【课件】向量的数量积 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

向量的数量积新知探究问题1

前面我们已经学习了向量的加法和减法，请你归纳一下它们的结果有什么共同的特点？向量的加法和减法的运算结果仍是向量．新知探究问题2

向量与向量之间有没有“乘法”呢？如果有，这种新的运算结果又是什么呢？还有，向量的加法与减法都能从物理学知识找到“原型”，如力的合成与分解．那么，在物理学中有没有关于向量乘法的“原型”呢？请你具体说说．向量与向量之间有“乘法”，其运算结果是数．如图所示，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝｜F｜｜s｜cosθ，其中θ是F与s的夹角，注意θ要满足的条件是0°≤θ≤180°．sFF1F2θ新知探究问题3

物理学中“求力所做的功”是两个矢量间的某种运算，在数学上，矢量不考虑作用点就是向量，如果是两个向量，你能“定义”这种新的运算吗？思考后完成下表．两个矢量F和s两个向量a与bF和s的夹角θW＝｜F｜｜s｜cosθa·b＝｜a｜｜b｜cosθa与b的夹角是θ新知探究问题4

零向量有没有数量积呢？应该如何定义？有，零向量的数量积是零．新知探究问题5

向量夹角与数量积的符号有什么关系？当0°≤<a，b>＜90°时，a·b＞0；当<a，b>＝90°时，a·b＝0；当90°＜<a，b>≤180°时，a·b＜0；当<a，b>＝0°时，a·b＝｜a｜｜b｜；当<a，b>＝180°时，a·b＝－｜a｜｜b｜．新知探究

A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形

又∵B为△ABC的内角，∴cosB＜0，∴＜B＜π，故A正确．

A新知探究问题7

在初中我们学过的投影的定义是什么？一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影．新知探究水平的力在做功，即功还可以理解为力F的水平分力的大小｜F｜cosθ与位移的大小｜s｜的乘积．问题8

回到功的物理意义：小物块在力F的作用下在水平方向上运动位移s，如果把力F分解成水平分力和垂直分力，那么哪个力在真正做功呢？问题9

再抽去物理意义，｜b｜cosθ的含义是什么呢？向量b在a方向上的投影．新知探究问题10

根据上述分析，你能给出投影向量的定义吗？如图所示，已知两个非零向量a和b，

｜a｜cos<a，b>称为投影向量r的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，BAA′brO可以表示为a·．

a新知探究问题11

向量数量积的几何意义是什么？几何意义是：或a的长度｜a｜与b在a方向上投影数量｜b｜cosθ的乘积．a与b的数量积等于b的长度｜b｜与a在b方向上的投影数量｜a｜cosθ的乘积．新知探究问题12

已知两个非零向量a

，b

，θ为a与b的夹角，e为与b

方向相同的单位向量．据数量积公式，计算a·e，a·a．a·e＝｜a

｜｜e

｜cosθ＝｜a

｜cosθ，a·a＝｜a

｜·｜a

｜cos0°＝｜a

｜2．新知探究追问1：若a·b＝0，则a与b有什么关系？a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cosθ＝0，θ＝90°，a⊥b．追问2：当θ＝0°和180°时，数量积a·b分别是什么？当θ＝0°时，a·b＝｜a

｜·｜b｜；当θ＝180°时，a·b＝－｜a

｜·｜b｜．新知探究问题13

你能写出向量数量积的性质吗？数量积的性质（1）若e是单位向量，则e·a＝a·e＝｜a｜cosθ．（2）若a·b＝0⇔a⊥b．

（4）cosθ＝

（｜a｜｜b｜≠0）．

（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜，当且仅当a∥b时等号成立．新知探究问题14

a·（b·c）＝（a·b）·c成立吗？（a·b）·c≠a·（b·c），因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，因此，（a·b）·c＝a·（b·c）在一般情况下不成立．所以（a·b）·c与向量c共线，a·（b·c）与向量a共线．例1

如图，已知向量a与b，其中｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a与b的夹角是150°．初步应用（1）求a·b；（2）求向量b在a方向上的投影数量，并画图解释．

（详解参考教材P102例1的解析）ababOBB1Aθ初步应用例2

已知向量a，b，c，其中｜a｜＝4，｜b｜＝6，且a与c的夹角θ＝120°，b与c的夹角γ＝60°，求a＋b在c方向上的投影数量．1（详解参考教材P103例2的解析）例1

已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a－b）＝43．初步应用（1）求a与b的夹角θ；（3）若（a－b）⊥（a＋λb），求实数λ的值．（2）求｜a＋b｜；解答：（1）∵（2a－3b）·（2a－b）＝4a2－8a·b＋3b2＝64－8a·b＋27＝43，∴a·b＝6，即｜a｜·｜b｜cosθ＝12cosθ＝6，∴cosθ＝

，

∵θ∈［0，π］，

∴θ＝

．例1

已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a－b）＝43．初步应用（1）求a与b的夹角θ；（3）若（a－b）⊥（a＋λb），求实数λ的值．（2）求｜a＋b｜；（2）∵｜a＋b｜2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋12＋9＝37，（3）∵（a－b）⊥（a＋λb），（a－b）·（a＋λb）＝0，即a2＋（λ－1）a·b－λb2＝16＋6（λ－1）－9λ＝0，

解得：λ＝

．

初步应用追问1：若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？a·b＝0⇔a⊥b．追问2：｜a·b｜与｜a｜·｜b｜的大小关系如何？为什么？｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜．因为｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜·｜cosθ｜．由｜cosθ｜≤1，可得｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜．初步应用追问3：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？求夹角θ时先求两个向量a，b夹角的余弦值．然后根据向量夹角的取值范围求角．课堂练习练习：教科书第103页练习1，2，3，4．归纳小结（1）从向量运算角度看，数量积是向量与向量之间的一种运算，数量积运算既有数量关系的表达式，又有明显的几何意义．（2）从知识间联系的观点看，数量积的表达式中有向量、向量的模、向量的夹角，这比以前的任何一种运算都丰富．（3）从解决问题的角度看，在一定的条件下，可以运用向量的数量积，用代数运算的方法求向量的模的大小、向量的夹角的大小，进而可以解决几何问题中的有关平行、垂直的证明或角度等问题．（4）有一句话：如果没有运算，向量只是一“路标”，因为有了运算，向量的力量无限．问题15

本节课我们学习了平面向量的一种新型运算——平面向量的数量积，与前面几种运算相比，请你说说这种运算具有怎样的特点？作业布置作业：教科书第107页，A组1，2，3，B组1，2．1目标检测A已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，a与b的夹角为

，则a·b等于（）A．1B．2C．3D．4

解析：a·b＝1×2×cos＝1，故选A．

2目标检测D已知｜a｜＝8，｜b｜＝4，<a，b>＝120°，则向量b在a方向上的投影为（）A．4B．－4C．2D．－2解析：向量b在a方向上的投影为｜b｜cos<a，b>＝4×cos120°＝－2．3目标检测2已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋（1－t）b．若b·c＝0，则