概率论与数理统计总复习

1第一章随机事件1.事件A,P(A),概率的性质2.古典概型中求P(A)=kA/n3.条件概率4.乘全贝三大公式，见下页2全概率公式

贝叶斯公式

乘法公式

35.事件的独立P(AB)=P(A)P(B),定理（独立的性质）：若事件A,B独立则

也相互独立。技巧：n个独立事件并的概率公式设事件相互独立,则

P(A1∪…∪An)4第二章随机变量(一维)1.离散型随机变量Xpk，F(x)=P{X≤x},常见离散型随机变量:X∼B(1,p).X∼B(n,p).X∼P()P50,T2152.连续型随机变量Xf(x)，F(x)=P{X≤x}常见连续型随机变量:X∼U[a,b]X服从参数为的指数分布P49,T1963.

已知X

的分布，求Y=g(X)

的分布(-x)=1-(x).P50,T20,21,22,23(0)=1/27第三章随机向量(二维)1.离散型随机向量(X,Y)pij，

由联合分布律求边缘分布律82.连续型随机向量(X,Y)f(x,y)，

由联合密度函数求边缘概率密度函数

P78,T4,T5P79,T8,T1093.

随机变量的独立性若(X,Y)是离散型随机变量，则上述独立性定义等价于：对(X,Y)所有可能取值(xi,yj),有成立。若(X,Y)是连续型随机向量，上述独立性定义等价于：

对于所有的x,y成立。104.随机向量函数的分布

Z=X+Y的概率密度为:

n个独立的正态分布的线性组合仍为正态分布,即有特别地：当X,Y独立时，Z=X+Y的概率密度为:

(1)和的分布P80,T19,T20P80,T2111

特别地，当X1,…,Xn独立同分布时，有N=min(X1,…,Xn)的分布函数是:M=max(X1,…,Xn)的分布函数为:Fmax(z)=[F(z)]n，Fmin(z)=1-[1-F(z)]n.第六章P128,T10（2）极值分布12第四章数字特征1.数学期望

,随机变量函数的期望，期望的性质1314数学期望的性质:

1.设C是常数，则E(C)=C;

4.设X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y);

2.若k是常数，则E(kX)=kE(X);

3.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);（诸Xi独立时）技巧：计数器分解求期望！！！P105,T21152.方差及其性质

Var(X)=E{[X-E(X)]2}

＝E(X2)-[E(X)]2

1.

设C是常数,则Var(C)=0,

Var(X+C)=Var(X).2.

若C是常数,则Var(CX)=C2

Var(X);3.

若X1与X2

独立，则

Var(X1+X2)=Var(X1)+Var(X2);可推广为：若X1,X2,…,Xn相互独立,则163.协方差，相关函数Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)Var(X－Y)=Var(X)+Var(Y)－2Cov(X,Y)17第五章极限定理定理5.1.1[切比雪夫(Chebyshev)不等式]

设随机变量X具有期望E(X)=,方差Var(X)=2,则:或写成P114,T2定理5.2.1（独立同分布的中心极限定理）

设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列,且E(Xi)=μ,Var(Xi)=σ2，i=1,2,…，则任给x∈(-∞,∞),均有19

设X1,X2,,Xn是来自均值为

,方差为2的总体的样本，则当n充分大时,定理6.2.1

第六章样本与统计量20χ

2

分布,t分布,F分布.【注意】三大分布的构造，图形，性质定理6.3.1(P126)(又称基本定理)

设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有21第七章参数估计参数估计包括：点估计和区间估计。1.

矩估计2.

极大似然估计点估计介绍两种方法：221.

矩估计根据所求的未知参数的个数选择上面的式子232.

极大似然估计

(3)

在最大值点的表达式中，用样本X1,X2,…Xn替换样本值x1,x2,…xn就得到参数的极大似然估计。求极大似然估计的一般步骤是：(1)由总体分布导出样本的联合分布律(或联合概率密度函数),即为似然函数L(θ)；(2)

求似然函数L(θ)的最大值点即θ的极大似然估计值;

(常常转化为求对数似然函数lnL(θ)的最大值点,求导等于零,二阶导数在此点小于零，这才说明为最大值点）；24估计量的优良性准则则称为的无偏估计。一、无偏性二、方差准则

如果两个估计都是无偏估计，这时哪个估计的方差小，哪个估计比较优。这种判定估计量的准则称为“方差准则”。25求参数的置信系数为的置信区间.

(I).

设X1,…Xn是取自

的样本，正态总体的区间估计均值µ

的置信系数为1-α的置信区间

求方差的置信系数为的置信区间26

第八章假设检验一、单个正态总体N(,2)均值的检验1.双边检验

H0:μ=μ0；H1:μ≠μ0

方差2已知的情况

方差2未知的情况(书上有！)27

方差2已知的情况

方差2未知的情况2.右边检验

H0:μ=μ0，H1:μ>μ0H0:μ≤μ0，H1:μ>μ0右边检验

(书上有！)(书上有！)28

方差2已知的情况

方差2未知的情况3.

左边检验

H0:μ=μ0，H1:μ<μ0.H0:μ≥μ0，H1:μ<μ0左边检验

29

单个正态总体方差的检验1.H0:2=02，H1:2≠02

设X1,X2,,Xn为来自总体N(,2)的样本,

和

2均未知，求下列假设的显著性水平为

的假设检验。(书上有！)302.H0:2=02,H1:2>

02

3.H0:2=02,H1:2<

02

2’.H0:2≤02,H1:2>

02

3'.H0:2≥

02,H1:2<

02(书上有！)31一：填空题（30分，每空两分）填空：事件的运算,独立,条件概率的计算,期望与方差的计算,Chebyshev不等式,中心极限定理,三大分布的构造及性质，第6章的基本定理,置信区间.二：计算题（5题，共70分）(1)(第1章)