工程流体力学

第二章流体静力学工程流体力学电子教案第二章流体静力学第2章 流体静力学一、本章学习要点:

静止流体的应力特征。

流体平衡的微分方程。

流体静力学基本方程。

静止液体总压力力计算。

液体的相对平衡。

流体静力学基本概念：等压面、绝对压强、相对压强、真空压强、测压管水头等。第二章流体静力学二、本章重点掌握:

静止液体总压力Fp计算。

流体静压强的计算。第二章流体静力学§2.1流体静压强及其特性二、流体静压强基本特性证明：静止流体，速度处处为零，没有速度梯度，也就没有切应力，即τ=0，故p垂直受压面；此外流体不能承受拉应力，故p指向受压面。一、流体静压强定义1、方向性:流体静压强总是沿着作用面的内法线方向，即垂直指向作用面。第二章流体静力学证明：在静止流体中取如图所示微小直角四面体Oabc，分析作用在四面体上的力：xydxdydzzacob2、静压强的大小性：静止流体内任一点的静压强大小与作用面的方位无关，即同一点上各个方向的流体静压强大小相等。第二章流体静力学表面力：

质量力：

xydxdydzzacob第二章流体静力学因四面体在表面力和质量力作用下处于平衡，故由∑Fx＝0:化简得：xydxdydzzacobn:倾斜面abc的外法线dA:倾斜面abc的面积第二章流体静力学同理，由∑Fy＝0：由∑Fz＝0：当dx，dy，dz→0，即四面体Oabc收缩至O点时，有证毕！一般情况：p=p(x,y,z)，即流体静压强是空间坐标的连续函数。xydxdydzzacob第二章流体静力学§2.2流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程

yxzoo'dxdydzMN在静止流体中取如图所示微小六面体。设其中心点O’(x,y,z)的密度为ρ，压强为p。第二章流体静力学yxzoo'dxdydzMN以x方向为例，利用泰勒级数展式：第二章流体静力学表面力：

质量力：

yxzoo'dxdydzMN第二章流体静力学化简上式得：同理，考虑y，z方向，可得：上式即为流体平衡微分方程，系1775年由瑞士学者欧拉（L.Euler）首先提出的，故亦称欧拉平衡微分方程。yxzoo'dxdydzMN第二章流体静力学

第二章流体静力学适用范围：所有静止流体或相对静止的流体。第二章流体静力学二、欧拉平衡微分方程的综合式（全微分形式）

将欧拉平衡微分方程各分式分别乘以dx、dy、dz，然后相加，得由，有故欧拉平衡微分方程可以写成全微分形式通常作用在流体上的单位质量力是已知的，利用上式便可求得流体静压强的分布规律。第二章流体静力学三、等压面

1.定义

平衡流体中压强相等(p=c或dp=0)的点所组成的平面或曲面,称为等压面。2.微分方程

由定义得：或式中：第二章流体静力学3.性质

等压面恒与质量力正交。证明：由等压面微分方程知,证毕!第二章流体静力学本节研究作用在液体上的质量力只有重力的情况。§2.3重力场中液体静压强的分布一、重力作用下液体平衡方程

将fx=0,fy=0,fz=-g代入得：积分上式：第二章流体静力学o(x)zyp0hzz0考虑定解条件：当z=z0时，p=p0故得液体静力学基本方程：或令z0-z=h(淹没深度)第二章流体静力学只受重力作用的连通的同一种静止液体内，等压面为水平面；反之，水平面为等压面。连通容器连通容器连通器被隔断前进第二章流体静力学二、压强的度量

压强的大小根据计算基准的不同有两种表示方法。1.绝对压强和相对压强

绝对压强（pabs）：以无大气分子存在的绝对真空(p=0）为基准计量的压强。pabs≥0相对压强（pr）：以当地大气压强pa为基准计量的压强。pr=pabs-pa>0(正压)=0<0(负压或真空)第二章流体静力学说明：对建筑物起作用的是相对压强。工业用的各种压力表测得的压强为相对压强。在工程技术中，通常取当地大气压强第二章流体静力学2.真空压强

如果流体内某点的绝对压强小于当地大气压强，即其相对压强为负值，则称该点存在真空。当流体存在真空时，工程习惯上用真空压强表示。真空压强（pv）：绝对压强的小于当地大气压强的差值，亦即相对压强的的负值。pv>0第二章流体静力学第二章流体静力学[例1]

如图所示封闭水箱,已知h1=1.5m,h2=0.5m。金属测压计读数为4900Pa。试求液面的绝对压强和相对压强。[解]

在A点两侧应用液体静力学基本方程得：相对压强：p0A1h2h第二章流体静力学绝对压强：注意：测压计读数为相对压强。p0A1h2h相对压强为负值，说明流体存在真空，其真空压强：第二章流体静力学[例2]

图为量测容器中A点压强的真空计。已知h1=1m,h2=2m。试求A点的真空压强pv。[解]

在空气管管段两侧应用液体静力学基本方程得：故A点的真空压强为:说明：高差较小的空气压强变化一般可忽略不计。水A水空气h2h1第二章流体静力学三、水头和单位势能xzyp0AZAZ——位置水头，——压强水头，——测压管水头，静止液体内各点的测压管水头等于常数。单位位能单位压能单位势能静止液体内各点的单位势能相等。第二章流体静力学四、流体测压计原理测量流体压强的仪器类型较多。1、主要差别量程大小；测量精度。2、常见仪器液体式测压计第二章流体静力学h10ph1p2AphρρAρhphρpM0ZAA△z0NphphzBBγρρ第二章流体静力学液体式压差计POP1P2气体''(a)(b)第二章流体静力学压力传感器PPa第二章流体静力学3压强的测量——利用静水力学原理设计的液体测压计.测压管AhpaBAhLαU形水银测压计Aρρmhb返回被测点相对压强较小，为提高量测精度被测点相对压强较大，第二章流体静力学4、U形管差压计（比压计）在测量流体内两点的压强差或测压管水头差时，常采用U形管差压计。作等压面M-N，则第二章流体静力学由得A、B两点的压强差:若将代入上式,化简整理得A、B两点的测压管水头差:第二章流体静力学五、液体静压强分布图

压强分布图能形象地表示物面上的压强分布情况。1.绘制液体静压强分布图的知识点

液体静力学基本方程静止液体的应力特征①方向性：p⊥→受压面；②大小性：静止液体内任一点p大小与作用面方位无关。第二章流体静力学2.液体静压强分布图绘制方法

将物面各点的压强用箭头表示，箭头与物面垂直，其长度与压强大小成比例；箭头方向代表压强作用方向，且将箭头落在物面上；受压面为平面时，箭头尾端连线为直线；

受压面为曲面时，箭头尾端连线为曲线。h1hρgρgh2hh+hρg()1h21hρgh第二章流体静力学§2.4作用在平面上的液体总压力一、解析法如图所示，静止液体中有一面积为A的平面ab，试求作用在该平面上的总压力。1.总压力大小作用在微分面积dA上的压力：yoxACDdAabCyyDpFdFpy

hChDh第二章流体静力学作用在平面ab上的总压力：式中为受压面面积A对OX轴的静矩，由工程力学知：故即静止液体作用在平面上的总压力等于受压面面积与其形心处的相对压强的乘积。第二章流体静力学

下列各盛水容器装有同一种液体，底面积和其形心处水深均相同，虽然各容器形状各异，盛水量也不相等，但作用在容器底面上的总压力却是相等的。这一现象称为静水奇象。液体作用在底面为A、液深为h的水平面的总压力：

F=ρghA＝γhA

第二章流体静力学思考题：如图所示矩形平板闸门，只在上游受静水压力作用，如果该闸门绕中心轴旋转某一角度α，则作用在闸门上的静水总压力与旋转前有无变化？为什么？α第二章流体静力学2.总压力作用方向总压力Fp的作用方向与dFp方向相同，即3.总压力作用点总压力Fp的作用点D可用理论力学中的合力矩定理合力对某轴的矩等于各分力对同一轴的矩的代数和对ox轴：求得:第二章流体静力学式中为受压面A对ox轴的惯性矩。故由此可知，压力中心D必位于受压面形心c之下。常见图形的几何特征量第二章流体静力学第二章流体静力学说明：工程中常见的受压平面多具有轴对称性（对称轴与oy轴平行），Fp的作用点必位于对称轴上。因此，yD求出后，压力中心D的位置便可完全确定。应用上式求压力中心，yD的起算中心必须在自由液面（p=pa）上。第二章流体静力学二、图算法求静止液体作用在矩形平面上的总压力及其作用点问题，通常采用图算法较为简便。如图所示矩形平面，其相对压强分布图为三角形，则总压力为：第二章流体静力学式中为相对压强分布图面积。由此可见：其作用点为通过体积重心所引出的水平线与受压面的交点D。对于相对压强分布图为三角形时，D点位于自由液面下(2h)/3处。第二章流体静力学静水总压力的大小:其中b为矩形受压面的宽度；Ω为静水压强分布图形的面积；静水总压力的方向：垂直并指向受压面静水总压力的作用点（压力中心或压心）：通过压强分布体的重心（或在矩形平面的纵对称轴上，且应通过压强分布图的形心点）返回第二章流体静力学对于相对压强分布图为梯形情况（如图示），可将其分解成三角形和矩形两部分。其中矩形部分的压力第二章流体静力学因该部分为均匀分布，其作用点在受压面形心处。作用在整个受压面上的总压力为作用点则可运用合力矩定理求得。第二章流体静力学[例1]

如图所示挡水路堤，已知堤长b＝20m，α＝60°，水深h＝3m，试求作用在路堤迎水面上的静水总压力Fp及压力中心yD。[解]

方法一：解析法hαl第二章流体静力学hαl第二章流体静力学方法二：图解法第二章流体静力学由此可见，对于受压面为矩形平面问题，用图算法计算比较简单，尤其是计算压力中心位置。第二章流体静力学如图所示，某挡水矩形闸门，门宽b=2m，一侧水深h1=4m，另一侧水深h2=2m，试用图解法求该闸门上所受到的静水总压力。h1h2解法一：首先分别求出两侧的水压力，然后求合力。h1/3h2/3方向向右→e依合力矩定理：可解得：e=1.56m答:该闸门上所受的静水总压力大小为117.6kN，方向向右，作用点距门底1.56m处。前进合力对任一轴的力矩等于各分力对该轴力矩的代数和。第二章流体静力学h1h2解法二：首先将两侧的压强分布图叠加，直接求总压力方向向右依合力矩定理：e可解得：e=1.56m返回答：略第二章流体静力学返回

一垂直放置的圆形平板闸门如图所示，已知闸门半径R=1m，形心在水下的淹没深度hc=8m，试用解析法计算作用于闸门上的静水总压力。hchDFP解：LO答：该闸门上所受静水总压力的大小为246kN，方向向右，在水面下8.03m处。第二章流体静力学§2.5作用在曲面上的液体总压力一、实际工程背景实际工程中经常遇到受压面为曲面的情况，如弧形闸门拱堤堤面贮水池壁面水管管壁U形渡槽等本节仅对工程中应用最多的二向曲面（即具有平行母线的柱面）进行讨论。第二章流体静力学二、总压力大小作用在微分面积dA上的压力为因作用在曲面上的总压力为空间力系问题，为便于分析，拟采用理论力学中的分解概念将其分解为水平分力和铅垂分力求解。第二章流体静力学1.水平分力积分得：第二章流体静力学故总压力的水平分力为式中

流体作用在曲面上总压力的水平分力等于流体作用在该曲面的铅垂投影面上的总压力。第二章流体静力学2.铅垂分力积分得：第二章流体静力学3.合力作用在曲面ab上的总压力的垂直分力Fpz

等于其压力体内充满液体的重量。三、总压力的作用方向pxFFFpzαp第二章流体静力学确定方法：一般通过作图法确定。水平分力Fpx的作用线通过Ax的压力中心；将Fp的作用线延长至受压面，其交点D即为总压力在曲面上的作用点。总压力Fp的作用线由Fpx、Fpz的交点和确定；铅垂分力Fpz的作用线通过Vp的重心；四、总压力作用点第二章流体静力学五、压力体概念1.压力体仅表示的积分结果(体积)，与该体积内是否有液体存在无关。第二章流体静力学2.压力体一般是由三种面所围成的体积，即受压曲面（压力体的底面）自由液面或自由液面的延长面（压力体的顶面）由受压曲面边界向自由液面或自由液面的延长面所作的铅垂柱面（压力体的侧面）第二章流体静力学3.压力体的虚实性实压力体：压力体和液体在受压曲面的同侧，Fpz↓。虚压力体：压力体和液体在受压曲面的异侧，Fpz↑。实压力体虚压力体第二章流体静力学[例1]一弧形闸门如图所示，闸门宽度b=4m，圆心角φ=45°，半径R=2m，闸门旋转轴恰与水面齐平。求水对闸门的静水总压力。解：闸门前水深为ABφhOR水平分力：铅直分力：静水总压力的大小：静水总压力与水平方向的夹角：α静水总压力的作用点：ZDD答：略。第二章流体静力学[例2]

试绘制图中abc曲面上的压力体。[解]

因abc曲面左右两侧均有水的作用，故应分别考虑。dd/2cba水水第二章流体静力学考虑左侧水的作用ab段曲面(实压力体)bc段曲面(虚压力体)阴影部分相互抵消abc曲面(虚压力体)第二章流体静力学考虑右侧水的作用bc段曲面(实压力体)cba第二章流体静力学合成左侧水的作用右侧水的作用abc曲面(虚压力体)第二章流体静力学[例3]

图示球形压力容器系由两个半球铆接而成。已知铆钉为N个，容器内盛密度为ρ的液体，试求每个铆钉所受的拉力FT。[解]

取上半球面为隔离体，进行受力分析RρH第二章流体静力学据得式中Fpz为静止液体作用在上半球面的铅垂分力，可用压力体概念求解。上半球面的压力体如图所示，故RρH第二章流体静力学[例4]如图所示，由上下两个半球合成的圆球，直径d=2m，球中充满水。当测压管读数H=3m时，不计球的自重，求下列两种情况下螺栓群A-A所受的拉力。（1）上半球固定在支座上；（2）下半球固定在支座上。第二章流体静力学解：（1）上半球固定在支座上时（2）下半球固定在支座上时第二章流体静力学[例4]

（1）求作用在浮体（如船）上的静水总压力。[解]

浮体前后受力相互抵消，左右受力也相互抵消，即吃水线铅垂方向受压可用压力体概念求解，即——阿基米德浮力第二章流体静力学（2）求作用在潜体上的静水总压力。[解]

与浮体一样，潜体前后受力相互抵消，左右受力也相互抵消，即铅垂方向受力：abcdabcadcdabc——阿基米德浮力第二章流体静力学六.静止液体作用在物体上的总压力——浮力阿基米德定律

静止液体作用在物体上总压力—浮力的大小等于物体所排开液体的重量，方向铅垂向上，作用线通过物体被液体浸没部分体积的形心—浮心。第二章流体静力学水水2m4m[解]分左右两部分计算左部：水平分力垂直分力[例5]有一圆形滚门，长1m（垂直圆面方向），直径为4m，两侧有水，上游水深4m，下游水深2m，求作用在门上的总压力的大小及作用线的位置。第二章流体静力学合力作用线通过中心与铅垂线成角度θ1

。右部：水平分力垂直分力合力流体静力学第二章流体静力学作用线通过中心与垂线成角度。总水平分力：总垂直分力：合力第二章流体静力学画出下列容器左侧壁面上的压强分布图返回第二章流体静力学返回画出下列容器壁面上的压力体第二章流体静力学与深度无关——浮力第二章流体静力学p压力体水平压力第二章流体静力学第二章流体静力学第二章流体静力学欧拉平衡微分方程的全微分形式

通常作用在流体上的单位质量力是已知的，利用上式便可求得流体静压强的分布规律。第二章流体静力学§2.6液体的相对平衡研究特点：建立运动坐标系一、液体随容器作等加速直线运动建立如图所示的坐标系。1.压强分布规律

液体所受单位质量力：第二章流体静力学代入欧拉平衡微分方程综合式：定解条件：当x=z=0时，p=pa，则c=pa。∴压强分布规律积分：相对压强：第二章流体静力学2.等压面方程

据和等压面定义得自由液面（p=pa）方程：第二章流体静力学例一洒水车以等加速a=0.98m/s2在平地行驶，静止时，B点处水深1m，距o点水平距1.5m，求运动时B点的静水压强解：a=0.98m/s2，x=－1.5m，z=－1m，代入注意坐标的正负号aoBzx第二章流体静力学例一盛有液体的容器，沿与水平面成α角的斜坡以等加速度a向下运动，容器内的液体在图示的新的状态下达到平衡，液体质点间不存在相对运动，求液体的压强分布规律注意：坐标的方向及原点的位置解：第二章流体静力学二、液体随容器作等角速旋转运动建立如图所示运动坐标系1.压强分布规律

液体所受单位质量力：代入得AxyrAzoxxyyop0gω第二章流体静力学积分：定解条件：当z=0，r=0时，p=pa，则c=pa。

注意：坐标原点在旋转后自由液面的最低点第二章流体静力学2.等压面方程

自由液面（p＝pa）方程第二章流体静力学４.应用举例

在机械铸造中的应用在市政工程、环境工程中的应用第二章流体静力学[例1]

为了提高铸件——车轮的质量，常采用离心铸造机进行铸造（如图示）。已知铁水密度ρ=7138kg/m3，车轮尺寸：直径d=800mm，厚h=250mm。试求铸造机以转速n=40