信心-苦心-细节-成功-初高中数学衔接

2016年7月3日信心-苦心-细节-成功江苏省海州高级中学滕于忠何为数学？恩格斯指出：“数学是数量的科学”，“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。根据恩格斯的观点，较确切的说法就是：数学——研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。数学可以分成两大类，一类叫基础数学，一类叫应用数学。基础数学：专门研究数学本身的内部规律。中小学课本里介绍的代数、几何、微积分、概率论知识，都属于基础数学。基础数学的一个显著特点，就是暂时撇开具体内容，以纯粹形式研究事物的数量关系和空间形式。例如研究梯形的面积计算公式，至于它是梯形稻田的面积，还是梯形机械零件的面积，都无关紧要，大家关心的只是蕴含在这种几何图形中的数量关系。应用数学着限于说明自然现象，解决实际问题，是基础数学与科学技术之间的桥梁。大家常说现在是信息社会，专门研究信息的“信息论”，就是应用数学中一门重要的分支学科，数学有3个最显著的特征。高度的抽象性是数学的显著特征之一。数学理论都有非常抽象的形式，这种抽象是经过一系列的阶段形成的，所以大大超过了自然科学中的一般抽象，而且不仅概念是抽象的，连数学方法本身也是抽象的。例如数学家则不能用实验的方法来证明定理，非得用逻辑推理和计算不可。现在，连数学中过去被认为是比较“直观”的几何学，也在朝着抽象的方向发展。根据公理化思想，几何图形不再是必须知道的内容，它是圆的也好，方的也好，都无关紧要，只要它们具备有相容性、独立性和完备性，就能够构成一门几何学。体系的严谨性是数学的另一个显著特征。数学思维的正确性表现在逻辑的严谨性上。早在2000多年前，数学家就从几个最基本的结论出发，运用逻辑推理的方法，将丰富的几何学知识整理成一门严密系统的理论，它像一根精美的逻辑链条，每一个环节都衔接得丝丝入扣。所以，数学一直被誉为是“精确科学的典范”。广泛的应用性也是数学的一个显著特征。宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。20世纪里，随着应用数学分支的大量涌现，数学已经渗透到几乎所有的科学部门。不仅物理学、化学等学科仍在广泛地享用数学的成果，连过去很少使用数学的生物学、语言学、历史学等等，也与数学结合形成了内容丰富的生物数学、数理经济学、数学心理学、数理语言学、数学历史学等边缘学科。并不是聪明人才学数学，而是通过学数学使人变得聪明。学习数学的价值之一是培养人的思维能力，通过数学的学习使人“学会数学地思维”，进而“学会思维”。生活离不开数学，数学离不开生活

经过三年拼搏，同学们以优异的成绩来到了海州高中，现在的你们一定信心十足，而且有把高中数学学好的愿望。这是必须的，也是必要的。但是，需要提醒你们的是，我们必须对高中数学有足够的思想准备，因为经过一段时间，有些同学可能会觉得高中数学并非想象的那么简单易学，而是枯燥、抽象、难懂的；在做题时，又会磕磕碰碰，甚至无从下手。一部分同学也因此进入了高中数学学习的“困难期”，致使数学成绩出现滑坡。有的同学会对数学学习产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成以上现象的原因是多方面的，一个原因在于初、高中数学教材和教学的衔接出了问题。另外一个原因是初高中数学内容及特点、学习方法、思维要求等差异。

一.高中数学与初中数学特点的差异

高一是中学阶段承前启后的关键时间，同学们首先要尽快熟悉和适应高中数学学习。下面通过对初、高中数学学习的比较，希望你们能对高中数学有所了解。课程框架：高中数学课程分必修和选修。必修课程由5个模块组成；选修课程有4个系列，其中系列1、系列2由若干个模块组成，系列3、系列4由若干专题组成；每个模块2学分（36学时），每个专题1学分（18学时），每2个专题可组成1个模块。1、《高中数学新课程标准》中的框架、结构与内容2.课程内容：必修课程由5个模块组成：数学1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）数学2：立体几何初步、平面解析几何初步。数学3：算法初步、统计、概率。数学4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。数学5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课有4个系列系列1：由2个模块组成（文科必学）。选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成（理科必学）。选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、统计案例、概率。系列3：由6个专题组成。选修3—1：数学史选讲。选修3—2：信息安全与密码。选修3—3：球面上的几何。选修3—4：对称与群。选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。选修4—1：几何证明选讲。选修4—2：矩阵与变换。选修4—3：数列与差分。选修4—4：坐标系与参数方程。选修4—5：不等式选讲。选修4—6：初等数论初步。选修4—7：优选法与试验设计初步。选修4—8：统筹法与图论初步。选修4—9：风险与决策。选修4—10：开关电路与布尔代数。其中每个模块2学分（36学时），每个专题1学分（18学时），2个专题可以组成1个模块。系列3和系列4文科没有要求，理科选2个专题。我们连云港市一般选择矩阵与变换，极坐标与参数方程。高中数学课程要求把数学探究、数学建模的思想以不同的形式渗透在各模块和专题内容之中，并在高中阶段至少安排较为完整的一次数学探究、一次数学建模活动。高中数学课程要求把数学文化内容与各模块的内容有机结合。这部分内容就是对应高考数学里的数学应用题部分3.内在关系：①必修课中，数学1是数学2、数学3、数学4、数学5的基础。②必修课是选修课中系列1，系列2课程的基础。③选修课中系列3，系列4基本上不依赖其他系列的课程，可以与他系列的④课程同时开设，这些专题的开设可以不考虑先后顺序。《课程标准》中没有明确说明开设课程的进度与顺序要求，但一般都是从必修1开始，之后的内容有时会做相应的调整；《课程标准》中没有明确指出高考命题范围，但必修1——必修5与选修1（文科）或选修2（理科）一定在范围之内，根据实际情况，选修3、4的部分内容在高考的附加题中出现。4.开设顺序与考试范围二、高中与初中数学特点的变化不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，感觉很抽象。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、立体几何等都是用抽象的语言表达。结合《高中数学新课程标准》，可以看出高中与初中数学特点的变化。1.数学语言在抽象程度上变化2.思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中不同。初中阶段，很多老师将各种题型建立了统一的思维模式甚至解题套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了很高的要求。但是，由于能力的发展是渐进的，这种能力要求的变化使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。同学们一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后初步形成辩证型逻辑思维。3.知识内容的整体数量剧增。高中数学与初中数学又一个明显的不同是知识内容的“量”上急剧增加了，单位时间内接受知识信息的量与初中相比增加了许多，辅助练习、消化的课时相应地减少了。这使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。这样，不可避免地造成大家不适应高中数学学习，影响数学成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的基础知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有的知识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。4.数学思想方法应用的范围和层次进一步提高。初中,对一些常用的数学思想方法（如数形结合、分类讨论、函数与方程、抽象概括、化归、数形结合、数学模型、归纳猜想、分类、类比、特殊化、演绎、完全归纳法、反证法、换元法、待定系数法、配方法）有所了解。从中可以看出，中学数学中蕴含了丰富的数学思想方法，但是这种认识和应用是肤浅的,较低水平的。而在高中,将进一步要求学生更加自觉地、自动地、经常地运用这些数学思想方法解决问题。三.初高中数学知识存在如下的“脱节”1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容.配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。6.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中这部分内容视为重点、难点.方程、不等式、函数的综合考查常常成为高考综合题。8.几何部分的很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中大都没有学习，而高中都要涉及。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。四.认识不良的学习状态1.学习习惯因依赖心理而滞后。初中生学习依赖心理明显。第一，为提高分数，初中老师将各种题型一一罗列，学生依赖于老师提供套用的“模子”；第二，家长望子成龙心切，回家后辅导是常事.升入高中后，教学方法变了，套用的“模子”没了，家长辅导的能力也跟不上了.不少同学进入高中后，还象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权.表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。2.思想松懈。有些同学把初中的想法移植到高中，他们会想当然地认为自已在初一、初二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、两个月就轻而易举地考上了高中，有的中考分数还比较高。因此而认为读高中也同样如此。如果有的同学心存侥幸，想高一、高二不用功，在高三时再发奋一、两个月就能考上大学，那到头来你会后悔莫及的。同学们不妨打听打听去年或今年的高三同学，有不少同学就是因为高一、二没有努力学习，临近高考了，发现自己缺漏了很多知识，那时候再想弥补已经迟了。3.学不得法。老师上课一般都是想方设法讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分同学上课时没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也是一大堆；而课后又不能及时巩固、总结和寻找知识间的联系，只是一味地赶作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背.还有些同学晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微.4.不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高骛远，重“量”轻“质”，陷入题海。到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”。5.进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备.高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数值的求法、实根分布与参变量的讨论、三角公式的变形与灵活运用、空间概念的形成、排列组合应用题及实际应用问题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，就必然会跟不上高中学习的要求。

因此，同学们最好从高一开始，增强自己从课本入手进行研究的意识：预习，复习。可以把每条定理、每道例题都当作习题，认真地重证、重解，并适当批注（如数学符号在不同范畴的含义，不同领域之间的关系），特别是通过对典型例题的讲解分析，最后抽象出解决这类问题的思想和方法，并做好书面的解题反思,总结出解题的规律，以便推广、运用。另外，希望你们尽可能独立解题，因为求解过程，也是培养分析和解决问题能力的过程。五.科学地学习高中数学

高中数学仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动学习为主动学习，才能提高学习成绩。1.培养良好的学习习惯。

反复使用的方法将变成习惯。什么是良好的学习习惯？良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。（1）制定计划使学习目的明确，时间安排合理，它是推动主动学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。（2）预习是上好新课、取得较好学习效果的基础。

预习不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。预习的功能主要有：①初步了解新课内容,加强听课的目标性；②了解教材中重点难点之所在,加强听课的针对性；③培养自学能力；④提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。预习不能走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，这样，在上课时，着重听老师讲思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。高中数学课堂教学的内容多，容量大。因此，必须做好预习。预习可以从六个方面来做：第一，读：就是阅读教材，逐字逐句地阅读下一节课的授课内容，弄清中心问题，明确学习的目的、要求，力求了解新知识的基本结构，从总体上作概要性把握。第二，查：数学知识的连续性强，前面的概念不理解，后面的课程无法进行。因而，在预习的时候发现学过的概念不明白，不清楚的，一定要在课前查阅有关内容搞清楚，力争经过自查不留问题。对所预习的内容要多问几个为什么，从引入方法到概念的内涵和外延，从证题的方法到证题的依据等。预习时应思考：这一节的重点和难点是什么？概念，定理，公式有什么含义？有什么条件？公式如何运用（正用，逆用，变用）。数学课本上有大量的公式，不管有无推导过程，学生预习的时候应当暂放下课本，思考如何推导对照，或在课堂上和教师推导的过程相对照，以便发现自己有无推导错的地方。第三，思：对于课本的例题，也尝试先做一做，再与课本的解答对照，思考这个问题有没有其他的解法或更简捷的做法（一题多解），如此既是自己在独立地分析问题和解决问题，又是在检查自己的学习情况。一般地，公式推导不下去或推导错误，例题不会做或做错，是由于自己的知识准备不够，要么是学过的忘记了，要么是有些内容自己还没有学过，只要设法补上，自己也就进步了。总之，预习的时候要多思考，要学会质疑.

比的含义，是对照阅读，把该知识与有关知识的相同点，类似的地方以及差别找出来，并纳入相应的知识链中。第四，比：第五，记：

记指做好预习笔记，做预习笔记有助于提高预习的效果。简短的可以直接在书上圈画，批注，难点、疑点及复杂的内容则要写在笔记本上。第六，练：

在预习过程中，动手写一写，做一做，概念是否明白，方法是否掌握，可通过练习进行自我检测。数学课本上的练习题都是为巩固所学的知识而出的。预习中可以试做那些习题，之所以说试做，是因为并不强调定要做对，而是用来检验自己预习的效果。预习效果好，一般书后所附的练习是可以做出来的。课堂是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该重点注意，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。（3）注重课堂，有效学习。认真听课能使注意力集中，能积极思考、分析问题，能把老师讲的关键性部分听懂、听会。提高数学能力，锻炼数学思维，也主要通过课堂听课来提高。课堂上通过老师的教学，理解所学内容在教材中的地位，弄清与前后知识的联系等，把握教材，掌握学习的主动。首先，培养好的听课习惯是很重要的。

其次，听的时候不能光听，为了往后复习，应适当地有目的记好笔记，领会课上老师的主要精神与意图。科学地记笔记可以提高45钟的课堂效果。

再次，如果数学课没有一定的速度，那是一种低效，甚至无效学习。这就要求在数学学习中一定要快节奏（有目的进行限时训练），大家要跟上老师的节奏，久而久之，思维的敏捷性和数学能力会逐步提高。

最后，在数学课堂中，老师一般少不了提问与板演，有时还伴随着问题讨论，因此可以听到许多的信息，这些问题是很有价值的。对于那些典型问题，带有普遍性的问题都必须及时解决，不能把问题的症结遗留下来，有价值的问题要及时抓住，遗留问题要有针对性地解决，注重实效。（4）及时复习是高效学习的重要一环。通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强化对知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关的旧知识联系起来，进行分析比较，边复习边将复习成果整理在笔记上，使自己对所学的新知识由“懂”到“会”。（5）独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的掌握过程。这一过程也是对意志毅力的考验，通过运用使对所学知识由“会”到“熟”。（6）解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神。做错的作业再做一遍，对错误的地方要反复思考。实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的知识拿来复习强化，做适当的重复性练习，把求老师问同学获得的东西消化变成自己的知识，使所学到的知识由“熟”到“活”。（7）系统小结是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节。小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系，以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。（8）课外学习包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞赛与讲座，走访高年级同学或老师交流学习心得等。课外学习是课内学习的补充和继续，它不仅能丰富同学们的文化科学知识，加深和巩固课内所学的知识，而且能够满足和发展兴趣爱好，培养独立学习的能力，激发求知欲与学习热情。2.循序渐进，防止急躁。不少同学在学习数学过程中容易急躁。有的同学贪多求快，囫囵吞枣；有的同学想靠几天“冲刺”能一蹴而就；有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。但是，数学学习是一个长期的巩固旧知、发现新知的积累过程，决非一朝一夕可以完成的，许多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，阅读、书写、运算的技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。3.注意研究数学学科特点，寻找最佳学习方法。数学具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。学习数学一定要“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。华罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄