2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习高效演练分层突破第十二章第4讲直接证明与间接证明Word版解析版

[基础题组练]1．(2020·阳示范高中联考衡(二))用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”的正确假设为( )A．自然数a，b，c中最少有两个偶数B．自然数a，b，c中最少有两个偶数或都是奇数C．自然数a，b，c都是奇数D．自然数a，b，c都是偶数分析：选B.“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数，其否定是“自然数a，b，c均为奇数或自然数a，b，c中最少有两个偶数”．2．分析法又称执果索因法，已知x>0，用分析法证明x时，索的因是()1＋x<1＋2A．x2>2B．x2>4C．x2>0D．x2>11＋x<1＋x，只要证(1＋x)2<1＋22分析：选C.由于x>0，所以要证x，即证0<x，即224证x2>0，明显x2>0成立，故原不等式成立．3．在△ABC中，sinAsinC＜cosAcosC，则△ABC必定是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确立分析：选C.由sinAsinC＜cosAcosC得cosAcosC－sinAsinC＞0，即cos(A＋C)＞0，所以A＋C是锐角，π从而B＞2，故△ABC必是钝角三角形．x2ab1，a，b是正实数，A＝fa＋b，B＝f(ab)，C＝f，则A，4．已知函数f(x)＝22a＋bB，C的大小关系为()A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤Aa＋b2ab1xa＋b分析：选A.由于2≥ab≥a＋b，又f(x)＝2在R上是减函数，所以f2≤f(ab)≤f2ab，即A≤B≤C.a＋b5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正当D．没法确立正负分析：选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)是减少的，可知f(x)是R上的减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0.6．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为．分析：“x≠a且x≠b”的否定是“x＝a或x＝b”，所以应假设为x＝a或x＝b.答案：x＝a或x＝b7．设a＝3＋22，b＝2＋7，则a，b的大小关系为．分析：a＝3＋22，b＝2＋7，两式的两边分别平方，可得a2＝11＋46，b2＝11＋7，明显6<7，所以a<b.答案：a<b8．(2020赣·州模拟)假如aa＋bb＞ab＋ba，则a，b应满足的条件是．分析：aa＋bb＞ab＋ba，即(a－b)2(a＋b)＞0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B1.(1)求证：a，b，c成等差数列；2π(2)若C＝3，求证：5a＝3b.证明：(1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，由于sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．2π2222(2)由C＝3，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)＝a＋b＋ab，即有5ab－3b＝0，即5a3b.10．已知四棱锥S-ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝2，SA＝1.(1)求证：SA⊥平面ABCD；(2)在棱SC上能否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确立F点的位置；若不存在，请说明原由．解：(1)证明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，所以SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以SA⊥平面ABCD.(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.由于BC∥AD，BC?/平面SAD.所以BC∥平面SAD，而BC∩BF＝B，所以平面FBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，所以假设不成立．所以不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.[综合题组练]1．已知a，b，c∈R，若bcbc≥－2，则以下结论成立的是( )·>1且＋aaaaA．a，b，c同号B．b，c同号，a与它们异号C．a，c同号，b与它们异号D．b，c同号，a与b，c的符号关系不确立bc知bc分析：选A.由·>1a与同号，aaabc>0，不等式bc≥－2明显成立，若>0且a＋aaabcbc若a<0且a<0，则－a>0，－a>0，－b＋－c≥2－b·－c>2，即b＋c<－2，aaaaaabcbc>0，即a，b，c同号．这与＋≥－2矛盾，故>0且aaaa2．(应用型)(一题多解)若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]内至少存在一点c，使f(c)＞0，则实数p的取值范围是．分析：法一(补集法)：f(x)在区间[－1，1]内最少存在一点c.使f(c)>0，该结论的否定是对于区间[－1，1]内的任意一点c，都有f(c)≤0，f（－1）＝－2p2＋p＋1≤0，令解得p≤－3或p≥3，f（1）＝－2p2－3p＋9≤0，2故满足条件的p的取值范围为－3，32.法二(直接法)：依题意有f(－1)＞0或f(1)＞0，即2p2－p－1＜0或2p2＋3p－9＜0，得－12＜p＜1或－3＜p＜32，故满足条件的p的取值范围是－3，32.答案：－3，323．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不一样的交点，若f(c)＝0，且0<x<c时，f(x)>0.1(1)证明：a是f(x)＝0的一个根；1与c的大小．(2)试比较a解：(1)证明：由于f(x)的图象与x轴有两个不一样的交点，所以f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，由于f(c)＝0，所以x1＝c是f(x)＝0的根，又x1x2＝c，a11≠c，所以x2a＝a所以1a是f(x)＝0的一个根．11(2)假设a<c，又a>0，由0<x<c时，f(x)>0，11知fa>0与fa＝0矛盾，所以1≥c，又由于1≠c，所以1>c.aaa4．(综合型)若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a＜b)，则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数．(1)设g(x)＝1x2－x＋3是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值；221(2)能否存在常数a，b(a＞－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明原由．解：(1)由已知得g(x)＝12(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，所以函数在区间[1，b]上是增添的，由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)b，即1