2

31-

m-m-m图c体积应变：Ａ13例用能量法证明三个弹性常数间的关系。、纯剪单元体的比能为：、纯剪单元体比能的主应力表示为：一、引子：§9–7强度理论及相当应力1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M铸铁PP铸铁拉伸P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP低碳钢（拉压）（弯曲）（正应力强度条件）（弯曲）（扭转）（切应力强度条件）1.杆件基本变形下的强度条件满足是否强度就没有问题了？强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。

为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。构件由于强度不足将引发两种失效形式

(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生突然断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于断裂的强度理论：①最大拉应力理论②最大伸长线应变理论

(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。③最大切应力理论④形状改变比能理论关于屈服的强度理论:

二、四个强度理论Ⅰ.最大拉应力（第一强度）理论：认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。1、破坏判据：2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。

Ⅱ.最大伸长线应变（第二强度）理论：

认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。1、破坏判据：2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合。Ⅲ.最大剪应力（第三强度）理论：认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。1、破坏判据：2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。未考虑的影响，试验证实最大影响达15%；不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。Ⅳ.形状改变比能（第四强度）理论：认为构件的屈服是由形状改变比能引起的。当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时，构件就破坏了。1、破坏判据：2、强度准则3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。比第三强度理论更符合试验结果。三、相当应力：（强度准则的统一形式）。其中，

*—相当应力。§9–9强度理论的应用一、强度计算的步骤：1、外力分析：确定所有的外力值。2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体，求主应力。4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行强度计算。二、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。①当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；②当最小主应力小于零而最大主应力大于零时，使用莫尔理论。③当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。1、脆性材料：3、简单变形时：2、塑性材料：4、破坏形式还与温度、变形速度等有关！其它应力状态时，使用第三或第四理论。当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；一律用与其对应的强度准则。如扭转，都用：解：危险点A的应力状态如图：例1

直径为d=0.1m的圆杆受力如图，T=7kNm，P=50kN,为铸铁构件，[]=40MPa，试用第一强度理论校核杆的强度。PPTTAA故，安全。APPTT例2

薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4，y=7.3710-4，已知钢的E=210GPa，[]=170MPa，泊松比=0.3，试用第三强度理论校核其强度。解：由广义虎克定律得:AsxsyxyAAsxsyxyA所以，此容器不满足第三强度理论。不安全。一、组合变形：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同一量基时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合变形。§8-１概述ＭPR组合变形

gh组合变形组合变形一、组合变形的研究方法——叠加原理:①、外力分析：外力向形心(后弯心)简化并沿主惯性轴分解②、内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。③、应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度条件。二、连接件的实用计算连接件：铆钉、螺栓、键、榫头等起连接作用的部件。F螺栓、铆钉键榫头、焊接

工程计算中常按连接件和构件在连接处可能产生的破坏情况，作一些简化的计算假设（例如认为螺栓和铆钉的受剪面上切应力均匀分布）得出名义应力（nominalstress）,然后与根据在相同或类似变形情况下的破坏试验结果所确定的相应许用应力比较，从而进行强度计算。这就是所谓工程实用计算法（engineeringmethodofpracticalanalysis）。§8-2

双对称截面梁在两个相互垂直平面内的弯曲具有双对称截面的梁，它在任何一个纵向对称面内弯曲时均为平面弯曲。故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向外力作用时，在线性弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。图示悬臂梁x截面上的弯矩和任意点C处的正应力为：由于水平外力F1

由于竖直外力F2弯曲正应力弯矩My(x)=F1x

Mz(x)=F2(x-a)这里弯矩的正负号系根据图b所示，由右手螺旋法则按它们的矢量其指向是否与y轴和z轴的指向一致来确定的。在F1和F2共同作用下x截面上C点处的正应力为利用上式固然可求算x截面上任意点处的弯曲正应力，但对于图中所示那类横截面没有外棱角的梁，由于My单独作用下最大正应力的作用点和Mz

单独作用下最大正应力的作用点不相重合，所以还不好判定在My和Mz共同作用下最大正应力的作用点及其值。

注意到在F1作用下x截面绕中性轴y转动，在F2作用下x截面绕中性轴z转动,可见在F1和F2共同作用下，x截面必定绕通过y轴与z轴交点的另一个轴转动，这个轴就是梁在两个相互垂直平面内同时弯曲时的中性轴，其上坐标为y，z的任意点处弯曲正应力为零。故有中性轴的方程：中性轴与y轴的夹角q（图a）为其中j角为合成弯矩与y的夹角。这就表明，只要Iy≠Iz

，中性轴的方向就不与合成弯矩M的矢量重合，亦即合成弯矩M所在的纵向面不与中性轴垂直，或者说，梁的弯曲方向不与合成弯矩M所在的纵向面重合。正因为这样，通常把这类弯曲称为斜弯曲（obliquebending）。对于图示悬臂梁，试问：4.该梁自由端的挠度（大小和方向）如何计算？2.在固定端处梁的中性轴又大致在什么方向？3.在固定端和F2作用截面之间，梁的中性轴的方向是否随横截面位置变化？1.外力F2作用截面处梁的中性轴在什么方向？思考:例题8-1

图示20a号工字钢悬臂梁（图a）上的均布荷载集度为q

(N/m)，集中荷载为。试求梁的许可荷载集度[q]。已知：a=1m;20a号工字钢：Wz=237×10-6m3，Wy=31.5×10-6

m3；钢的许用弯曲正应力[s]=160MPa。x()解：1.将集中荷载F沿梁的横截面的两个对称轴分解为()x2.作梁的计算简图（图b），并分别作水平弯曲和竖直弯曲的弯矩图—My图和Mz

图（图c,d）。3.确定此梁的危险截面。

A截面上My最大，MyA=0.642qa2,该截面上Mz虽不是最大，但因工字钢Wy<<Wz

，故A截面是可能的危险截面。D截面上Mz

最大：故D截面也是可能的危险面。为确定危险截面，需比较A截面和D截面上的最大弯曲正应力。MzD=0.456qa2

，MyD=0.444qa2，且zMzAyzMyAyzyD1D2由于，可见A截面为危险截面。危险点在A截面上的外棱角D1和D2处。根据强度条件，有

（21.5×10-3)q≤160×106Pa4.求许可荷载集度[q]。于是有[q]=7.44×103N/m=7.44kN/m从而得例8-2、矩形截面木檩条如图，跨长L=3m,受集度为q=800N/m的均布力作用，[]=12MPa，b=120mm，h=160mm,E=9GPa，试校核梁的强度。解：①、外力分析——分解q②校核强度Wy=0.0512m3,Wz=0.0384m3

§8－3

拉伸(压缩)与弯曲的组合变形Ⅰ.横向力与轴向力共同作用图a为由两根槽钢组成的杆件，受横向力F和轴向力Ft作用时的计算简图，该杆件发生弯曲与拉伸的组合变形。轴向拉力会因杆件有弯曲变形而产生附加弯矩，但它与横向力产生的弯矩总是相反的，故在工程计算中对于弯一拉组合变形的构件可不计轴向拉力产生的弯矩而偏于安全地应用叠加原理来计算杆中的应力。图a所示发生弯一拉组合变形的杆件，跨中截面为危险截面，其上的内力为FN=Ft，。该横截面上与轴力FN对应的拉伸正应力st为均匀分布(图b)，

，而与最大弯矩Mmax对应的弯曲正应力在上、下边缘处(图c)，其绝对值。在FN

和Mmax共同作用下，危险截面上正应力沿高度的变化随sb和st的值的相对大小可能有图d,e,f三种情况。危险截面上的最大正应力是拉应力：注意到危险截面最大拉应力作用点（危险点）处为单向应力状态，故可把st,max直接与材料的许用正应力进行比较来建立强度条件。例题8－2

图a所示折杆ACB由钢管焊成，A和B处铰支,C处作用有集中荷载F=10kN。试求此折杆危险截面上的最大拉应力和最大压应力。已知钢管的外直径D=140mm，壁厚d=10mm。

解：1.约束力FA=FB=5kN。折杆的受力图如图b。根据对称性，只需分析折杆的一半，例如AC杆；将约束力FA分解为FAx

=3kN和FAy=4kN后可知，AC杆的危险截面为m-m(图b)，其上的内力为FN=-FAx=-3kNMmax=FAy×2=8kN·m

可见此杆产生弯一压组合变形。现按大刚度杆来计算应力。

2.AC杆危险截面m-m上的最大拉应力st,max和最大压应力sc,max分别在下边缘f点处和上边缘g点处(图b)：

（a）3.根据钢管的横截面尺寸算得：或4.将FN和Mmax以及A和W的值代入式(a)得注意，在弯一压组合变形情况下，|sc,max

|>st,max,故对于拉、压许用应力相等的情况，建立强度条件时应以|sc,max

|与许用正应力进行比较。倘若材料的许用拉应力[st]小于许用压应力[sc]，则应将st,max和|sc,max|分别与[st]和[sc]比较。二、偏心拉伸（压缩）：作用在直杆上的外力与杆的轴线平行且不重合，将引起偏心拉伸或压缩。PMZMy二、应力分析：三、中性轴方程对于偏心拉压问题中性轴在形心主惯性轴y，z上的截距四、横截面上危险点的位置1.有棱角横截面2.无棱角横截面对于没有外棱角的截面，为找出横截面上危险点的位置，可在确定中性轴位置后作平行于中性轴的直线使与横截面周边相切(图b)，切点D1和D2分别就是最大拉应力和最大压应力的作用点，根据它们的坐标即可确定最大拉应力和最大压应力的值。横截面有外棱角的杆件受偏心拉伸时，危险点必定在横截面的外棱角处。(b)五、截面核心土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不允许横截面上出现拉应力。这就要求偏心压力只能作用在横截面形心附近的某个范围内；这个范围称之为截面核心（coreofsection）。要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力，那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时偏心压力作用点的位置来确定的。图中所示任意形状的截面，y轴和z轴为其形心主惯性轴。为确定截面核心的边界(图中的封闭曲线1-2-3-4-5-1)，可作一系列与截面周边相切和外接的直线把它们视为中性轴。得出每一与圆边相切或外接的直线（中性轴）所对应的偏心压力作用点的位置，亦即截面核心边界上相应点的坐标ryi,rzi根据这些直线中每一直线在y轴和z轴上的截距ayi和azi即可由前面已讲过的中性轴在形心主惯性轴上截距的计算公式连接这些点所得封闭曲线其包围的范围就是截面核心。应该注意的是，截面核心的每一边界点与对应的截面周边上的切线和外接的直线（中性轴）总是位于截面形心的相对两侧。(1)圆截面的截面核心：圆截面对圆心（形心）O是极对称的，因而其截面核心的边界必然也是一个圆心为O的圆。作一条如图所示与截面周边相切的直线①，它在形心主惯性轴y和z上的截距为而对于圆截面有从而这就是截面核心边界上点1的坐标。以O为圆心，以d/8为半径所作的圆其包围的范围就是圆形截面的截面核心。一个外直径为D，内直径为D/2的空心圆截面，试检验该截面的：2.该截面核心为半径等于的圆。思考:

1.对于形心主惯性轴的惯性半径为,(2)矩形截面的截面核心图中y轴和z轴为矩形截面的形心主惯性轴。对于这两根轴的惯性半径iy和iz的平方为作与周边相切的直线①,②,③,④，将它们视为中性轴，根据它们在形心主惯性轴y,z上的截距便可求得截面核心边界上的相应点1，2，3，4。现以计算与周边上切线①相应的核心边界点1的坐标ry1，rz1例作具体计算：截距核心边界点坐标对应于周边上其他三条切线的截面核心边界点的坐标可类似地求得，并也已标注以图中。现在的问题是,确定截面核心边界上的四个点1，2，3，4后，相邻各点之间应如何连接。实际上这就是说，当与截面相切的直线（中性轴）绕截面周边上一点旋转至下一条与周边相切的直线时，偏心压力的作用点按什么轨迹移动。现以切线①绕B点旋转至切线②时的情况来说明。前面已讲过，杆件偏心受力时横截面上中性轴的方程为当中性轴绕一点B转动时，位于中性轴上的B点的坐标yB，zB

不变，亦即上式中的y0，z0在此情况下为定值yB，zB，而偏心压力的作用点yF，zF在移动，将上式改写为显然，这是关于yF，zF的直线方程。这表明，当截面周边的切线（中性轴）绕周边上的点转动时，相应的偏心压力的作用点亦即截面核心的边界点沿直线移动。于是在确定截面核心边界上的点1，2，3，4后，顺次以直线连接这些点所得到的菱形便是矩形截面的截面核心。该菱形的对角线长度分别为h/3和b/3(如图所示)。

例题8－4

试确定图示T形截面的截面核心。图中y,z轴为形心主轴。已知：截面积A=0.6m2；惯性矩Iy=48×10-3m4,Iz=27.5×10-3m4；惯性半径的平方以及。

解:

对于周边有凹入部分的截面，例如槽形截面、T形截面等，确定截面核心边界点所对应的中性轴仍然不应与截面相交，也就是在周边的凹入部分只能以外接直线作为中性轴。图中的6条直线①,②,…,⑥便是用以确定该T形截面核心边界点1,2…,6的中性轴；根据它们各自在形心主惯性轴上的截距计算所得核心边界的结果如下表所示：0-0.1021-∞0.45①0.45∞-0.45-0.45∞ay-0.0740.10241.08④00.1023∞③-0.133050.60⑤0.2002-0.40②⑥中性轴编号

-0.074

-0.102

截面核心边界上点的坐标值/m

6对应的截面核心边界上的点

1.08az

中性轴的截距/m

注意到直线（中性轴）①，②，…，⑥，①中顺次编号的相邻直线都是由前一直线绕定点转动到后一直线，故把核心边界点1，2，…

，6，顺次连以直线便可得到截面核心的边界。§8-4

扭转和弯曲的组合变形机械中的许多构件在工作时往往发生扭转与弯曲的组合变形，而且它们多半是实心或空心圆截面杆，图中所示传动轴便是一种典型的情况。土建工程中发生扭－弯组合变形的杆件往往是非圆截面的。本节讲述圆截面杆发生扭－弯组合变形时的强度计算。图a所示由塑性材料制造的曲拐在铅垂外力作用下，其AB杆的受力图如图b所示。该杆为直径为d的圆截面杆。图c，d示出了AB杆的弯矩图（M图）和扭矩图（T图）。由于扭－弯组合变形情况下不考虑剪力对强度的影响，故未示出剪力图（FS图）。该AB杆的危险截面为固定端处的A截面。危险截面上弯曲正应力在与中性轴C3C4垂直方向的变化如图e，扭转切应力沿直径C3C4和C1C2的变化如图f。由此可知危险截面上的危险点为C1和C2。由于杆的材料是拉压许用应力相等的塑性材料，C1和C2两点的危险程度相同，故只需对其中的一个点作强度计算即可。围绕点C1以杆的横截面、径向纵截面和切向纵截面取出单元体，其各面上的应力如图g所示，而点C1处于平面应力状态，其三个主应力为按第三强度理论作强度计算，相当应力为(a)按第四强度理论作强度计算，相当应力为(b)强度条件为或究竟按哪个强度理论计算相当应力，在不同设计规范中并不一致。注意到发生扭－弯变形的圆截面杆，其危险截面上危险点处：为便于工程应用，将上式代入式（a），（b）可得：式中，M和T分别为危险截面上的弯矩和扭矩，W为圆截面的弯曲截面系数。

例题8－5

图a所示钢制实心圆轴其两个齿轮上作用有切向力和径向力，齿轮C的节圆（齿轮上传递切向力的点构成的圆）直径dC=400mm,齿轮D的节圆直径dD=200mm。已知许用应力[s]=100MPa。试按第四强度理论求轴的直径。1.作该传动轴的受力图（图b），并作弯矩图－Mz图和My图（图c,d）及扭矩图－－T图（图e）。解：2.由于圆截面的任何形心轴均为形心主惯性轴，且惯性矩相同，故可将同一截面上的弯矩Mz和My按矢量相加。例如，B截面上的弯矩MzB和MyB（图f）按矢量相加所得的总弯矩MB（图g）为：由Mz图和My图可知，B截面上的总弯矩最大，并且由扭矩图可见B截面上的扭矩与CD段其它横截面上相同，TB＝-1000

N·m，于是判定横截面B为危险截面。3.根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为即亦即于是得§8-5

连接件的实用计算法图a所示螺栓连接主要有三种可能的破坏：

Ⅰ.螺栓被剪断（参见图b和图c）；Ⅱ.

螺栓和钢板因在接触面上受压而发生挤压破坏（螺栓被压扁，钢板在螺栓孔处被压皱）（图d）；Ⅲ.钢板在螺栓孔削弱的截面处全面发生塑性变形。实用计算法中便是针对这些可能的破坏作近似计算的。一、剪切的实用计算1、剪切面--AS：错动面。

剪力--FS

：

剪切面上的内力。2、名义剪应力--：3、剪切强度条件：二、挤压的实用计算1、挤压力--Fbs：接触面上的合力2、挤压面积：接触面在垂直Fbs方向上的投影面3、挤压强度条件（准则）：(3)拉伸的实用计算螺栓连接和铆钉连接中，被连接件由于钉孔的削弱，其拉伸强度应以钉孔中心所在横截面为依据；在实用计算中并且不考虑钉孔引起的应力集中。被连接件的拉伸强度条件为式中：FN为检验强度的钉孔中心处横截面上的轴力；A为同一横截面的净面积，图示情况下A=(b–d)d。{{FbsFNdbssd当连接中有多个铆钉或螺栓时，最大拉应力smax可能出现在轴力最大即FN=FN,max所在的横截面上，也可能出现在净面积最小的横截面上。例1：木榫接头如图所示，a=b=12cm，h=35cm，c=4.5cm,

P=40KN，试求接头的剪应力和挤压应力。解：：受力分析如图∶：剪应力和挤压应力